Чтобы проверить является ли система векторов линейно-зависимой, необходимо составить линейную комбинацию этих векторов , и проверить, может ли она быть рана нулю, если хот один коэффициент равен нулю.
Случай 1. Система векторов заданна векторами
Составляем линейную комбинацию
Мы получили однородную систему уравнений. Если она имеет ненулевое решение, то определитель должен быть равен нулю. Составим определитель и найдём его значение.
Определитель равен нулю, следовательно, вектора линейно зависимы.
Случай 2. Система векторов заданна аналитическими функциями:
a) , если тождество верно, значит система линейно зависима.
Составим линейную комбинацию.
Необходимо проверить, существуют ли такие a, b, c (хотя бы одна из которых не равна нулю) при которых данное выражение равно нулю.
Запишем гиперболические функции
тогда линейная комбинация векторов примет вид:
Откуда , возьмём, например,, тогда линейная комбинацияравна нулю, следовательно, система линейно зависима.
Ответ: система линейно зависима.
b) , составим линейную комбинацию
Линейная комбинация векторов, должна быть равна нулю для любых значений x.
Проверим для частных случаев.
Линейная комбинация векторов равна нулю, только если все коэффициенты равны нулю.
Следовательно, система линейно не зависима.
Ответ: система линейно не зависима.
5.3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений.
Сформируем расширенную матрицу и приведём её к виду трапеции методом Гаусса.
Чтоб получить какой-нибудь базис подставим произвольные значения:
Получим остальные координаты
5.4. Найти координаты вектора X в базисе, если он задан в базисе.
Нахождение координат вектора в новом базисе сводится к решению системы уравнений
Способ 1. Нахождение при помощи матрицы перехода
Составим матрицу перехода
Найдём вектор в новом базисе по формуле
Найдём обратную матрицу и выполним умножение
Способ 2. Нахождение путем составления системы уравнений.
Составим базисные вектора из коэффициентов базиса
Нахождение вектора в новом базисе имеет вид
Где d это заданный вектор x .
Полученное уравнение можно решить любым способом, ответ будет аналогичным.
Ответ: вектор в новом базисе .
5.5. Пусть x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) . Являются ли линейными следующие преобразования.
Составим матрицы линейных операторов из коэффициентов заданных векторов.
Проверим свойство линейных операций для каждой матрицы линейного оператора.
Левую часть найдём умножением матрицы А на вектор
Правую часть найдем, умножив заданный вектор на скаляр .
Мы видим, что значит, преобразование не является линейным.
Проверим другие вектора.
Преобразование не является линейным.
Преобразование является линейным.
Ответ: Ах – не линейное преобразование, Вх – не линейное, Сх – линейное.
Примечание. Можно выполнить данное задание гораздо проще, внимательно посмотрев на заданные вектора. В Ах мы видим, что есть слагаемые которые не содержат элементы х , что не могло быть получено в результате линейной операции. В Вх есть элемент х в третьей степени, что также не могло быть получено умножением на вектор х .
5.6. Дано x = { x 1 , x 2 , x 3 } , Ax = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , Bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . Выполнить заданную операцию: ( A ( B – A )) x .
Выпишем матрицы линейных операторов.
Выполним операцию над матрицами
При умножении полученной матрицы на Х, получим
Определение 1 . Линейной комбинацией векторовназывается сумма произведений этих векторов на скаляры:
Определение 2 . Система векторовназывается линейно зависимой системой, если линейная комбинация их (2.8) обращается в нуль:
причем среди чиселсуществует хотя бы одно, отличное от нуля.
Определение 3 . Векторыназываются линейно независимыми, если их линейная комбинация (2.8) обращается в нуль лишь в случае, когда все числа.
Из этих определений можно получить следующие следствия.
Следствие 1 . В линейно зависимой системе векторов хотя бы один вектор может быть выражен как линейная комбинация остальных.
Доказательство . Пусть выполнено (2.9) и пусть для определенности, коэффициент. Имеем тогда:. Заметим, что справедливо и обратное утверждение.
