1.Отрезок прямой - часть прямой, ограниченная двумя точками. Отрезок - это часть прямой линии, которая ограничена двумя точками (концами отрезка). У отрезка есть и начало, и конец. Отрезок обозначается или отрезок AB.
Точки A и B называются концами отрезка . Все остальные точки называются внутренними точками отрезка.
Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают |AB| .
Все точки отрезка лежат на одной прямой, проходящей через его концы.
2. Через две данные точки находящихся в одной плоскости можно провести одну прямую линию.Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну
3. Если две прямые пересекаются, то они имеют одну точку, а если прямые параллельные, то ни одной! Две прямые пересекаются т. е., имеют только одну общую точку,.Определение точки пересечения прямых : точка, в которой пересекаются две прямые, называется точкой пересечения этих прямых.
4.Что такое луч и что такое полуплоскость? луч это часть прямой,имеющая начало,но не имеющая конца и имеет направление
Если провести прямую и отметить на ней точку О,то она разделит прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О (эти лучи называются дополнительными). Точка О называется началом луча. Лучом называется часть прямой, состоящая из всех точек, которые лежат по одну сторону от фиксированной точки прямой , и самой этой точки, называемой началом луча . Разные лучи одной прямой с общим началом называются дополнительными . Аксиома . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Т.е. Любая прямая разделяет плоскость на две части, каждая из которых называется полуплоскостью, а сама прямая называется границей каждой из этих полуплоскостей
5. Углом наз ывается часть плоскости ограниченная двумя лучами. Сами лучи называются сторонами угла, а общая точка, из которой лучи выходят, называется вершиной угла. Угол - это геометрическая фигура, которая образована двумя лучами, выходящими из одной точки. Вершина угла - точка, из которой исходят лучи. Сторона угла - один из этих лучей 6. Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол. Стороны этого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развернутого угла. (Разные лучи одной прямой с общим началом называются дополнительными ) . Развернутый угол - это угол, стороны которого лежат на одной прямой. Например АОВ.
7. Что означают слова: «луч делит угол на два угла»? когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов. Луч ОС делит угол АОВ пополам.
8. Какие фигуры называются равными?
Фигуры, которые совпадают при наложении называются РАВНЫМИ. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить при наложении
9. объясните, как сравнить два отрезка и как сравнить 2 угла. Один отрезок накладываешь на другой чтобы конец первого совместился с концом второго, если при этом другие два конца не совместились значит отрезки не равны, если совместились то равны. Чтобы сравнить 2 отрезка нужно сравнить их длины, чтобы сравнить 2 угла надо сравнить их градусную меру, Два угла называются равными, если их можно совместить наложением. Чтобы установить, равны есть два неразвернутых углы или нет, необходимо совместить сторону одного угла со стороной вторым таким образом, чтобы две другие стороны оказались по одну сторону от совмещенных сторон .Наложить один угол на другой угол таким образом, чтобы у них совпали вершины и по одной стороне, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон. Если вторая сторона одного угла совместиться со второй стороной другого угла, то данные углы равны. (Наложи углы так чтобы сторона одного совместилась со стороной др., а две др. оказались по одну сторон от совместившихся сторон. если две др стороны совместятся то углы полностью совместятся а значит они равны.)
10.Какая точка называется серединой отрезка? Середина отрезка-это точка, которая делит данный отрезок на две равные части. Точка делящая отрезок пополам называется серединой отрезка.
11. Биссектрисой (от лат. bi- «двойное» и sectio «разрезание») угла называется луч, выходящий из вершины угла и проходящий через его внутреннюю область, который образует с его сторонами два равных угла. Или луч исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла называют биссектрисой угла.
12.Как производится измерение отрезков. Измерить отрезок, соизмеримый с единицей – это значит узнать, сколько раз в нем содержится единица или какая-нибудь доля единицы. Измерение отрезка осуществляется посредством сравнения его с некоторым отрезком, принятым за единицу. Измерять длину отрезка можно с помощью линейки или измерительной ленты. Нужно наложить один отрезок на другой,который мы приняли за единицу измерения, чтобы их концы совместились.
