Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла »), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций »).
Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции - то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.
Основное тригонометрическое тождество. Для любого угла α верно утверждение:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус - и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:
Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат - четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).
Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.
Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:
Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:
Эти уравнения легко выводятся из основного тождества - достаточно разделить обе стороны на cos 2 α (для получения тангенса) или на sin 2 α (для котангенса).
Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.
Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.
Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол α ∈ (π /2; π ), то в градусной мере это записывается так: α ∈ (90°; 180°).
Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти - все синусы там положительны. Поэтому sin α = 0,1.
Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.
Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, угол α принадлежит промежутку (π 3π /2). Переведем углы из радианной меры в градусную - получим: α ∈ (180°; 270°).
Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому cos α = −0,5.
Задача. Найдите tg α , если известно следующее:
Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:
Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем по углу α . Известно, что α ∈ (3π /2; 2π ). Переведем углы из радианной меры в градусную - получим α ∈ (270°; 360°).
Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому tg α = −3.
Задача. Найдите cos α , если известно следующее:
Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.
Знак определяем по углу. Имеем: α ∈ (3π /2; 2π ). Переведем углы из градусной меры в радианную: α ∈ (270°; 360°) - это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно, cos α = 0,6.
Задача. Найдите sin α , если известно следующее:
Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:
Отсюда получаем, что sin 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол α ∈ (0; π /2). В градусной мере это записывается так: α ∈ (0°; 90°) - I координатная четверть.
Итак, угол находится в I координатной четверти - все тригонометрические функции там положительны, поэтому sin α = 0,2.
Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.
При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace
Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.
Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .
Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.
Зависимость между тангенсом и котангенсом
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.
Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .
1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .
Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств
Пример 1
Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;
Показать решение
Решение
Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:
\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Это уравнение имеет 2 решения:
\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .
Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3
Пример 2
Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .
Показать решение
Решение
Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .
Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.
ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .
Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.
В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.
Навигация по странице.
Основные тригонометрические тождества
Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.
Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .
Формулы приведения
Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.
Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .
Формулы сложения
Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.
Формулы двойного, тройного и т.д. угла
Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.
Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.
Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .
Формулы понижения степени
Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.
Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус
Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.
Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.
Навигация по странице.
Связь между синусом и косинусом одного угла
Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве
вида 
. Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства 
и 
следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.
То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.
Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.
Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и 
сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, 
, а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, 
.
Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.
В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z
- любое .
Связь между тангенсом и котангенсом
Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.
Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда 
. Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то 
.
Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .
Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
Тангенс
Где n - целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n - целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Область определения и непрерывность | ||
| Область значений | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Возрастание | - | |
| Убывание | - | |
| Экстремумы | - | - |
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; .
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа: 
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.