Муниципальный конкурс исследовательских и творческих работ школьников
«Шаг в науку»
Секция МАТЕМАТИКИ
Тема : Нестандартные методы решения иррациональных
уравнений.
Нуждина Мария, МАОУ СОШ №2
10 класс, п. Карымское
Научный руководитель: Васильева Елена Валерьевна,
учитель математики
МАОУ СОШ №2, п. Карымское
п. Карымское, 2013
Аннотация………………………………………………………………….3
План исследования…………………………………………………….......4-5
Описание работы:
§1. Основные приемы решения иррациональных уравнений………………6-9
§2. Решение иррациональных уравнений методом замены неизвестного…10-14
§3. Иррациональные уравнения, сводимые к модулю ………….15-17
§4. Разложение на множители…………………………………………...…..18-19
§5. Уравнения вида ………………………………………20-22
§6. Теорема о среднем геометрическом в иррациональных уравнениях
; ……………………………23-24
4) Список литературы…………………………………………………….....25
Аннотация.
Тема нашей исследовательской работы: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений».
При выполнении работы было необходимо: сравнивать различные методы решения; переходить от общих методов к частным, и наоборот; аргументировать и доказывать выдвинутые утверждения; изучать и обобщать информацию, собранную из различных источников. В связи с этим можно выделить следующие методы исследовательской деятельности: эмпирическое; логическое и теоретическое (исследование); пошаговое; репродуктивное и эвристическое;
В результате проведенной работы получены следующие результаты и выводы :
Существует множество приемов для решения иррациональных уравнений;
Не все иррациональные уравнения решаются с помощью стандартных приемов;
Мы изучили часто встречающиеся замены, с помощью которых сложные иррациональные уравнения сводятся с простейшим;
Мы рассмотрели нестандартные приемы решения иррациональных уравнений
Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»
Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.
План исследования.
Объектной областью , в которой мы проводили исследование, является алгебра. Объект исследования - решение уравнений. Среди множества уравнений мы рассмотрели иррациональные уравнения - предмет нашего исследования.
В школьном курсе алгебры рассматриваются только стандартные методы и приемы решения (возведенные в степень и простые приемы замены). Но в процессе исследования выяснилось, что существуют иррациональные уравнения, для решения которых стандартных приемов и методов недостаточно. Такие уравнения решаются с помощью других, более рациональных, методов.
Поэтому считаем, что изучение таких приемов решения - нужная и интересная работа.
В процессе исследования выяснилось, что иррациональных уравнений великое множество и сгруппировать их по видам и методам проблематично.
Целью исследования является изучение и систематизирование методов решения иррациональных уравнений.
Гипотеза : Если знать нестандартные методы решения иррациональных уравнений, то это позволит повысить качество выполнения некоторых олимпиадных и тестовых заданий ЕГЭ.
Для достижения поставленных целей и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи :
Охарактеризовать виды иррациональных уравнений.
Установить связи между видами и методами решения.
Оценить значение проверки и нахождения ОДЗ.
Рассмотреть нестандартные случаи при решении иррациональных уравнений (теорема о средней геометрической, свойства монотонности функций).
В процессе исследования было изучено множество учебных пособий таких авторов как М.И.Сканави,И.Ф.Шарыгина,О.Ю.Черкасова,А.Н.Рурукина,И.Т.Бородуля, а так же статьи из научно-теоретического и методического журнала «Математика в школе».
Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»
Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.
Описание работы.
§1 Основные приемы решения иррациональных уравнений
Уравнение y(x)=0 является иррациональным, если функция y(x) содержит корни из неизвестной величины x или выражений, зависящих от x.
Многие иррациональные уравнения могут быть решены, основываясь только на понятиях корня и области допустимых значений уравнения (ОДЗ), но встречаются и другие методы, некоторые из них будут рассмотрены в работе.
Основным приемом решения иррациональных уравнений считается уединение в одной части уравнения радикала, последующее возведение обоих частей уравнения в соответствующую степень. Если таких радикалов несколько, то уравнение необходимо возводить в исходную степень неоднократно, кстати, при этом нет нужды заботиться о том, чтобы выражение, стоящее под знаком уединенного радикала, было бы неотрицательно.
Однако при возведении в четную степень могут возникнуть посторонние корни, то есть корни, не являющиеся решением исходного уравнения.
Поэтому при использовании такого приема решения, корни должны быть обязательно проверены и посторонние отброшены, в этом случае проверка является элементом решения и необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. С другой стороны, иногда легче сделать проверку, чем доказывать, что она необходима.
Рассмотрим несколько примеров:
Ответ: корней нет
–посторонний корень
В этих примерах мы рассмотрели стандартные методы решения иррациональных уравнений(возведение обеих частей в степень и проверка корней).
Однако, многие иррациональные уравнения могут быть решены,
основываясь только на понятиях корня и ОДЗ уравнения.
Так как в уравнение входят радикалы только четных степеней, то достаточно решить систему неравенств.
3х -2х 2 +5 ≥0 (условия ОДЗ уравнения)
4х 2 -26х +40 ≥0
Решая эту систему неравенств получим:
х € Откуда х = 2,5.
х € (-∞ ; 2,5] ᴗ }