? 13. Как связаны между собой длины отрезков AB и CD, если: а) отрезки AB и CD равны; б) отрезок AB меньше отрезка CD?
А) длины отрезков AB и CD равны. Б) длина отрезка АВ меньше длины отрезка CD.
14. Точка C делит отрезок AB на два отрезка. Как связаны между собой длины отрезков AB, AC и CB? Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков AC и CB. Чтобы найти длину отрезка AB надо сложить длины отрезков AC и CB.
15. Что такое градус? Что показывает градусная мера угла ? Углы измеряют в разных единицах измерениях. Это могут быть градусы, радианы. Чаще всего углы измеряют в градусах. (Не следует путать этот градус с мерой измерения температуры, где также используется слово «градус) . Измерение углов основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус - угол, равный 1/180 части развернутого угла. Градус - единица измерения плоских углов в геометрии. (В качестве единицы измерения геометрических углов принят градус – часть развернутого угла.) .
Градусная мера угла показывает, сколько раз градус и его части - минута и секунда - укладываются в данном угле, то есть градусная мера - величина, отражающая количество градусов, минут и секунд между сторонами угла.
16. Какая часть градуса называется минутой, а какая – секундой? 1/60 часть градуса называется минутой, а 1/60 часть минуты - секундой. Минуты обозначают знаком «′», а секунды - знаком «″»
? 17. Как связаны между собой градусные меры двух углов, если: а) эти углы равны; б) один угол меньше другого? а) градусная мера углов одинакова. б) Градусная мера одного угла меньше градусной меры второго угла.
18. Луч OC делит угол AOB на два угла. Как связаны между собой градусные меры углов AOB, AOC иCOB? Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.Градусная мера угла AOB равна сумме градусных мер его частей AOC иCOB.
Какие фигуры называются равными?
Равными называют фигуры , которые совпадают при наложении.
Частой ошибкой на этот вопрос является ответ, в котором упоминаются равные стороны и углы геометрической фигуры. Однако при этом не принимается в учет, что стороны геометрической фигуры не обязательно бывают прямыми. Поэтому только совпадение геометрических фигур при наложении может быть признаком их равенства.
На практике это легко проверить с помощью наложения, они должны совпасть.
Все очень просто и доступно, обычно равные фигуры видно сразу.
Равными называются те фигуры, у которых совпадают параметры геометрии. Эти параметры: длина сторон, величина углов, толщина.
Проще всего понять что фигуры равны можно с помощью наложения. Если величины фигур одинаковы - их называют равными.
Равными называют только те геометрические фигуры, которые имеют абсолютно одинаковые параметры:
1) периметр;
2) площадь;
4) размеры.
То есть, если одну фигуру наложить на другую, то они совпадут.
Ошибочно полагать, что если фигуры имеют одинаковые периметр или площадь, то они равны. На самом деле, геометрические фигуры, у которых равна площадь называются равновеликими.
Фигуры называются равными, если они совпадают при наложении друг на друга.Равные фигуры имеют одинаковые размеры, форму, площадь и периметр. А вот равные по площади фигуры могут быть и не равными между собой.
В геометрии, по правилам, равные фигуры должны иметь одинаковую площадь и периметр, то есть у них должны быть абсолютно одиноковые формы и размеры. И они должны полностью совпадать при их наложении друг на друга. Если же есть какие-то расхождения, то эти фигуры уже нельзя будет назвать равными.
Фигуры можно назвать равными при условии, если они полностью совпадают при наложении друг на друга, т.е. они имеют одинаковые размеры, форму и следовательно площадь и периметр, а также другие характеристики. В противном случае говорить о равности фигур нельзя.
В самом слове равные заложена суть.
Это фигуры которые полностью идентичные друг другу. То есть полностью совпадают. Если фигуру положить одну на одну тогда фигуры будут перекрывать себя со всех сторон.
