Тема: Линейная функция

Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости. Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе - ордината.

Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.

Уравнение вида:

Где a, b, с - числа, причем

Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.

Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.

У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.

Рассмотрим пример:

Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:

Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:

,

То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)

Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: , отсюда , получили точку В(3; 0)

Занесем пары чисел в таблицу:

Построим на графике точки и проведем прямую:

Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим - возьмем точку с координатой и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 - верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.

Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.

Пример 2 - построить график уравнения:

Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:

В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:

, ,

Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:

, , ,

Возьмем для проверки и найдем у:

, ,

Построим график:

Умножим заданное уравнение на два:

От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.

Вывод: мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

2. Портал для семейного просмотра ().

Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 960, ст.210;

Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 961, ст.210;

Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 962, ст.210;

Линейное уравнение с двумя переменными - любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c - некоторые числа.

Ниже представлены несколько примеров линейных уравнений.

1. 10*x + 25*y = 150;

Как и уравнения с одним неизвестным, линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными) тоже имеет решение. Например, линейное уравнение x-y=5, при x=8 и y=3 превращается в верное тождество 8-3=5. В таком случае говорят, что пара чисел x=8 и y=3 является решением линейного уравнения x-y=5. Еще можно говорить, что пара чисел x=8 и y=3 удовлетворяет линейному уравнению x-y=5.

Решение линейного уравнения

Таким образом, решением линейного уравнения a*x + b*y = с, называется, любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Обратите внимание, как здесь записана пара чисел х и у. Такая запись короче и удобнее. Следует только помнить, что на первом месте в такой записи стоит значение переменной х, а на втором - значение переменной у.

Обратите внимание на то, что числа x=11 и y=8, x=205 и y=200 x= 4.5 и y= -0.5 тоже удовлетворяют линейному уравнению х-у=5, а следовательно являются решениями этого линейного уравнения.

Решение линейного уравнения с двумя неизвестными не является единственным. Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много различных решений. То есть существует бесконечно много различных двух чисел х и у, которые обращают линейное уравнение в верное тождество.

Если несколько уравнений с двумя переменными имеют одинаковые решения, то такие уравнения называются равносильными уравнениями. Следует отметить, что если уравнения с двумя неизвестными не имеют решений, то их тоже считают равносильными.

Основные свойства линейных уравнений с двумя неизвестными

1. Любое из слагаемых в уравнении можно перенести из одной части в другую, при этом необходимо изменить его знак на противоположный. Полученное уравнение будет равносильно исходному.

2. Обе части уравнения можно разделить на любое число, которое не равно нулю. В результате получим уравнение равносильное исходному.

Определение: ax + by + c = 0, где a, b и c – числа (также их называют коэффициенты), причем a и b не равны нулю, x и y – переменные, называют линейным уравнением с уравнение вида двумя переменными. Пример 1: 5 x – 2 y + 10 = 0 – линейное уравнение с двумя переменными: a = 5, b = -2, c = 10, x и y – переменные. Пример 2: – 4 x = 6 y – 14 – также является линейным уравнением с двумя переменными. Если перенести все члены уравнения в левую часть, то получим это же уравнение, записанное в общем виде: – 4 x – 6 y + 14 = 0, где а = – 4, b = – 6, c = 14, x и y – переменные. Общим видом линейного уравнения с двумя переменными называют запись: ax + by + c = 0, когда все члены уравнения записаны в левой части от знака = , а в правой части записан нуль. Пример 3: 3 z – 5 w + 15 = 0 – также является линейным уравнением с двумя переменными. В данном случае переменными являются z и w. В качестве переменных вместо x и y могут быть любые буквы латинского алфавита.