Следствие 2. Если система векторовсодержит нулевой вектор, то эта система (обязательно) линейно зависима – доказательство очевидно.
Следствие 3 . Если средиn векторовкакие либоk () векторов линейно зависимы, то и всеn векторов линейно зависимы (опустим доказательство).
2 0 . Линейные комбинации двух, трех и четырех векторов . Рассмотрим вопросы линейной зависимости и независимости векторов на прямой, плоскости и в пространстве. Приведем соответствующие теоремы.
Теорема 1 . Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Необходимость . Пусть векторыилинейно зависимы. Это означает, что их линейная комбинация=0 и (ради определенности). Отсюда следует равенство, и (по определению умножения вектора на число) векторыиколлинеарны.
Достаточность . Пусть векторыиколлинеарны (║) (предполагаем, что они отличны от нулевого вектора; иначе их линейная зависимость очевидна).
По теореме (2.7) (см. §2.1,п.2 0) тогдатакое, что, или– линейная комбинация равна нулю, причем коэффициент приравен 1 – векторыилинейно зависимы.
Из этой теоремы вытекает следующее следствие.
Следствие . Если векторыине коллинеарны, то они линейно независимы.
Теорема 2 . Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Необходимость . Пусть векторы,илинейно зависимы. Покажем, что они компланарны.
Из определения линейной зависимости векторов следует существование чисел итаких, что линейная комбинация, и при этом (для определенности). Тогда из этого равенства можно выразить вектор:=, то есть векторравен диагонали параллелограмма, построенного на векторах, стоящих в правой части этого равенства (рис.2.6). Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости.
Достаточность . Пусть векторы,икомпланарны. Покажем, что они линейно зависимы.
Исключим случай коллинеарности какой либо пары векторов (ибо тогда эта пара линейно зависима и по следствию 3 (см.п.1 0) все три вектора линейно зависимы). Заметим, что такое предположение исключает также существование нулевого вектора среди указанных трех.
Перенесем три компланарных вектора в одну плоскость и приведем их к общему началу. Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторами; получим при этом векторыи(рис.2.7) – их существование обеспечено тем, что векторыине коллинеарные по предположению векторы. Отсюда следует, что вектор=+. Переписав это равенство в виде (–1)++=0, заключаем, что векторы,илинейно зависимы.
Из доказанной теоремы вытекает два следствия.
Следствие 1 . Пустьине коллинеарные векторы, вектор– произвольный, лежащий в плоскости, определяемой векторамии, вектор. Существуют тогда числаитакие, что
Следствие 2 . Если векторы,ине компланарны, то они линейно независимы.
Теорема 3 . Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство опустим; с некоторыми изменениями оно копирует доказательство теоремы 2. Приведем следствие из этой теоремы.
Следствие . Для любых некомпланарных векторов,,и любого вектораитакие, что
Замечание . Для векторов в (трехмерном) пространстве понятия линейной зависимости и независимости имеют, как это следует из приведенных выше теорем 1-3, простой геометрический смысл.
Пусть имеются два линейно зависимых вектора и. В таком случае один из них является линейной комбинацией второго, то есть просто отличается от него численным множителем (например,). Геометрически это означает, что оба вектора находятся на общей прямой; они могут иметь одинаковое или противоположное направления (рис.2.8 хх).
Если же два вектора расположены под углом друг к другу (рис.2.9 хх), то в этом случае нельзя получить один из них умножением другого на число – такие векторы линейно независимы. Следовательно, линейная независимость двух векторов иозначает, что эти векторы не могут быть уложены на одну прямую.
Выясним геометрический смысл линейной зависимости и независимости трех векторов.
Пусть векторы ,илинейно зависимы и пусть (для определенности) векторявляется линейной комбинацией векторови, то есть расположен в плоскости, содержащей векторыи. Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости. Справедливо и обратное утверждение: если векторы,илежат в одной плоскости, то они линейно зависимы.
Таким образом, векторы ,илинейно независимы в том и только в том случае, если они не лежат в одной плоскости.
