С центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Определение
Синус (sin α)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Четность
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).
| y = sin x | y = cos x | |
| Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Область значений | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Возрастание | ||
| Убывание | ||
| Максимумы, y = 1 | ||
| Минимумы, y = -1 | ||
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
;
;
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При ,
имеем:
;
.
При :
;
.
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = cos х, ее основные свойства и график.В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = cost на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=cost, её основные свойства и график
Функцией называется закон, по которому каждому значению независимого аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.
Вспомним определение функции Пусть t - любое действительное число. Ему соответствует единственная точка M на числовой окружности. У точки M есть единственная абсцисса. Она и называется косинусом числа t. Каждому значению аргумента t соответствует только одно значение функции (рис. 1).
Центральный угол численно равен величине дуги в радианах, т.е. числу Поэтому аргументом может быть и действительное число, и угол в радианах.
Если мы умеем для каждого значения определить то можем построить график функции
Можно получить график функции и другим способом. По формулам приведения 
поэтому график косинуса - это синусоида, сдвинутая по оси x
на влево (рис.2).
Свойства функции
1) Область определения:
2) Область значений: 
3) Функция четная:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения с осью абсцисс:
6) Координаты точки пересечения с осью ординат:
7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:
8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:
9) Промежутки возрастания:
10) Промежутки убывания:
11) Точки минимума: 
12) Минимум функции: .
13) Точки максимума: 
14) Максимум функции:
Мы рассмотрели основные свойства и график функции Далее они будут использоваться при решении задач.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 16.6, 16.7, 16.9.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Функции у= sin x и y = cos x и их графики (сопровождающая презентация к уроку) КОРПУСОВА ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА учитель математики МБОУ ЛСОШ № 2 им. Н.Ф.Струченкова Брянская обл.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Числовые функции, заданные формулами у= sin x и y = cos x , называют соответственно синусом и косинусом. 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Функция y=sin x , график и свойства. 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Синусоида у 1 - π/2 π 2 π 3 π х -3 π/2 - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
у = sin(x+a) ПРИМЕР y 1 -1 π 2 π - π 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
у = sin x + a 1) y = sin x + 1 ; y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = sin x - 1 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Построение графиков y=sin(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Функция y = cos x , её свойства и график. 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
y = cos x у 1 - π/2 π 2 π 3 π х - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 График функции у= cos x получен при смещении синусоиды влево на π/2 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Построение графиков y = cos (x+m)+l 1)y =- cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x- π/4)+2 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Построение графиков y=k · sin x y 2,5 1 x -1 -2,5 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Нахождение периода тригонометрических функций Если y=f(x) периодическая и имеет наименьший положительный период Т₁, то функция y=A· f(kx+b), где А, k и b постоянные, а k ≠ 0 , также периодична с периодом Примеры: 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С. 1) y=sin 6 x +2, Т₁=2 π T₁=2 π
Построение графиков периодических функций 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С. y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 Дана функция у= f(x) . Построить её график, если известен период. y x 1 1 3)T= 3
Построить график функции: y=2cos(2x- π/3)-0,5 и найти область определения и область значений функции 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С. у х 1 -1 π - π 2 π -2 π T= π