Таким образом, линейным уравнением с двумя переменными, можно назвать любое уравнение, содержащее две переменные, за исключением двух случаев: 1. Когда переменные в уравнении возведены в степень, отличную от первой! Пример 1: -5 x 2 + 3 y + 9 = 0 – не является линейным уравнением, так как переменная x во второй степени. Пример 2: 6 x – y 5 + 12 = 0 – не является линейным уравнением, так как переменная у в пятой степени. 2. Когда уравнение содержит переменную в знаменателе! Пример 3: 2 x + 3/y + 18 = 0 – не является линейным уравнением, так как переменная у содержится в знаменателе. Пример 4: 1/x – 2/y + 3 = 0 – не является линейным уравнением, так как переменные х и у содержатся в знаменателе.

Определение: Решением линейного уравнения с двумя переменными ax + by + c = 0, называется всякая пара чисел (х; у), которая, при подстановке в данное уравнение, превращает его в верное равенство. Пример 1: Для линейного уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0 решением является пара чисел (-4; -5). В этом легко убедиться, если подставить в уравнение х = -4 и у = -5: 5·(-4) – 2·(-5) + 10 = 0 -20 + 20 = 0 – верное равенство. Пример 2: Для того же уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0 пара чисел (1; 4) не является решением: 5·1 – 2·4 + 10 = 0 5 – 8 + 10 = 0 7 = 0 – не верное равенство.

Для любого линейного уравнения с двумя переменными, можно подобрать бесконечное количество пар чисел (х; у), которые будут являться его решениями. Действительно, для линейного уравнения из предыдущего примера 5 x – 2 y + 10 = 0, помимо пары чисел (-4; -5), решениями будут являться пары чисел: (0; 5), (-2; 0), (2; 10), (-3; -2, 5), (-1; 2, 5) и т. д. Такие пары чисел можно подбирать бесконечно. Замечание: Решение линейного уравнения с двумя переменными записывается в круглых скобках, причем на первом месте всегда записывается значение переменной х, а на втором месте всегда записывается значение переменной у!

Графиком линейного уравнения с двумя переменными ax + by + c = 0 является прямая линия. Например: график уравнения 2 х + у – 2 = 0 выглядит как показано на рисунке. Все точки прямой линии на графике являются решениями для данного линейного уравнения. График линейного уравнения с двумя переменными является геометрической моделью этого уравнения: таким образом, с помощью графика, можно изобразить бесконечное множество решений линейного уравнения с двумя переменными.

Как построить график линейного уравнения ax + by + c = 0 ? Запишем план действий: 1. Задать прямоугольную систему координат для того, чтобы изобразить все решения линейного уравнения (х; у), мы воспользуемся прямоугольной системой координат, где по оси Ох мы будем откладывать значения переменной х, а по оси Оу – значения переменной у. 2. Подобрать две пары чисел: (х1; у1) и (х2; у2), являющиеся решениями для данного линейного уравнения На самом деле, мы можем подбирать сколько угодно решений (х; у), все они будут лежать на одной прямой. Но для того, чтобы провести прямую – график линейного уравнения, нам достаточно всего двух таких решений, ведь мы знаем, что через две точки можно провести только одну прямую. Подобранные решения принято записывать в виде таблицы: х х1 х2 у у1 у2 3. Изобразить точки (х1; у1) и (х2; у2) в прямоугольной системе координат. Провести через эти две точки прямую линию – она и будет графиком уравнения ax + by + c = 0.

Пример: построим график линейного уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0: 1. Зададим прямоугольную систему координат х. Оу: 2. Подберем два решения для нашего уравнения и запишем их -4 -2 х в таблицу: у -5 0 Для уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0 решениями являются, к примеру, пары чисел: (-4; -5) и (-2; 0) (см. слайд 5). Запишем их в таблицу. Примечание: пара чисел (2; 10) также является решением для нашего уравнения (см. слайд 5), но координату у = 10 в нашей системе координат строить неудобно, так как у нас по оси у вверх отложено всего 7 клеточек, а продолжить ось места нет. Поэтому: чтобы построить график линейного уравнения, из всего бесконечного множества решений, мы подбираем такие пары чисел (х; у), которые удобнее построить в прямоугольной системе координат!