3 0 . Понятие базиса . Одним из важнейших понятий линейной и векторной алгебры является понятие базиса. Введем определения.
Определение 1 . Пара векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор этой пары считается первым, а какой вторым.
Определение 2. Упорядоченная пара,неколлинеарных векторов называется базисом на плоскости, определяемой заданными векторами.
Теорема 1 . Всякий векторна плоскости может быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов,:
и это представление единственно.
Доказательство . Пусть векторыиобразуют базис. Тогда любой векторможно представить в виде.
Для доказательства единственности предположим, что имеется еще одно разложение . Имеем тогда=0, причем хотя бы одна из разностей отлична от нуля. Последнее означает, что векторыилинейно зависимы, то есть коллинеарны; это противоречит утверждению, что они образуют базис.
Но тогда – разложение единственно.
Определение 3 . Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор ее считается первым, какой вторым, а какой третьим.
Определение 4 . Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в пространстве.
Здесь также справедлива теорема разложения и единственности.
Теорема 2 . Любой векторможет быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов,,:
и это представление единственно (опустим доказательство теоремы).
В разложениях (2.12) и (2.13) величины называются координатами векторав заданном базисе (точнее, аффинными координатами).
При фиксированном базисе иможно писать.
Например, если задан базис и дано, что, то это означает, что имеет место представление (разложение).
4 0 . Линейные операции над векторами в координатной форме . Введение базиса позволяет линейные операции над векторами заменить обычными линейными операциями над числами – координатами этих векторов.
Пусть задан некоторый базис . Очевидно, задание координат вектора в этом базисе полностью определяет сам вектор. Имеют место следующие предложения:
а) два вектора иравны тогда и только тогда, когда равны их соответственные координаты:
б) при умножении вектора на числоего координаты умножаются на это число:
в) при сложении векторов складываются их соответственные координаты:
Доказательства этих свойств опустим; докажем лишь для примера свойство б). Имеем
Замечание . В пространстве (на плоскости) можно выбрать бесконечно много базисов.
Приведем пример перехода от одного базиса к другому, установим соотношения между координатами вектора в различных базисах.
Пример 1 . В базисной системезаданы три вектора:,и. В базисе,,векторимеет разложение. Найти координаты векторав базисе.
Решение . Имеем разложения:,,; следовательно,=+2+= =, то естьв базисе.
Пример 2 . Пусть в некотором базисечетыре вектора заданы своими координатами:,,и.
Выяснить, образуют ли векторы базис; в случае положительного ответа найти разложение векторав этом базисе.
Решение . 1) векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим линейную комбинацию векторов() и выясним, при какихиона обращается в нуль:=0. Имеем:
По определению равенства векторов в координатной форме получим следующую систему (линейных однородных алгебраических) уравнений: ;;, определитель которой=1, то есть система имеет (лишь) тривиальное решение. Это означает линейную независимость векторови, следовательно, они образуют базис.
2) разложим вектор в этом базисе. Имеем:=или в координатной форме.
Переходя к равенству векторов в координатной форме, получим систему линейных неоднородных алгебраических уравнений: ;;. Решая ее (например, по правилу Крамера), получим:,,и (). Имеем разложение векторав базисе:=.
5 0 . Проекция вектора на ось. Свойства проекций. Пусть имеется некоторая осьl , то есть прямая с выбранным на ней направлением и пусть задан некоторый вектор.Определим понятие проекции векторана осьl .
Определение . Проекцией векторана осьl называется произведение модуля этого вектора на косинус угла между осьюl и вектором (рис.2.10):
Следствием этого определения является утверждение о том, что равные векторы имеют равные проекции (на одну и ту же ось).
Отметим свойства проекций.
1) проекция суммы векторов на некоторую ось l равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:
2) проекция произведения скаляра на вектор равна произведению этого скаляра на проекцию вектора на ту же ось:
Следствие . Проекция линейной комбинации векторов на ось равна линейной комбинации их проекций:
Доказательства свойств опустим.