Они одинаковые то есть равные.
В отличие от равных треугольников (для определения которых достаточно выполнения одного из условий - признаков равенства), равными фигурами называют такие, которые имеют одинаковую не только форму, но и размеры.
Определить, равна ли одна фигура другой, можно методом наложения. При этом фигуры должны совпасть и сторонами и углами. Это и будут равные фигуры.
Равными могут быть только такие фигуры, которые при их наложении полностью совпадут сторонами и углами. На самом деле для всех простейших многоугольников равенство их площади свидетельствует и о равенстве самих фигур. Пример: квадрат со стороной а всегда будет равен другому квадрату с той же стороной а. Тоже касается и прямоугольников и ромбов - если их стороны равны сторонам другого прямоугольника, они равны. Более сложный пример: треугольники будут равными, если у них равны стороны и соответствующие углы. Но это только частные случаи. В более общих случаях, равенство фигур доказывается все-таки наложением, а это наложение в планиметрии высокопарно именуют движением.
Фигуры называют равными, если совпадает их форма и размеры. Из этого определения следует, например, что если заданные прямоугольник и квадрат имеют равные площади, то они всё-равно не становятся равными фигурами, так как это разные фигуры по форме. Или, два круга однозначно имеют одну и туже форму, но если их радиусы различны, то это тоже не равные фигуры, так как не совпадают их размеры. Равными фигурами являются, например, два отрезка одинаковой длины, два круга с одинаковым радиусом, два прямоугольника с попарно равными сторонами (короткая сторона одного прямоугольника равна короткой стороне другого, длинная сторона одного прямоугольника равна длинной стороне другого).
На глаз бывает трудно определить, равны ли фигуры, имеющие одинаковую форму. Поэтому для определения равенства простых фигур их измеряют (с помощью линейки, циркуля). У отрезков длину, у кругов радиус, у прямоугольников длину и ширину, у квадратов только одну любую сторону. Тут следует отметить, что не все фигуры можно сравнивать. Нельзя, например, определить равенство прямых, т. к. любая прямая бесконечна и, следовательно, все прямые, можно сказать, равны между собой. То же самое касается лучей. Хотя у них есть начало, но нет конца.
Если же мы имеем дело со сложными (произвольными) фигурами, то бывает даже сложно определить, имеют ли они одинаковую форму. Ведь фигуры могут быть перевернуты в пространстве. Посмотрите на рисунок ниже. Трудно сказать, одинаковые ли это по форме фигуры или нет.
Таким образом, нужно иметь надежный принцип сравнения фигур. Он таков: равные фигуры при наложении друг на друга совпадают .
Чтобы сравнить две изображенные фигуры наложением, на одну из них накладывают кальку (прозрачную бумагу) и копируют (срисовывают) на нее форму фигуры. Копию на кальке пытаются наложить на вторую фигуру так, чтобы фигуры совпали. Если это удастся, то заданные фигуры равные. Если нет, то фигуры не равные. При наложении кальку можно поворачивать как угодно, а также переворачивать.
Если можно вырезать сами фигуры (или они представляют собой отдельные плоские объекты, а не нарисованы) то калька не нужна.
При изучении геометрических фигур можно заметить множество их особенностей, связанных с равенством их частей. Так, если сложить круг вдоль диаметра, то две его половинки окажутся равными (они совпадут наложением). Если разрезать прямоугольник по диагонали, то получится два прямоугольных треугольника. Если один из них повернуть на 180 градусов по часовой или против часовой стрелки, то он совпадет со вторым. То есть диагональ разбивает прямоугольник на две равные части.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока: Повторить тему «Площадь параллелограмма». Вывести формулу площади треугольник, ввести понятие равновеликих фигур. Решение задач по теме «Площади равновеликих фигур».
Ход урока
I. Повторение.
1) Устно по готовому чертежу вывести формулу площади параллелограмма.
2) Какова зависимость между сторонами параллелограмма и высотами, опущенными на них?