Пример: построим график линейного уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0: х -4 -2 у -5 0 3. Строим график: Построим в системе координат точку (-4; -5): По оси х откладываем координату -4 По оси у откладываем координату -5 На пересечении координат получаем первую точку. Аналогично строим точку с координатами (-2; 0): По оси х откладываем координату -2 По оси у откладываем координату 0 На пересечении координат получаем вторую точку. -4 -2 0 -5 Через две точки проводим прямую – график линейного уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0

Линейная функция. Если из линейного уравнения ax + by + c = 0 выразить переменную у, то есть переписать уравнение в виде, где у в левой части уравнения, а всё остальное в правой: ax + by + c = 0 – перенесем ax и c в правую часть by = – ax – с – выразим у у = (– ax – с) : b, где b ≠ 0 у = – a/b · х – с/b, обозначим – a/b = k и – с/b = m y = kx + m – получили более простую запись линейного уравнения с двумя переменными. Таким образом, линейное уравнение с двумя переменными, записанное в виде: y = kx + m, где переменные, k и m – коэффициенты, называется линейной функцией. хиу– Переменная х – называется независимой переменной или аргументом. Переменная у – называется зависимой переменной или значением функции.

График линейной функции. Так как линейная функция - это частный вид линейного уравнения с двумя переменными, а графиком линейного уравнения является прямая линия, то можно сделать следующий вывод: графиком линейной функции y = kx + m является прямая линия. Как построить график линейной функции? Задаем прямоугольную систему координат. Находим пары чисел: (х1; у1) и (х2; у2), х х1 х2 являющиеся решениями для линейной у у1 у2 функции и записываем их в таблицу. Для того, чтобы найти решения линейной функции, не обязательно подбирать их в уме, как мы это делали для линейного уравнения. Нужно придать переменной х конкретные значения х1 и х2, и, подставив их поочередно в функцию, посчитать значения у1 = kx 1 + m и у2 = kx 2 + m. Примечание: переменной х можно придавать абсолютно любые значения, но целесообразно брать такие числа, которые нам удобно будет строить в прямоугольной системе координат, например числа 0, 1, -1. 3. Строим точки (х1; у1) и (х2; у2), и проводим через них прямую линию – это и будет график линейной функции.

Пример 1: построим график линейной функции у = 0, 5 х + 4: 1. Зададим прямоугольную систему координат. 2. Заполним табличку: х 0 -2 у 4 3 Придадим переменной х конкретные значения х1 и х2: удобнее взять х1 = 0, так как с нулём легче считать, получаем: у1 = 0, 5·0 + 4 = 4 х2 можно взять равным 1, но тогда у2 получим дробное число: 0, 5 · 1 + 4 = 4, 5 – его неудобно строить на координатной плоскости, удобнее взять х2 равным 2 или -2. Пусть х2 = -2 , получаем: у2 = 0, 5·(-2) + 4 = -1 + 4 = 3 4 3 -2 0 3. Построим на координатной плоскости точки (0; 4) и (-2; 3) проведем через эти точки прямую линию – получим график линейной функции у = 0, 5 х + 4

Пример 2: построим график линейной функции у = -2 х + 1: 1. Зададим прямоугольную систему координат. 2. Заполним табличку: х 0 1 у 1 -1 Придадим переменной х конкретные значения х1 и х2: например х1 = 0, получаем: у1 = -2 ·0 + 1 = 1 1 1 -1 0 пусть х2 = 1 , получаем: у2 = -2· 1 + 1 = -2 + 1 = -1 3. Построим на координатной плоскости точки (0; 1) и (1; -1) проведем через эти точки прямую линию – получим график линейной функции у = -2 х + 1