6 0 . Прямоугольная декартова система координат в пространстве .Разложение вектора по ортам осей. Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных орта; для них вводим специальные обозначения. Поместив их начала в точкуO , направим по ним (в соответствии с ортами) координатные осиOx ,Oy иOz (ось с выбранным на ней положительным направлением, началом отсчета и единицей длины называется координатной осью).
Определение . Упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.
Ось Ox называется осью абсцисс,Oy – осью ординат иOz – осью аппликат.
Займемся разложением произвольного вектора по базису . Из теоремы (см.§2.2,п.3 0 , (2.13)) следует, чтоможет быть и единственным образом разложен по базису(здесь вместо обозначения координатупотребляют):
В (2.21) суть (декартовы прямоугольные) координаты вектора. Смысл декартовых координат устанавливает следующая теорема.
Теорема . Декартовы прямоугольные координатывектораявляются проекциями этого вектора соответственно на осиOx ,Oy иOz .
Доказательство. Поместим векторв начало системы координат – точкуO . Тогда его конец будет совпадать с некоторой точкой.
Проведем через точку три плоскости, параллельные координатным плоскостямOyz ,Oxz иOxy (рис.2.11 хх). Получим тогда:
В (2.22) векторы иназываются составляющими векторапо осямOx ,Oy иOz .
Пусть через иобозначены соответственно углы, образованные векторомс ортами. Тогда для составляющих получим следующие формулы:
= =, = =, = =(2.23)
Из (2.21), (2.22) (2.23) находим:
– координаты вектораесть проекции этого вектора на координатные осиOx ,Oy иOz соответственно.
Замечание . Числаназываются направляющими косинусами вектора.
Модуль вектора (диагональ прямоугольного параллелепипеда) вычисляется по формуле:
Из формул (2.23) и (2.24) следует, что направляющие косинусы могут быть вычислены по формулам:
Возводя обе части каждого из равенств в (2.25) и складывая почленно левые и правые части полученных равенств, придем к формуле:
– не любые три угла образуют некоторое направление в пространстве, но лишь те, косинусы которых связаны соотношением (2.26).
7 0 . Радиус-вектор и координаты точки .Определение вектора по его началу и концу . Введем определение.
Определение . Радиусом-вектором (обозначается) называется вектор, соединяющий начало координатO с этой точкой (рис.2.12 хх):
Любой точке пространства соответствует определенный радиус-вектор (и обратно). Таким образом, точки пространства представляются в векторной алгебре их радиус-векторами.
Очевидно, координаты точкиM являются проекциями ее радиус-векторана координатные оси:
и, таким образом,
– радиус-вектор точки есть вектор, проекции которого на оси координат равны координатам этой точки. Отсюда следует две записи: и.
Получим формулы для вычисления проекций вектора по координатам его начала – точкеи конца – точке.
Проведем радиус-векторы и вектор(рис.2.13). Получим, что
– проекции вектора на координатные орты равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.
8 0 . Некоторые задачи на декартовы координаты .
1) условия коллинеарности векторов . Из теоремы (см.§2.1,п.2 0 , формула (2.7)) следует, что для коллинеарности векторовинеобходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:=. Из этого векторного равенства получаем три в координатной форме равенства:, откуда следует условие коллинеарности векторов в координатной форме:
– для коллинеарности векторов инеобходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны.
2) расстояние между точками . Из представления (2.29) следует, что расстояниемежду точкамииопределяется формулой
3) деление отрезка в данном отношении . Пусть даны точкиии отношение. Нужно найти– координаты точкиM (рис.2.14).
Имеем из условия коллинеарности векторов: , откудаи
Из (2.32) получим в координатной форме:
Из формул (2.32’) можно получить формулы для вычисления координат середины отрезка , полагая:
Замечание . Будем считать отрезкииположительными или отрицательными в зависимости от того, совпадает их направление с направлением от началаотрезка к концу, или не совпадает. Тогда по формулам (2.32) – (2.32”) можно находить координат точки, делящей отрезоквнешним образом, то есть так, что делящая точкаM находится на продолжении отрезка, а не внутри его. При этом конечно,.
