Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, которые находятся по определенному алгорифму. Это является главным показателем при изыскании функции. Точка x0 является точкой минимума, если для всех x из определенной окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ? f(x0) (для точки максимума объективно обратное неравенство f(x) ? f(x0)).

Инструкция

1. Обнаружьте производную функции. Производная характеризует метаморфоза функции в определенной точке и определяется как предел отношения приращения функции к приращению довода, тот, что тяготится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Скажем, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.

2. Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).

3. Обнаружьте значение переменной данного выражения. Это будут те значения, при которых данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры взамен x, при которых все выражение станет нулевым. Скажем:2-2×2= 0(1-x)(1+x) = 0x1= 1, x2 = -1

4. Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для всего из полученных интервалов. На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за предисловие отсчета. Дабы высчитать значение на интервалах подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Скажем, для предыдущей функции до интервала -1 дозволено предпочесть значение -2. На интервале от -1 до 1 дозволено предпочесть 0, а для значений огромнее 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и узнаете знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. негативно и на данном интервале будет стоять знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а значит на данном интервале ставится позитивный знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и потому ставится минус.

5. Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.

Точки максимума функции наравне с точками минимума именуются точками экстремума. В этих точках функция меняет нрав поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых промежутках и неизменно являются локальными.

Инструкция

1. Процесс нахождения локальных экстремумов именуется изысканием функции и выполняется путем обзора первой и 2-й производной функции. Перед началом изыскания удостоверитесь, что данный промежуток значений довода принадлежит к возможным значениям. Скажем, для функции F=1/x значение довода х=0 неприемлемо. Либо для функции Y=tg(x) довод не может иметь значение х=90°.

2. Удостоверитесь, что функция Y дифференцируема на каждому заданном отрезке. Обнаружьте первую производную Y’. Видимо, что до достижения точки локального максимума функция повышается, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость метаморфозы функции. Пока функция нарастает, скорость этого процесса является величиной позитивной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса метаморфозы функции становится негативной. Переход скорости метаморфозы функции через нуль происходит в точке локального максимума.

3. Следственно, на участке возрастания функции ее первая производная позитивна для всех значений довода на этом промежутке. И напротив - на участке убывания функции значение первой производной поменьше нуля. В точке локального максимума значение первой производной равно нулю. Видимо, дабы обнаружить локальный максимум функции, нужно обнаружить точку х?, в которой первая производная этой функции равна нулю. При любом значении довода на исследуемом отрезке хх? – негативной.

4. Для нахождения х? решите уравнение Y’=0. Значение Y(х?) будет локальным максимумом, если вторая производная функции в этой точке поменьше нуля. Обнаружьте вторую производную Y”, подставьте в полученное выражение значение довода х= х? и сравните итог вычислений с нулем.

5. Скажем, функция Y=-x?+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет постоянную производную Y’=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y”=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x?+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.

Видео по теме

Полезный совет
Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают надобные значения и выводят итог. На таких сайтах дозволено обнаружить производную до 5 порядка.

Алгоритм нахождения данных точек оговаривался уже неоднократно, кратко повторюсь:

1. Находим производную функции.

2. Находим нули производной (приравниваем производную к нулю и решаем уравнение).

3. Далее строим числовую ось, на ней отмечаем найденные точки и определяем знаки производной на полученных интервалах. *Это делается путём подстановки произвольных значений из интервалов в производную.

Если вы совсем не знакомы со свойствами производной для исследования функций, то обязательно изучите статью « ». Также повторите таблицу производных и правила дифференцирования (имеются в этой же статье). Рассмотрим задачи:

77431. Найдите точку максимума функции у = х 3 –5х 2 +7х–5.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

3х 2 – 10х + 7 = 0

у(0) " = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

у(2) " = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

у(3) " = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

В точке х = 1 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: 1

77432. Найдите точку минимума функции у = х 3 +5х 2 +7х–5.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

3х 2 + 10х + 7 = 0

Решая квадратное уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:

у( –3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0

у( –2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0

у(0 ) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

В точке х = –1 производная меняет свой знак с отрицательного на положительный, значит это есть искомая точка минимума.

Ответ: –1

77435. Найдите точку максимума функции у = 7+12х–х 3

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

12 – 3х 2 = 0

х 2 = 4

Решая уравнение получим:

*Это точки возможного максимума (минимума) функции.

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:

у( –3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

у(0 ) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0

у( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0

В точке х = 2 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: 2

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = – 2.

77439. Найдите точку максимума функции у = 9х 2 – х 3 .

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

18х –3х 2 = 0

3х(6 – х) = 0

Решая уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:

у( –1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

у(1 ) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

у(7 ) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0

В точке х = 6 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: 6

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = 0.

77443. Найдите точку максимума функции у = (х 3 /3)–9х–7.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

х 2 – 9 = 0

х 2 = 9

Решая уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:

у( –4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0

у(0 ) "= 0 2 – 9 < 0

у(4 ) "= 4 2 – 9 > 0

В точке х = – 3 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: – 3

Возрастание, убывание и экстремумы функции

Нахождение интервалов возрастания, убывания и экстремумов функции является как самостоятельной задачей, так и важнейшей частью других заданий, в частности, полного исследования функции . Начальные сведения о возрастании, убывании и экстремумах функции даны в теоретической главе о производной , которую я настоятельно рекомендую к предварительному изучению (либо повторению) – ещё и по той причине, что нижеследующий материал базируется на самой сути производной, являясь гармоничным продолжением указанной статьи. Хотя, если времени в обрез, то возможна и чисто формальная отработка примеров сегодняшнего урока.

А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной . Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.

Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче !

Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции

Рассмотрим некоторую функцию . Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:

На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции . Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ , как расположен график функции относительно оси (выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём.

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция растёт на интервале .

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция убывает на интервалах .

Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.

Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие в первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие во 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности) .

Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.

Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).

Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума . Вспоминаем:

Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка и её стандартная - окрестность:

Собственно, определения:

Точка называется точкой строгого максимума , если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . В нашем конкретном примере это точка .

Точка называется точкой строгого минимума , если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . На чертеже – точка «а».

Примечание : требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям

Точки называют точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.

Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.

Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!) :

Точка называется точкой максимума , если существует её окрестность, такая, что для всех
Точка называется точкой минимума , если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство .

Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция , к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» или «принцессой болота» . Как разновидность, встречается остриё , направленное вверх либо вниз, например, минимум функции в точке .

Да, кстати, о королевских особах:
– значение называют максимумом функции;
– значение называют минимумом функции.

Общее название – экстремумы функции.

Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!

Точки экстремума – это «иксовые» значения.
Экстремумы – «игрековые» значения.

! Примечание : иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.

Сколько может быть экстремумов у функции?

Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.

ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение максимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение минимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума , а экстремумы – локальными экстремумами . Ходят-бродят неподалёку и глобальные собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум или глобальный максимум . Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох.

Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?

Формулировка побуждает найти:

– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);

– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы;-)

Как всё это определить? С помощью производной функции!

Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?

Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной .

Производная тангенса несёт бодрую весть о том, что функция возрастает на всей области определения .

С котангенсом и его производной ситуация ровно противоположная.

Арксинус на интервале растёт – производная здесь положительна: .
При функция определена, но не дифференцируема. Однако в критической точке существует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.

Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.

Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные , напоминаю, следуют непосредственно из определения производной .

Зачем исследовать функцию с помощью производной?

Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции : где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.

Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции :

Пример 1

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

Решение :

1) На первом шаге нужно найти область определения функции , а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.

2) Второй пункт алгоритма обусловлен

необходимым условием экстремума:

Если в точке есть экстремум, то либо значения не существует .

Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».

Условие необходимо, но не достаточно , и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства ещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке . Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола и её критическая точка .

Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение :

В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере : «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: …Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции . Поэтому повысим степень:

Пример 2

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.

Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:

Пример 3

Исследовать функцию с помощью первой производной

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение :

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках .

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:

Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

Таким образом, получаем три критические точки:

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:

Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку , принадлежащую интервалу , и выполним подстановку: .

Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому , а значит, производная отрицательна и на всём интервале .

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменатель строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ возрастает на и убывает на . Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения .

В точке функция достигает максимума:
В точке функция достигает минимума:

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение;-)

При переходе через точку производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент : точки не считаются критическими – в них функция не определена . Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ : функция возрастает на и убывает на В точке достигается максимум функции: , а в точке – минимум: .

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции есть две вертикальные асимптоты и наклонная асимптота . Вот наш герой:

Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке экстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Пример 4

Найти экстремумы функции

Пример 5

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции

…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается....
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)

В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.

Здравствуйте! Ударим по приближающемуся ЕГЭ качественной систематической подготовкой, и упорством в измельчении гранита науки!!! В конце поста имеется конкурсная задача, будьте первым! В одной из статей данной рубрики мы с вами , в которых был дан график функции, и ставились различные вопросы, касающиеся экстремумов, промежутков возрастания (убывания) и прочие.

В этой статье рассмотрим задачи входящие в ЕГЭ по математике, в которых дан график производной функции, и ставятся следующие вопросы:

1. В какой точке заданного отрезка функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение.

2. Найти количество точек максимума (или минимума) функции, принадлежащих заданному отрезку.

3. Найти количество точек экстремума функции, принадлежащих заданному отрезку.

4. Найти точку экстремума функции, принадлежащую заданному отрезку.

5. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции и в ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

6. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции. В ответе указать длину наибольшего из этих промежутков.

7. Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой вида у = kx + b или совпадает с ней.

8. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Могут стоять и другие вопросы, но они не вызовут у вас затруднений, если вы поняли и (ссылки указаны на статьи, в которых представлена необходимая для решения информация, рекомендую повторить).

Основная информация (кратко):

1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак.

Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.

2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак.

Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.

3. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой же точке.

4. В точках экстремума (максимума-минимума) функции производная равна нулю. Касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ох.

Это нужно чётко уяснить и помнить!!!

Многих график производной «смущает». Некоторые по невнимательности принимают его за график самой функции. Поэтому в таких зданиях, где видите, что дан график, сразу же акцентируйте своё внимание в условии на том, что дано: график функции или график производной функции?

Если это график производной функции, то относитесь к нему как бы к «отражению» самой функции, которое просто даёт вам информацию об этой функции.

Рассмотрим задание:

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–2;21).

Ответим на следующие вопросы:

1. В какой точке отрезка функция f (х) принимает наибольшее значение.

На заданном отрезке производная функции отрицательна, значит функция на этом отрезке убывает (она убывает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке 7.

Ответ: 7

2. В какой точке отрезка функция f (х)

По данному графику производной можем сказать следующее. На заданном отрезке производная функции положительна, значит функция на этом отрезке возрастает (она возрастает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, то есть в точке х = 3.

Ответ: 3

3. Найдите количество точек максимума функции f (х)

Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. Рассмотрим, где таким образом меняется знак.

На отрезке (3;6) производная положительна, на отрезке (6;16) отрицательна.

На отрезке (16;18) производная положительна, на отрезке (18;20) отрицательна.

Таким образом, на заданном отрезке функция имеет две точки максимума х = 6 и х = 18.

Ответ: 2

4. Найдите количество точек минимума функции f (х) , принадлежащих отрезку .

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. У нас на интервале (0;3) производная отрицательна, на интервале (3;4) положительна.

Таким образом, на отрезке функция имеет только одну точку минимума х = 3.

*Будьте внимательны при записи ответа – записывается количество точек, а не значение х, такую ошибку можно допустит из-за невнимательности.

Ответ: 1

5. Найдите количество точек экстремума функции f (х) , принадлежащих отрезку .

Обратите внимание, что необходимо найти количество точек экстремума (это и точки максимума и точки минимума).

Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной (с положительного на отрицательный или наоборот). На данном в условии графике это нули функции. Производная обращается в нуль в точках 3, 6, 16, 18.

Таким образом, на отрезке функция имеет 4 точки экстремума.

Ответ: 4

6. Найдите промежутки возрастания функции f (х)

Промежутки возрастания данной функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (3;6) и (16;18). Обратите внимание, что границы интервала не входят в него (круглые скобки – границы не включены в интервал, квадратные – включены). Данные интервалы содержат целые точки 4, 5, 17. Их сумма равна: 4 + 5 + 17 = 26

Ответ: 26

7. Найдите промежутки убывания функции f (х) на заданном интервале. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Промежутки убывания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. В данной задаче это интервалы (–2;3), (6;16), (18;21).

Данные интервалы содержат следующие целые точки: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Их сумма равна:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Ответ: 140

*Обращайте внимание в условии: включены ли границы в интервал или нет. Если границы будут включены, то и в рассматриваемых в процессе решения интервалах эти границы также необходимо учитывать.

8. Найдите промежутки возрастания функции f (х)

Промежутки возрастания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна. Мы уже указывали их: (3;6) и (16;18). Наибольшим из них является интервал (3;6), его длина равна 3.

Ответ: 3

9. Найдите промежутки убывания функции f (х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Промежутки убывания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. Мы уже указывали их, это интервалы (–2;3), (6;16), (18;21), их длины соответственно равны 5, 10, 3.

Длина наибольшего равна 10.

Ответ: 10

10. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (х) параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Так как касательная параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней, то их угловые коэффициенты равны 2. Значит, необходимо найти количество точек, в которых у′(х 0) = 2. Геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой у = 2. На данном интервале таких точек 4.

Ответ: 4

11. Найдите точку экстремума функции f (х) , принадлежащую отрезку .

Точка экстремума функции это такая точка, в которой её производная равна нулю, при чём в окрестности этой точки производная меняет знак (с положительного на отрицательный или наоборот). На отрезке график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с отрицательного на положительный. Следовательно, точка х = 3 является точкой экстремума.

Ответ: 3

12. Найдите абсциссы точек, в которых касательные к графику у = f (x) параллельны оси абсцисс или совпадают с ней. В ответе укажите наибольшую из них.

Касательная к графику у = f (x) может быть параллельна оси абсцисс или совпадать с ней, только в точках, где производная равна нулю (это могут быть точки экстремума или стационарные точки, в окрестностях которых производная свой знак не меняет). По данному графику видно, что производная равна нулю в точках 3, 6, 16,18. Наибольшая равна 18.

Можно построить рассуждение таким образом:

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, её угловой коэффициент равен 0 (действительно тангенс угла в ноль градусов равен нулю). Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс, а это точки 3, 6, 16,18.

Ответ: 18

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–8;4). В какой точке отрезка [–7;–3] функция f (х) принимает наименьшее значение.

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–7;14). Найдите количество точек максимума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–6;9].

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–18;6). Найдите количество точек минимума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–13;1].

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–11; –11). Найдите количество точек экстремума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–10; –10].

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–7;4). Найдите промежутки возрастания функции f (х) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–5;7). Найдите промежутки убывания функции f (х) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–11;3). Найдите промежутки возрастания функции f (х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

F На рисунке изображен график

Условие задачи то же (которую мы рассматривали). Найдите сумму трёх чисел:

1. Сумма квадратов экстремумов функции f (х).

2. Разность квадратов суммы точек максимума и суммы точек минимума функции f (х).

3. Количество касательных к f (х), параллельных прямой у = –3х + 5.

Первый, кто даст верный ответ, получит поощрительный приз – 150 рублей. Ответы пишите в комментариях. Если это ваш первый комментарий на блоге, то сразу он не появится, чуть позже (не беспокойтесь, время написания комментария регистрируется).

Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицих.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Значения функции и точки максимума и минимума

Наибольшее значение функции

Наменьшее значение функции

Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!

12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.

12 задание бывает двух видов:

1. Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
2. Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).

Как же действовать в этих случаях?

Найти точку максимума / минимума

1. Приравнять ее к нулю.
2. Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
3. Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.

Задания с ЕГЭ:

Найдите точку максимума функции

• Берем производную:

Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает - это точка максимума!
Ответ: −15

Найдите точку минимума функции

• Преобразуем и возьмем производную:

• Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает - это точка минимума!

Ответ: −2

Найти наибольшее / наименьшее значение функции

1. Взять производную от предложенной функции.
   
2. Приравнять ее к нулю.
   
3. Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
   
4. Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
5. В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
6. Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции.

Задания с ЕГЭ:

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1]

Ответ: −6

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

• Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».

Ответ: 11

Выводы:

1. 70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y» , а на точку максимума/минимума написать «х».
2. Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
3. Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
4. В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку - можно смело писать в ответ.
5. А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.