Пример 3: постройте график линейной функции у = -2 х + 1, и найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2; 3] 1. Построим график функции (см. предыдущий слайд). Значение функции – это значение переменной у. Таким образом, нужно найти у наибольшее и у наименьшее, если переменная х наименьшее может принимать значения только из промежутка [-2; 3]. 2. Отметим на оси Ох отрезок [-2; 3] 3. Через концы отрезка проводим прямые, параллельные оси Оу, Оу отмечаем точки пересечения этих прямых с графиком. Так как по условию у нас дан отрезок, то точки рисуем закрашенные! 5 - наибольшее 1 1 -2 0 3 наименьшее - -5 4. Находим ординаты полученных точек: у = 5 и у = -5. -5 Очевидно, что наибольшим значением у из промежутка [-5; 5] является у = 5, а 5 наименьшим – у = -5. -5

Вариант 3. Задание № 1: постройте график линейной функции у = 1/2 х – 2. 1. Зададим прямоугольную систему координат. 2. Заполним табличку: х 0 2 у -2 -1 Придадим переменной х конкретные значения х1 и х2: например х1 = 0, получаем: у1 = 1/2 · 0 – 2 = -2 пусть х2 = 2 , получаем: у2 = 1/2 · 2 – 2 = 1 – 2 = -1 0 2 -1 -2 3. Построим на координатной плоскости точки (0; -2) и (2; -1) проведем через эти точки прямую линию – получим график линейной функции у = 1/2 х – 2

Задание № 1: С помощью графика найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-2; 4] Значение функции – это значение переменной у. Таким образом, нужно найти у наибольшее и у наименьшее, если переменная х наименьшее может принимать значения только из промежутка [-2; 4]. 1. Отметим на оси Ох отрезок [-2; 4] 2. Через концы отрезка до пересечения с графиком, проводим прямые, параллельные оси Оу. Оу Отмечаем точки пересечения этих прямых с графиком. Так как по условию у нас дан отрезок, то точки рисуем закрашенные! наибольшее - 0 -2 -1 -2 2 4 -3 - наименьшее 3. Находим ординаты полученных точек: у = 0 и у = -3. -3 Очевидно, что наибольшим значением у из промежутка [-3; 0] является у = 0, а наименьшим – у = -3. -3

Задание № 1: С помощью графика найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-2; 4] Замечание: по графику не всегда можно точно определить координаты той или иной точки, это связано с тем, что размеры клеточек в тетради могут быть не идеально ровными, или мы можем немного криво провести прямую через две точки. А результатом такой погрешности могут быть неправильно найденные наибольшее и наименьшее значение функции. Поэтому: если мы находим координаты тех или иных точек по графику, обязательно после делаем проверку, подставив найденные координаты в уравнение функции! Проверка: подставим координаты хнаим. = -2 и унаим. = -3 в функцию у = 1/2 х – 2: -3 = 1/2 · (-2) – 2 -3 = -1 – 2 -3 = -3 – верно. Подставим координаты хнаиб. = 4 и унаиб. = 0 в функцию у = 1/2 х – 2: 0 = 1/2 · 4 – 2 0=2– 2 0 = 0 – верно. Ответ: унаиб = 0, унаим = -3

Задание № 1: С помощью графика найдите: б) значения переменной х, при которых у ≤ 0. На координатной плоскости все значения переменной у - меньшие нуля, расположены ниже оси Ох. Ох Таким образом, для того, чтобы решить неравенство у ≤ 0, нужно 0 рассмотреть часть графика, 2 расположенную ниже оси Ох и с 4 -∞ 0 помощью промежутка записать какие при этом значения принимает -1 переменная х. -2 1. Отметим часть графика, расположенную ниже оси Ох 2. Отметим точку пересечения графика с осью Ох, Ох это точка с координатой х = 4. Так как мы имеем не строгое неравенство «≤» , то точка должна быть закрашена! 3. Отмечаем часть оси Ох, соответствующую выделенной части графика, это и Ох будет искомая область. Записываем ответ: х принадлежит промежутку (-∞; 4] – скобка квадратная, так как в условии неравенство не строгое «≤» !