4) уравнение сферической поверхности . Составим уравнение сферической поверхности – геометрического места точек, равноудаленных на расстояниеот некоторого фиксированного центра – точки. Очевидно, что в данном случаеи с учетом формулы (2.31)
Уравнение (2.33) и есть уравнение искомой сферической поверхности.
линейная зависимость
соотношение вида С1u1+С2u2+... +Сnun?0, где С1, С2,..., Сn - числа, из которых хотя бы одно? 0, а u1, u2,..., un - какие-либо математические объекты, напр. векторы или функции.
Линейная зависимость
(матем.), соотношение вида
C11u1 + C2u2 + ... + Cnun = 0, (*)
где С1, C2, ..., Cn ≈ числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, а u1, u2, ..., un ≈ те или иные матем. объекты, для которых определены операции сложения и умножения на число. В соотношение (*) объекты u1, u2, ..., un входят в 1-й степени, т. е. линейно; поэтому описываемая этим соотношением зависимость между ними называется линейной. Знак равенства в формуле (*) может иметь различный смысл и в каждом конкретном случае должен быть разъяснён. Понятие Л. з. употребляется во многих разделах математики. Так, можно говорить о Л. з. между векторами, между функциями от одного или нескольких переменных, между элементами линейного пространства и т. д. Если между объектами u1, u2, ..., un имеется Л. з., то говорят, что эти объекты линейно зависимы; в противном случае их называется линейно независимыми. Если объекты u1, u2, ..., un линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных, т. е.
u1 = a 1u1 + ... + a i-1ui-1 + a i+1ui+1 + ... + a nun.
Непрерывные функции от одного переменного
u1 = j 1(х), u2 = j 2(х), ..., un = j n(x) называются линейно зависимыми, если между ними имеется соотношение вида (*), в котором знак равенства понимается как тождество относительно х. Для того чтобы функции j 1(x), j 2(x), ..., j n(x), заданные на некотором отрезке а £ х £ b, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль их определитель Грама
i, k = 1,2, ..., n.
Если же функции j1 (x), j2(x), ..., jn(x) являются решениями линейного дифференциального уравнения, то для существования Л. з. между ними необходимо и достаточно, чтобы вронскиан обращался в нуль хотя бы в одной точке.
══ Линейные формы от m переменных
u1 = ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm
(i = 1, 2, ..., n)
называются линейно зависимыми, если существует соотношение вида (*), в котором знак равенства понимается как тождество относительно всех переменных x1, x2, ..., xm. Для того чтобы n линейных форм от n переменных были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль определитель
Задача 1. Выяснить, является ли система векторов линейно независимой. Систему векторов будем задавать матрицей системы, столбцы которой состоят из координат векторов.
Решение. Пусть линейная комбинация равна нулю. Записав это равенство в координатах, получим следующую систему уравнений:
Такая система уравнений называется треугольной. Она имеет единственное решение . Следовательно, векторы линейно независимы.
Задача 2. Выяснить, является ли линейно независимой система векторов.
Решение. Векторы линейно независимы (см. задачу 1). Докажем, что вектор является линейной комбинацией векторов . Коэффициенты разложения по векторам определяются из системы уравнений
Эта система, как треугольная, имеет единственное решение.
Следовательно, система векторов линейно зависима.
Замечание . Матрицы, такого вида, как в задаче 1, называются треугольными , а в задаче 2 – ступенчато-треугольными . Вопрос о линейной зависимости системы векторов легко решается, если матрица, составленная из координат этих векторов, является ступенчато треугольной. Если матрица не имеет специального вида, то с помощью элементарных преобразований строк , сохраняющих линейные соотношения между столбцами, её можно привести к ступенчато-треугольному виду.
Элементарными преобразованиями строк матрицы(ЭПС) называются следующие операции над матрицей:
1) перестановка строк;
2) умножение строки на отличное от нуля число;
3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.
Задача 3. Найти максимальную линейно независимую подсистему и вычислить ранг системы векторов
Решение. Приведем матрицу системы с помощью ЭПС к ступенчато-треугольному виду. Чтобы объяснить порядок действий, строчку с номером преобразуемой матрицы обозначим символом . В столбце после стрелки указаны действия над строками преобразуемой матрицы, которые надо выполнить для получения строк новой матрицы.
Очевидно, что первые два столбца полученной матрицы линейно независимы, третий столбец является их линейной комбинацией, а четвертый не зависит от двух первых. Векторы называются базисными. Они образуют максимальную линейно независимую подсистему системы , а ранг системы равен трем.
Базис, координаты
Задача 4. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве геометрических векторов, координаты которых удовлетворяют условию .
Решение . Множество является плоскостью, проходящей через начало координат. Произвольный базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов. Координаты векторов в выбранном базисе определяются решением соответствующей системы линейных уравнений.
Существует и другой способ решения этой задачи, когда найти базис можно по координатам.
Координаты пространства не являются координатами на плоскости , так как они связаны соотношением , то есть не являются независимыми. Независимые переменные и (они называются свободными) однозначно определяют вектор на плоскости и, следовательно, они могут быть выбраны координатами в . Тогда базис состоит из векторов, лежащих в и соответствующих наборам свободных переменных и , то есть .
Задача 5. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех векторов пространства , у которых нечетные координаты равны между собой.
Решение . Выберем, как и в предыдущей задаче, координаты в пространстве .
Так как , то свободные переменные однозначно определяют вектор из и, следовательно, являются координатами. Соответствующий базис состоит из векторов .
Задача 6. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех матриц вида , где – произвольные числа.
Решение . Каждая матрица из однозначно представима в виде:
Это соотношение является разложением вектора из по базису с координатами .
Задача 7. Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов
Решение. Преобразуем с помощью ЭПС матрицу из координат векторов системы к ступенчато-треугольному виду.
Столбцы последней матрицы линейно независимы, а столбцы линейно выражаются через них. Следовательно, векторы образуют базис , и .
Замечание . Базис в выбирается неоднозначно. Например, векторы также образуют базис .
Задача. Пионерский отряд отправился из города в поход. Сейчас он находится в
5 км от города и идёт со скоростью 3 км в час. На каком расстоянии от города он будет через х часов?
Решение. За х часов отряд пройдет километров, Да ещё ранее он прошёл 5 км. Значит, через х часов расстояние от города будет равно километрам. Обозначив это расстояние через у, будем иметь;
Это равенство выражает зависимость пути от времени, но это уже не будет прямо пропорциональная зависимость, как легко видеть из следующей таблицы
Отношение пути ко времени здесь не равно одному и тому же числу.
Определение. Зависимость между двумя величинами х и у, выражающаяся формулой где к и - числа, называется линейной зависимостью.
В частности, если то
Значит, прямо пропорциональная зависимость является частным случаем линейной зависимости.
2. График линейной зависимости.
Построим график какой-либо данной линейной зависимости; положим, например,
Поступим следующим образом. Построим сначала график зависимости
Это будет прямая, проходящая через начало координат (черт. 26).
Посмотрим, как будут расположены относительно этой прямой точки графика линейной зависимости:
Составим, например, такую таблицу значений х и у:
Мы видим, что при любой абсциссе ордината точки второго графика на 3 единицы больше ординаты точки первого графика. Значит, и соответствующая точка второго графика будет на 3 единицы выше точки первого.
Построив эти точки, получим прямую, параллельную первой прямой (черт. 26).
Графиком линейной зависимости является прямая.
Отсюда следует, что для построения графика линейной зависимости достаточно найти две его точки.
Покажем это на рассмотренном примере
Положив получим . Итак, одну точку мы нашли. Положив ещё получим Вторая точка (2; 7). Построив эти точки и проведя через них прямую, получим искомый график, то есть график линейной зависимости, выраженной формулой
Обычно для построения графика линейной зависимости берут две точки, в которых прямая пересекает оси координат. Так, полагая получим Полагая получим Проведя прямую через точки получим искомый график (черт. 27).