Тема сводится к тому, что нам необходимо производить умножение одинаковых дробей. Данная статья расскажет, какое необходимо использовать правило, чтобы верно возводить алгебраические дроби в натуральную степень.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Правило возведения алгебраической дроби в степень, его доказательство
Перед тем, как начать возводить в степень, необходимо углубить знания при помощи статьи про степень с натуральным показателем, где имеется произведение одинаковых множителей, которые находятся в основании степени, причем их количество определено показателем. К примеру, число 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .
При возведении в степень чаще всего используем правило. Для этого в отдельности возводят в степень числитель и отдельно знаменатель. Рассмотрим на примере 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Правило применимо для возведения дроби в натуральную степень.
При возведении алгебраической дроби в натуральную степень получаем новую, где числитель имеет степень исходной дроби, а знаменатель – степень знаменателя. Это все имеет вид a b n = a n b n , где а и b являются произвольными многочленами, b является ненулевым, а n натуральным числом.
Доказательство данного правила записывается в виде дроби, которую необходимо возвести в степень, основываясь на самом определении с натуральным показателем. Тогда получаем умножение дробей вида a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . · b = a n b n
Примеры, решения
Правило возведения алгебраической дроби в степень производится последовательно: сначала числитель, потом знаменатель. Когда в числителе и знаменателе имеется многочлен, тогда само задание сведется к возведению заданного многочлена в степень. После чего будет указана новая дробь, которая равна исходной.
Пример 1
Произвести возведение дроби x 2 3 · y · z 3 в квадрат.
Решение
Необходимо зафиксировать степень x 2 3 · y · z 3 2 . По правилу возведения алгебраической дроби в степень получаем равенство вида x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Теперь необходимо произвести преобразование полученной дроби к виду алгебраической, выполняя возведение в степень. Тогда получим выражение вида
x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 2 · 2 3 2 · y 2 · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6
Все случаи возведения в степень не предполагают подробного разъяснения, поэтому сам решение имеет краткую запись. То есть, получаем, что
x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6
Ответ: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 .
Если числитель и знаменатель имеют многочлены, тогда необходимо возводить всю дробь в степень, после чего применять формулы сокращенного умножения для его упрощения.
Пример 2
Возвести дробь 2 · x - 1 x 2 + 3 · x · y - y в квадрат.
Решение
Из правила имеем, что
2 · x - 1 x 2 + 3 · x · y - y 2 = 2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2
Чтобы преобразовать выражение, необходимо воспользоваться формулой квадрата суммы трех слагаемых в знаменателе, а в числителе – квадратом разности, что позволит упростить выражение. Получим:
2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2 = = 2 · x 2 - 2 · 2 · x · 1 + 1 2 x 2 2 + 3 · x · y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2
Ответ: 2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2 = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2
Заметим, что при возведении в натуральную степень дробь, которую не можем сократить, получаем также несократимую дробь. Это не упрощает ее для дальнейшего решения. Когда заданная дробь может быть сокращена, тогда при возведении в степень получаем, что необходимо выполнение сокращения алгебраической дроби, во избежание выполнения сокращения после того, как возведем в степень.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Дробь представляет собой отношение числителя к знаменателю, причём знаменатель не должен равняться нулю, а числитель может быть любой.
При возведении любой дроби в произвольную степень нужно возводить отдельно числитель и знаменатель дроби в эту степень, после чего мы должны эти степени сосчитать и таким образом получим дробь, возведённую в степень.
Например:
(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49
(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3
Отрицательная степень
Если мы имеем дело с отрицательной степенью, то мы должны сначала “Перевернуть дробь”, а уж потом возводить её в степень по правилу написанному выше.
(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2
Буквенная степень
При работе с буквенными значениями такими как “x” и “у” возведение в степень происходит по тому же правилу что и раньше.
Также мы можем проверить себя возведя дробь ½ в 3 степень в результате чего мы получим ½ * ½ * ½ = 1/8 что в сущности тоже самое что и
Буквенное возведение в степень x^y
Умножение и деление дробей со степенями
Если мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, то само основание остается прежним, а показатели степеней мы складываем. Если же мы делим степени с одинаковым основаниями, тогда основание степени также остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются.
Это очень легко можно показать на примере:
(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31
(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2
Тоже самое мы могли бы получить если бы просто возвели в степень 3 и 4 отдельно знаменатель и числитель соответственно.