Задание № 2: Найдите координаты точки пересечения прямых у = 3 х и у = -2 х - 5 Данное задание можно решить двумя способами. 1 способ – графический: Построим графики данных линейных функций в одной координатной плоскости: 1. Зададим прямоугольную систему координат. 2. Заполним 0 х табличку для 0 у функции у = 3 х возьмем х1 = 0, получаем: у1 = 3 · 0 = 0 3 1 3 возьмем х2 = 1, получаем: у2 = 3 · 1 = 3 3. Построим на координатной плоскости точки (0; 0) и (1; 3) проведем через эти точки график – прямую линию. 0 1

Задание № 2: Найдите координаты точки пересечения прямых у = 3 х и у = -2 х - 5 4. Заполним 0 -1 х табличку для -5 -3 функции у = -2 х - 5 у возьмем х1 = 0, получаем: у1 = -2 · 0 – 5 = -5 возьмем х2 = -1, получаем: у2 = -2 · (-1) – 5 = 2 – 5 = -3 5. Построим на координатной плоскости точки (0; -5) и (-1; -3) 3 -1 0 1 -3 проведем через эти точки график -5 6. Находим абсциссу и ординату точки пересечения полученных графиков: х = -1 и у = -3. -3 Замечание: если мы решаем графическим способом, то, как только мы Замечание нашли абсциссу и ординату точки пересечения графиков, обязательно нужно сделать проверку, подставив найденные координаты в оба уравнения! Проверка: для у = 3 х: -3 = 3 · (-1) для у = -2 х – 5: -3 = -2 · (-1) – 5 -3 = -3 - верно Ответ: (-1; -3)

Задание № 2: Найдите координаты точки пересечения прямых у = 3 х и у = -2 х - 5 2 способ – аналитический: Пусть данные прямые пересекаются в точке А(х; у), координаты х и у которой мы должны найти. Рассмотрим функции у = 3 х и у = -2 х – 5 – как линейные уравнения с двумя переменными. Так как обе прямые проходят через точку А, то координаты этой точки: пара чисел (х; у) – является решением для обоих уравнений, то есть нам нужно подобрать такую пару чисел (х; у), чтобы при подстановке и в первое, и во второе уравнение, получилось верное равенство. А найдем мы эту пару чисел следующим образом: так как левые части уравнений равны у = у, то, соответственно, мы можем приравнять правые части этих уравнений: 3 х = -2 х – 5. Запись 3 х = -2 х – 5 – это линейное уравнение с одной переменной, решим его и найдем переменную х: Решение: 3 х = -2 х – 5 3 х + 2 х = -5 5 х = -5: 5 х = -1 Получили х = -1. Теперь осталось только подставить х = -1 в любое из уравнений и найти переменную у. Удобнее подставить в первое уравнение у = 3 х, получаем: у = 3 · (-1) = -3 Получили точку А с координатами (-1; -3). Ответ: (-1; -3)

Задание № 3: а) Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения 3 х + 5 у + 15 = 0 с осями координат Графиком линейного уравнения, как вы уже знаете, является прямая линия, и она может пересекать координатные оси Ох и Оу в одной точке, если проходит через начало координат, и эта точка (0; 0); либо в двух точках: 1. (х; 0) – точка пересечения графика с осью Ох 2. (0; у) – точка пересечения графика с осью Оу. Найдем эти точки: 1. Подставим в уравнение значение у = 0, получим: 3 х + 5·0 + 15 = 0 – решим это уравнение и найдём х. 3 х + 15 = 0 3 х = -15 Получили точку с координатами: (-5; 0) – это точка пересечения х = -15: 3 графика с осью Ох х = -5 2. Подставим в уравнение значение х = 0, получим: 3·0 + 5 у + 15 = 0 – решим это уравнение и найдем у. 5 у + 15 = 0 5 у = -15 Получили точку с координатами: (0; -3) – это точка пересечения у = -15: 5 графика с осью Оу у = -3 Ответ: (-5; 0) и (0; -3)