(по готовому чертежу)
зависимость обратно пропорциональная.
3) Найти вторую высоту (по готовому чертежу)
4) Найти площадь параллелограмма по готовому чертежу.
Решение:
5) Сравните площади параллелограммов S1, S2, S3 . (Они имеют равные площади, у всех основание a и высота h).
Определение: Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.
II. Решение задач.
1) Доказать, что всякая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей, делит его на 2 равновеликие части.
Решение:
2) В параллелограмме ABCD CF и CE высоты. Доказать, что AD ∙ CF = AB ∙ CE.
3) Дана трапеция с основаниями a и 4a. Можно ли через одну из её вершин провести прямые, разбивающие трапецию на 5 равновеликих треугольников?
Решение: Можно. Все треугольники равновеликие.
4) Доказать, что если на стороне параллелограмма взять точку A и соединить её с вершинами, то площадь получившегося треугольника ABC равна половине площади параллелограмма.
Решение:
5) Торт имеет форму параллелограмма. Малыш и Карлсон делят его так: Малыш указывает на поверхности торта точку, а Карлсон по прямой, проходящей через эту точку, разрезает торт на 2 куска и один из кусков забирает себе. Каждый хочет получить кусок побольше. Где Малыш должен поставить точку?
Решение: В точке пересечения диагоналей.
6) На диагонали прямоугольника выбрали точку и провели через неё прямые, параллельные сторонам прямоугольника. По разные стороны образовались 2 прямоугольника. Сравните их площади.
Решение:
III. Изучение темы «Площадь треугольника»
начать с задачи:
«Найти площадь треугольника, у которого основание a, а высота h».
Ребята, используя понятие равновеликих фигур, доказывают теорему.
Достроим треугольник до параллелограмма.
Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.
Задание: Начертите равновеликие треугольники.
Используется модель (из бумаги вырезаны 3 цветных треугольника и склеены у оснований).
Упражнение №474. «Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой».
У треугольников одинаковые основания a и одна и та же высота h. Треугольники имеют одинаковую площадь
Вывод: Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.
Вопросы к классу:
- Равновелики ли равные фигуры?
- Сформулируйте обратное утверждение. Верно ли оно?
- Верно ли:
а) Равносторонние треугольники равновелики?
б) Равносторонние треугольники с равными сторонами равновелики?
в) Квадраты с равными сторонами равновелики?
г) Докажите, что параллелограммы, образованные при пересечении двух полос одинаковой ширины под разными углами наклона друг к другу, равновелики. Найдите параллелограмм наименьшей площади, образующийся при пересечении двух полос одинаковой ширины. (Показать на модели: полоски одинаковой ширины)
IV. Шаг вперёд!
На доске написаны задания по выбору:
1. «Разрежьте треугольник двумя прямыми линиями так, чтобы можно было из частей сложить прямоугольник».
Решение:
2. «Разрежьте прямоугольник по прямой линии на 2 части, из которых можно сложить прямоугольный треугольник».
Решение:
3) В прямоугольнике проведена диагональ. В одном из получившихся треугольников проведена медиана. Найдите соотношения между площадями фигур 
.
Решение:
Ответ:
3. Из олимпиадных задач:
«В четырёхугольнике ABCD точка E- середина AB, соединена с вершиной D, а F – середина CD, с вершиной B. Доказать, что площадь четырёхугольника EBFD в 2 раза меньше площади четырёхугольника ABCD.
Решение: провести диагональ BD.
Упражнение №475.
«Начертите треугольник ABC. Через вершину В проведите 2 прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на 3 треугольника, имеющие равные площади».
Использовать теорему Фалеса (разделить АC на 3 равные части).
V. Задача дня.
Для неё отвела крайнюю правую часть доски, на которой пишу задачу сегодняшнего дня. Ребята могут решать её, а могут и не решать. На уроке данную задачу мы сегодня не решаем. Просто те, кому они интересны, могут списать её, решить её дома или в перемену. Обычно уже в перемену многие ребята начинают решать задачу, если решили, то показывают решение, и я фиксирую это в специальной таблице. На следующем уроке к этой задаче обязательно возвращаемся, уделяя её решению небольшую часть урока (а на доске может быть записана новая задача).
«В параллелограмме вырезан параллелограмм. Разделите оставшуюся часть на 2 равновеликие фигуры».
Решение: Секущая AB проходит через точку пересечения диагоналей параллелограммов O и O1.
Дополнительные задачи (из олимпиадных задач):
1) «В трапеции ABCD (AD || BC) вершины A и B соединены с точкой M – серединой стороны CD. Площадь треугольника ABM равна m. Найти площадь трапеции ABCD».
Решение:
Треугольники ABM и AMK – равновеликие фигуры, т.к. AM – медиана.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.
Ответ: S ABCD = 2m.
2) «В трапеции ABCD (AD || BC) диагонали пересекаются в точке O. Доказать, что треугольники AOB и COD равновеликие».
Решение:
S ∆BCD = S ∆ABC , т.к. у них общее основание BC и одинаковая высота .
3) Сторона АВ произвольного треугольника АВС продолжена за вершину В так, что ВР = АВ, сторону АС за вершину А так, что АМ = СА, сторону ВС за вершину С так, что КС = ВС. Во сколько раз площадь треугольника РМК больше площади треугольника АВС?
Решение:
В треугольнике МВС : МА = АС, значит, площадь треугольника ВАМ равна площади треугольника АВС. В треугольнике АРМ : ВР = АВ, значит, площадь треугольника ВАМ равна площади треугольника АВР. В треугольнике АРС : АВ = ВР, значит, площадь треугольника ВАС равна площади треугольника ВРС. В треугольнике ВРК : ВС = СК, значит, площадь треугольника ВРС равна площади треугольника РКС. В треугольнике АВК : ВС = СК, значит, площадь треугольника ВАС равна площади треугольника АСК. В треугольнике МСК: МА = АС, значит, площадь треугольника КАМ равна площади треугольника АСК. Получаем 7 равновеликих треугольников. Значит,
Ответ: Площадь треугольника МРК в 7 раз больше площади треугольника АВС.
4) Сцепленные параллелограммы.
2 параллелограмма расположены так, как показано на рисунке: они имеют общую вершину и ещё по одной вершине у каждого из параллелограммов лежит на сторонах другого параллелограмма. Доказать, что площади параллелограммов равны.
Решение:
и
, значит,
Список использованной литературы :
- Учебник «Геометрия 7-9» (авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев (Москва, «Просвещение», 2003).
- Олимпиадные задачи разных лет, в частности из учебного пособия «Лучшие задачи математических олимпиад» (составитель А.А. Корзняков, Пермь, «Книжный мир», 1996).
- Подборка задач, накопленных за много лет работы.
В повседневной жизни нас с вами окружают множество различных предметов. Часть из них имеют одинаковые размеры и одинаковую форму. Например, две одинаковые простыни или два одинаковых куска мыла, две одинаковых монеты и т.д.
В геометрии фигуры, имеющие одинаковые размеры и форму, называются равными фигурами . На рисунке ниже изображены две фигуры А1 и А2. Чтобы установить равенство этих фигур, нам необходимо одну из них скопировать на кальку. А затем передвигать кальку и совместить копию одной фигуры с другой фигурой. Если они совместятся, то это означает, что эти фигуры являются одинаковыми фигурами. При это записывают А1=А2 используя обычный знак равенства.
Определение равенства двух геометрических фигур
Мы можем представить, что на вторую фигуру накладывали первую фигуру, а не её копию на кальке. Поэтому в дальнейшем будем говорить о наложении самой фигуры, а не её копии, на другую фигуру. Исходя из всего вышесказанного можно сформулировать определение равенства двух геометрических фигур .
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением одной фигуры на другую. В геометрии для некоторых геометрических фигур (например, треугольники) сформулированы специальные признаки, при выполнении которых можно говорить о том, что фигуры равны.