Возведение дроби со степенью в еще одну степень
При возведении дроби, которая уже находится в степени, ещё раз в степень мы должны сначало сделать внутреннее возведение в степень после чего переходить в во внешнюю часть возведения в степень. Другими словами мы можем просто напросто перемножить эти степени и возвести дробь в полученную степень.
Например:
(2^4)^2 = 2^ 4·2 = 2^8
Возведение в единицу, квадратный корень
Также нельзя забывать что возведение абсолютно любой дроби в нулевую степень даст нам 1, так же как и любое другое число при возведении в степень равную нулю мы получим 1.
Обычный квадратный корень также можно представить в виде степени дроби
Квадратный корень 3 = 3^(1/2)
Если же мы имеем дело с квадратным корнем под которым находится дробь, то мы можем представить эту дробь в числителе которой будет находится квадратный корень 2 – степени (т.к. квадратный корень)
А в знаменателе также будет находится квадратный корень, т.е. другими словами мы будем видеть отношение двух корней, это может пригодится для решения некоторых задач и примеров.
Если мы возведём дробь, которая находится под квадратным корнем во вторую степень то мы получим ту же самую дробь.
Произведение двух дробей под одной степенью будет равнятся произведению этих двух дробей, каждая в отдельности из которых будет под своей степенью.
Помните: на ноль делить нельзя!
Также не стоит забывать об очень важном замечании для дроби такой как знаменатель не должен равняться нулю. В дальнейшем во многих уравнениях мы будем использовать это ограничение, называемое ОДЗ – область допустимых значений
При сравнении двух дробей с одним и тем же основанием но разными степенями, большее будет являться та дробь у которой степень будет больше, а меньшей та у которой степень меньше, при равенстве не только оснований, но и степеней, дробь считается одинаковой.
Инструкция
Если в исходных дана в формате обыкновенной дроби, то операцию нужно производить в два шага. Последовательность их на полученном результате никак не скажется - начните, например, с извлечения из числа корня той степени, которая указана в знаменателе дроби. К примеру, чтобы возвести в степень ⅔ число 64 на этом шаге из него надо извлечь : 64^⅔ = (³√64)² = 4².
Возведите полученное на первом шаге значение в степень , равную числу, стоящему в числителе дроби. Результат этой операции и будет результатом возведения числа в дробную степень . Для примера из предыдущего шага полностью ход вычислений можно записать так: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.
Исходите из простоты расчетов при определении последовательности описанных выше операций извлечения корня и возведения в степень . Например, если бы требовалось в ту же самую степень ⅔ возвести число 8, то начинать с извлечения кубического корня из восьмерки было бы , так как результат был бы дробным . В этом случае лучше начать 8 в квадрат, а затем извлечь корень третьей степени из 64 и таким образом обойтись без дробных промежуточных значений: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.
Если показатель степени в исходных данных приведен в формате десятичной дроби, то начните с преобразования его в обыкновенную дробь, а затем действуйте по описанному выше алгоритму. Например, для возведения числа в степень 0,75 трансформируйте этот показатель в обыкновенную дробь ¾, затем извлеките корень четвертой степени и возведите полученный результат в куб.
Используйте любой , если ход вычислений значения не имеет, а важен лишь результат. Это может быть и скрипт, встроенный в поисковик Google - с его помощью нужное значение даже проще, чем с использованием стандартного калькулятора ОС Windows. Например, для возведения числа 15 в степень ⅗ перейдите на главную страницу сайта и введите в поле поискового запроса 15^(3/5). Результат вычислений с точностью до 8 знаков Google отобразит даже без нажатия кнопки отправки запроса: 15^(3 / 5) = 5,07755639.
Источники:
- как возводить в дробную степень
Степень числа разбирают в школе на уроках алгебры. В жизни такая операция выполняется редко. Например, при расчете площади квадрата или объёма куба используются степени, потому что длина, ширина, а для куба и высота – равные величины. В остальном возведение в степень чаще всего носит прикладной производственный характер.
Вам понадобится
- Бумага, ручка, инженерный калькулятор, таблицы степеней, программные продукты (например, табличный редактор Excel).
Инструкция
При работе с отрицательным числом нужно быть аккуратным со знаками. Следует помнить, что четная степень (n) даст знак плюс, нечетная – знак .
Например
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343
Нулевая степень (n = 0) от любого числа
всегда будет равна единице.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1Если n = 1, число умножать само на себя не надо.
Будет
7^1 = 7
329^1 = 329
Если n = 2, тогда степень квадратом, если n = 3, степень называют кубом. Вычисление квадрата и куба из чисел первого десятка производить достаточно легко. Но с увеличением числа , возводимого в степень, и с увеличением самой степени, вычисления становятся трудоемкими. Для таких вычислении были разработаны специальные таблицы. Также существуют специальные инженерные и online калькуляторы, программные продукты. В качестве простейшего программного для операций со можно использовать табличный редактор Excel.
Источники:
- http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html
При решении некоторых технических задач бывает нужно посчитать корень третьей степени . Иногда это число еще называют кубическим корнем. Корнем третьей степени из данного числа называют такое число, куб (третья степень) которого равняется данному. То есть если y – корень третьей степени числа x, то должно выполняться условие: y?=x (икс равно игрек куб).
Вам понадобится
- калькулятор или компьютер
Инструкция
Чтобы посчитать корень степени , воспользуйтесь калькулятором. Желательно, чтобы это был не обычный , а калькулятор, используемый для инженерных расчетов. Однако даже на таком вы не найдете специальную кнопку для извлечения корня третьей степени . Поэтому используйте функцию для возведения числа в степень. Извлечению корня третьей степени соответствует возведение в степень 1/3 (одна треть).
Для возведения числа в степень 1/3 наберите на клавиатуре калькулятора само число. После чего нажмите на клавишу «возведение в степень». Такая кнопка, в зависимости от типа калькулятора, может выглядеть как xy (у – в виде верхнего индекса). Так как в большинстве калькуляторов нет возможности работать с обычными (недесятичными) , то вместо числа 1/3 наберите его приблизительное значение: 0,33. Чтобы получить большую точность вычислений, необходимо увеличить количество «троек», например, набрать 0,33333333333333. Затем, нажмите кнопку «=».
Чтобы посчитать корень третьей степени на , воспользуйтесь стандартным калькулятором Windows. Порядок действий полностью аналогичен описанному в предыдущем пункте инструкции. Единственное - это кнопки возведения в степень. На «компьютерном» калькуляторе она выглядит как x^y.
Если корень третьей степени приходится систематически, то воспользуйтесь программой MS Excel. Чтобы посчитать корень третьей степени в «Екселе», введите в любую клетку знак «=», а затем, выберите «fx» - вставка функции. В появившемся окошке в списке «Выберите функцию» выберите строку «СТЕПЕНЬ». Нажмите кнопку «Ок». Во вновь появившемся окошке введите в строку «Число» значение числа, из которого нужно извлечь корень . В строку «Степень» введите число «1/3» и нажмите «Ок». В таблицы появится искомое значение кубического корня из исходного числа.
В технических расчетах и при решении многих задач иногда требуется корень , то есть найти такое число, куб которого равен исходному. Для подсчета значения кубического корня достаточно инженерного калькулятора. Однако даже на таком калькуляторе нет специальной клавиши для вычисления кубического корня. Но используя некоторые нехитрые приемы, можно обойтись и без такой кнопки.
Вам понадобится
- инженерный калькулятор или компьютер
Инструкция
Для того чтобы найти кубический корень с помощью калькулятора, возьмите инженерный и наберите на нем исходное число. Затем, нажмите на кнопку возведения в степень. Теперь введите значение показателя . В данном случае он (теоретически) должен равняться 1/3. Но, так как использование обыкновенных дробей даже на инженерном калькуляторе затруднительно, то наберите округленное значение числа 1/3, то есть: 0,33. Затем нажмите на кнопку «=». На индикаторе калькулятора появится искомое значение. Чтобы получить более точное значение, набирайте не две тройки, а , например, 0,333333333333.
Чтобы посчитать кубический корень на компьютере, запустите программу «калькулятор». Если соответствующего значка нет на рабочем столе, проделайте следующее:
- нажмите кнопку «Пуск»;
- выберите пункт меню «Выполнить»;
- введите в появившемся окошке строку «calc».Если появившийся на рабочем столе калькулятор имеет обычный вид (напоминающий «бухгалтерский калькулятор»), то переведите его в режим выполнения расчетов. Для этого, выберите строку «Вид» и укажите пункт «Инженерный».Теперь введите то число, из которого нужно извлечь кубический корень. Затем нажмите на калькуляторе кнопку «x^y». Далее наберите , например, 0,33. Для получения более точного результата, можно набрать более значение показателя степени, например, 0,333333333333. Чтобы получить точный результат, введите показатель степени «1/3» в скобках. То есть нажмите последовательно клавиши «(1/3)».
Расчет в программе Excel. Запустите саму программу, нажмите кнопку «=» и выберите функцию «СТЕПЕНЬ». Затем введите то число, из которого требуется извлечь корень степени. После чего, в следующей появившегося окошка наберите дробь «1/3» и нажмите кнопку «Ок».
Видео по теме
Источники:
- как вычислять кубические корни
При решении арифметических и алгебраических задач иногда требуется возвести дробь в квадрат . Проще всего это сделать, когда дробь десятичная – достаточно обычного калькулятора. Однако если дробь обыкновенная или смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут возникнуть некоторые затруднения.
В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень . В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.
Навигация по странице.
Что значит «возведение в степень»?
Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.
Определение.
Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.
Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».
Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.
Возведение числа в натуральную степень
На практике равенство на основании обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .
Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.
Пример.
Вычислите значение степени .
Решение.
Покажем два способа решения.
Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: 
.
Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства 
. Теперь извлекаем корень 
, наконец, возводим в целую степень 
.
Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.
Ответ:
Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.
Пример.
Вычислите (44,89) 2,5 .
Решение.
Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью ): 
. Теперь выполняем возведение в дробную степень:
Ответ:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.
В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем 
, а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, 
. А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3
.
Возведение в иррациональную степень
Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем . При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.
Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.
В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367... . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
На уроке будет рассмотрен более обобщенный вариант умножения дробей - это возведение в степень. Прежде всего, речь будет идти о натуральной степени дроби и о примерах, демонстрирующих подобные действия с дробями. В начале урока, также, мы повторим возведение в натуральную степень целых выражений и увидим, каким образом это пригодится для решения дальнейших примеров.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Возведение алгебраической дроби в степень
1. Правила возведения дробей и целых выражений в натуральную степень с элементарными примерами
Правило возведения обыкновенных и алгебраических дробей в натуральную степень:
Можно провести аналогию со степенью целого выражения и вспомнить, что понимается под возведением его в степень:
Пример 1. 
.
Как видно из примера, возведение дроби в степень - это частный случай умножения дробей, что изучалось на предыдущем уроке.
Пример 2. а) , б)
- минус уходит, т. к. мы возвели выражение в четную степень.
Для удобства работы со степенями вспомним основные правила возведения в натуральную степень:
- произведение степеней;
- деление степеней;
Возведение степени в степень;
Степень произведения.
Пример 3. - это известно нам еще с темы «Возведение в степень целых выражений», кроме одного случая: не существует.
2. Простейшие примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень
Пример 4. Возвести дробь в степень .
Решение. При возведении в четную степень минус уходит:
Пример 5. Возвести дробь в степень .
Решение. Теперь пользуемся правилами возведения степени в степень сразу без отдельного расписывания:
.
Теперь рассмотрим комбинированные задачи, в которых нам будет необходимо и возводить дроби в степень, и умножать их, и делить.
Пример 6. Выполнить действия .
Решение. 
. Далее необходимо произвести сокращение. Распишем один раз подробно, как мы это будем делать, а затем будем указывать результат сразу по аналогии: . Аналогично (или по правилу деления степеней) . Имеем: .
Пример 7. Выполнить действия .
Решение. . Сокращение осуществлено по аналогии с примером, разобранным ранее.
Пример 8. Выполнить действия .
Решение. . В данном примере мы еще раз более подробно расписали процесс сокращения степеней в дробях, чтобы закрепить этот способ.
3. Более сложные примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень (с учетом знаков и со слагаемыми в скобках)
Пример 9. Выполнить действия 
.
Решение. В данном примере уже пропустим отдельное умножение дробей, а сразу воспользуемся правилом их умножения и запишем под один знаменатель. При этом следим за знаками - в указанном случае дроби возводятся в четные степени, поэтому минусы исчезают. В конце выполним сокращение.
Пример 10. Выполнить действия 
.
Решение. В данном примере присутствует деление дробей, вспомним, что при этом первая дробь умножается на вторую, но перевернутую.