Задание № 3: б) Определите, принадлежит ли графику уравнения 3 х + 5 у + 15 = 0 точка С(1/3; -3, 2) Если точка С(1/3; -3, 2) принадлежит графику данного уравнения, то она является для этого уравнения решением, то есть при подстановке в уравнение значений х = 1/3 и у = -3, 2 должно получиться верное равенство! В противном случае, если верного равенства не получается, эта точка не принадлежит графику данного уравнения. Подставим в уравнение х = 1/3 и у = -3, 2 и проверим: 3 · 1/3 + 5 · (-3, 2) + 15 = 0 1 – 16 + 15 = 0 – 15 + 15 = 0 0 = 0 – верное равенство. Следовательно, точка С принадлежит графику уравнения 3 х + 5 у + 15 = 0 Ответ: точка С(1/3; -3, 2) принадлежит графику уравнения 3 х + 5 у + 15 = 0

Задание № 4: а) Задайте линейную функцию у = kx формулой, если известно, что её график параллелен прямой 6 х – у – 5 = 0. б) Определите, возрастает или убывает заданная вами линейная функция. Теорема о взаимном расположении графиков линейных функций: Даны две линейные функции у = k 1 x + m 1 и y = k 2 x + m 2: Если k 1 = k 2 , при этом m 1 ≠ m 2 , то графики этих функций – параллельны. Если k 1 ≠ k 2 , и m 1 ≠ m 2 , то графики этих функций – пересекаются. Если k 1 = k 2 , и m 1 = m 2 , то графики этих функций – совпадают. а) По теореме о взаимном расположении графиков линейных функций: если прямые у = kx и 6 х – у – 5 = 0 – параллельны, то коэффициент k функции у = kx, kx равен коэффициенту k функции 6 х – у – 5 = 0. 0 Приведем уравнение 6 х – у – 5 = 0 к виду линейной функции и выпишем его коэффициенты: 6 х – у – 5 = 0 – перенесем -у вправо, получим: 6 х – 5 = у или у = 6 х – 5 , k = 6, m = – 5. 6 5 Следовательно, функция у = kx имеет вид: у = 6 х. 6 х б) Функция возрастает если k > 0 и убывает, если k 0! 0 Ответ: y = 6 x, функция возрастает. 6 x

Задание № 5: При каком значении p решением уравнения 2 px + 3 y + 5 p = 0 является пара чисел (1, 5; -4)? Так как пара чисел (1, 5; -4) является решением для данного уравнения, то подставим в уравнение 2 px + 3 y + 5 p = 0 значения х = 1, 5 и у = -4, получим: 2 p · 1, 5 + 3 · (-4) + 5 p = 0 – выполним умножение 3 p – 12 + 5 p = 0 – решим данное уравнение и найдем p 3 p + 5 p = 12 8 p = 12: 8 p = 1, 5 Следовательно, при p = 1, 5 решением уравнения 2 px + 3 y + 5 p = 0 является пара чисел (1, 5; -4) Проверка: при p = 1, 5 получаем уравнение: 2·1, 5 х + 3 у + 5·1, 5 = 0 3 х + 3 у + 7, 5 = 0 – подставим в данное уравнение х = 1, 5 и у = -4, получим: 3·1, 5 + 3 ·(-4) + 7, 5 = 0 4, 5 – 12 + 7, 5 = 0 0 = 0 – верно. Ответ: p = 1, 5

Как известно, существуют уравнения, содержащие две переменные, например, выражения вида:

Помимо числовых значений подобные выражения содержат два одночлена, включающие неизвестные переменные. Мы уже рассматривали в прошлых видео свойства подобных выражений, а также способы нахождения корней.

Любое уравнение с двумя переменными имеет ответ в виде пары чисел, которые являются значениями х и у. Чаще всего ответов бывает бесконечное множество, соответствующее двум множествам чисел х и у. Кроме того, подобные уравнения могут иметь всего лишь один корень либо не иметь ответа вообще. Но, в любом случае, если задано некое значение х, то при наличии действительного равенства найдется соответствующее значение у. Иными словами, ответ на уравнение с двумя переменными всегда представляет собой пару чисел.

