Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .
Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .
Задана плотность распределения f(x):
Задана функция распределения F(x):
Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .
Случайную величину X называют непрерывной
, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения
непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.2. Условие нормировки:
Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле
Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:
Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть , получим Р(Х≥3) = 1-0.5 = 0.5;
г) сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому Р(Х≥5)+Р(Х<5)=1. Отсюда, используя условие, в силу которого при х>4 функция F(x)=1, получим Р(Х≥5) = 1-Р(Х<5) = 1-F(5) = 1-1 = 0.
Случайная величина Х задана функцией распределния
Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0.25, 0.75).
Вероятность
того, что Х примет значение, заключенное
в интервале (a, b),
равна приращению функции распределения
на этом интервале: P(a P(0.25< X <0.75) =
F(0.75)-F(0.25) =
0.5 Следовательно,
,
или
Отсюда
,
или. Случайная
величина X задана на всей
оси Ox функцией распределения
.
Найти возможное значения
,
удовлетворяющее условию: с вероятностью
случайная
X в результате испытания
примет значение большее
Решение.
События
и
- противоложные, поэтому
.
Следовательно,
.
Так как
,
то
. По
определению функции распределения,
. Следовательно,
,
или
.
Отсюда
,
или. Дискретная
случайная величина X задана
законом распределения Итак,
искомая функция распределения имеет
вид Дискретная
случайная величина X
задана законом распределения Найти
функцию распределения
и
начертить ее график. Дана
функция распределения непрерывной
случайной величины X Найти
плотность распределения f(x). Плотность
распределения равна первой производной
от функции распределения: При
x=0 производная
не
существует. Непрерывная
случайная величина X
задана плотностью распределения
в
интервале
;
вне этого интервала
.
Найти вероятность того, что X
примет значение, принадлежащее интервалу
. Воспользуемся
формулой
.
По условию
,и
.
Следовательно, искомая вероятность Непрерывная
случайная величина X
задана плотностью распределения
в
интервале
;
вне этого интервала
.
Найти вероятность того, что X
примет значение, принадлежащее интервалу
. Воспользуемся
формулой
.
По условию
,и
.
Следовательно, искомая вероятность Плотность
распределения непрерывной случайной
величины Х в интервале (-π/2,
π/2) равна f(x)=(2/π)*cos2x
; вне этого интервала f(x)=0.
Найти вероятность того, что в трех
независимых испытаниях Х примет ровно
два раза значение, заключенное в интервале
(0, π/4). Воспользуемся
формулой Р(a Р(0 Ответ:
π+24π. fx=0,
при x≤0cosx,
при 0 Используем
формулу Если
х ≤0, то f(x)=0,
следовательно, F(x)=-∞00dx=0. Если
0 F(x)=-∞00dx+0xcosxdx=sinx. Если
x≥ π2 , то F(x)=-∞00dx+0π2cosxdx+π2x0dx=sinx|0π2=1. Итак,
искомая функция распределения Fx=0,
при x≤0sinx,
при 0 Задана
плотность распределения непрерывной
случайной величины Х: Fx=0,
при x≤0sinx,
при 0 Найти
функцию распределения F(x). Используем
формулу Плотность
распределения непрерывной случайной
величины Х задана на всей оси Ох равеством
.
Найти постоянный параметр С. . . (*) . Таким образом, Плотность
распределения непрерывной случайной
величины
задана
на всей оси
равенством
Найти
постоянный параметр С. Решение.
Плотность распределения
должна удовлетворять условию
.
Потребуем, чтобы это условие выполнялось
для заданной функции: . . (*) Найдем
сначала неопределенный интеграл: . Затем вычислим несобственный интеграл: Таким образом, Подставив
(**) в (*), окончательно получим
. Плотность
распределения непрерывной
случайной величины X в
интервале
равна
;
вне этого интервала f(х) = 0. Найти постоянный
параметр С. . . (*) Найдем
сначала неопределенный интеграл: Затем вычислим несобственный интеграл: (**) Подставив
(**) в (*), окончательно получим
. Плотность
распределения непрерывной случайной
величины Х задана в интервале
равенством
;
вне этого интервала f(х) = 0. Найти
постоянный параметр С. Решение.
Плотность распределения
должна удовлетворять условию
,
но так как f(x)
вне интервала
равна
0 достаточно, чтобы она удовлетворяла:
Потребуем,
чтобы это условие выполнялось для
заданной функции: . . (*) Найдем
сначала неопределенный интеграл: Затем вычислим несобственный интеграл: (**) Подставив
(**) в (*), окончательно получим
. Случайная
величина X задана плотностью
распределения ƒ(x) = 2x
в интервале (0,1); вне этого интервала
ƒ(x) = 0. Найти математическое
ожидание величины X. Решение.
Используем формулу Подставив
a = 0, b = 1,
ƒ(x) = 2x,
получим Ответ:
2/3. Случайная
величина X задана плотностью
распределения ƒ(x) = (1/2)x
в интервале (0;2); вне этого интервала
ƒ(x) = 0. Найти математическое
ожидание величины X. Решение.
Используем формулу Подставив
a = 0, b = 2,
ƒ(x) = (1/2)x,
получим М
(Х) =
=
4/3 Ответ:
4/3. Случайная
величина X в интервале (–с, с) задана плотностью распределения ƒ(x)
= ; вне этого интервала ƒ(x)
= 0. Найти математическое ожидание
величины X. Решение.
Используем формулу Подставив
a = –с, b = c,
ƒ(x) = , получим Учитывая,
что подынтегральная функция нечетная
и пределы интегрирования симметричны
относительно начала координат, заключаем,
что интеграл равен нулю. Следовательно,
М(Х) = 0. Этот
результат можно получить сразу, если
принять во внимание, что кривая
распределения симметрична относительно
прямой х = 0. Случайная
величина Х в интервале (2, 4) задана
плотностью распределения f(x)= .
Отсюда видно, что при х=3 плотность
распределения достигает максимума;
следовательно,
.
Кривая распределения симметрична
относительно прямой х=3, поэтому
и
. Случайная
величина Х в интервале (3, 5) задана
плотностью распределения f(x)=;
вне этого интервала f(x)=0. Найти моду,
математическое ожидание и медиану
величины Х. Решение.
Представим плотность распределения в
виде
.
Отсюда видно, что при х=3 плотность
распределения достигает максимума;
следовательно,
.
Кривая распределения симметрична
относительно прямой х=4, поэтому
и
. Случайная
величина Х в интервале (-1, 1) задана
плотностью распределения
;
вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) моду;
б) медиану Х.