Уравнение вида:

можно тождественно преобразовать, получив равносильное выражение:

у = 2,5 - 0,5х

Переместив слагаемые таким образом, чтобы оставить у с левой стороны, а х и все остальные одночлены - с правой, а также поделив обе части выражения на 2, мы получаем равносильное уравнение. Оно, по сути, является некоторой зависимостью между аргументом х и значением у. В данном выражении эта зависимость представлена аналитической линейной формой. Но её можно представить и графически, отобразив математический график в декартовой системе координат. Для этого значения аргумента рассчитывают по оси абсцисс, а значения функции - по оси ординат.

Иначе говоря, в случае уравнений с двумя переменными мы можем тождественно преобразовать их до равносильных удобных формул, после чего использовать пары корней, соответствующих верному решению этого уравнения, как координаты точек в Декартовой системе. Несколько решений уравнений дадут несколько точек, соединяемых в единый график - некую кривую линию.

В тоже время, зависимости, которые прослеживаются между переменными в одном уравнении, не всегда являются функциями в строгом определении этого понятия. К примеру, рассмотрим два уравнения:

С первого взгляда, оба равенства довольно похожи. Построим график зависимости для каждого из них. Как мы можем убедиться на видео, графики этих выражений достаточно сильно отличаются друг от друга. Если для уравнения у + х = 9 графиком является прямая линия, не проходящая через центр координат, то у 2 + х 2 = 9 имеет график в виде правильной окружности, описанной с центром в точке (0, 0). Если мы попытаемся при помощи графика определить значение у при заданном х, то увидим, что каждому аргументу соответствуют два значения у. Любой перпендикуляр, проведенный к оси абсцисс, в пределах круга обязательно пересечет круг в двух точках с одинаковым аргументом, но с противоположными значениями у. Математически это можно пояснить следующим образом:

х 2 + у 2 = а

у 2 = а - х 2

у = корень квадратный (а - х 2)

Любое отрицательное значение не может дать квадратных корней, а любое положительное всегда образует пару чисел в качестве ответа, одинаковых по значению, но противоположных по знаку. Иными словами, каждому значению у при подобной зависимости будет соответствовать два аргумента, что противоречит основному принципу функции.

Выражение вида у + х = 9, тем не менее, является обычной линейной функцией, так как вполне отвечает её требованиям. Любые уравнения с двумя переменными могут быть, а могут и не быть функциями.

Рассмотрим выражение абстрактного вида:

Любое равенство, соответствующее данной формуле, называется линейным уравнением с двумя переменными. Его графиком, в общем случае, является прямая линия, а корнями, как правило, - множество пар х и у. Исключения возможны при обнулении какого либо коэффициента - а, b, или свободного члена с. Если b = 0, но если а не равно 0, то ответами уравнения будет множество пар значений, у которых х будет всегда равен одному числу, а у - любому значению. Действительно, в уравнении:

х всегда равен 3, а у может быть равным любому числу, так как эта переменная все равно обнуляется.

Если а = 0, b = 0, но свободный член не равен 0, то уравнение не имеет верных решений, так как при любых раскладах нарушается принцип равенства. Графиком этого уравнения будет пустое множество. И, наконец, если все а, b, с = 0, то любое сочетание х и у является правильным решением уравнения, а график охватывает все числовое множество (плоскость Декартовой сети).

Для закрепления материала построим график уравнения:

Преобразуем выражение в линейное уравнение с двумя переменными:

1/3(х) + 0у = 1

0у = 1 - 1/3(х)

Графиком этого выражения будет прямая, перпендикулярная к оси абсцисс в точке (3, 0). При любых у значение аргумента всегда равно 3.

С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода уравнений

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

При вводе уравнений можно использовать скобки . При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Решить систему уравнений

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end{array} \right. $$

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\{ \begin{array}{l} y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end{array} \right. $$

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1;4) - решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными . Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений - способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$

В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x=33 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$

Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \(x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \(11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \(x=11; y=-9 \) или \((11; -9) \)

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач