(1546–1601). Они используются в небесной механике и формулируются так:
2. Планета движется так, что ее радиус-вектор за равные интервалы времени заметает равные площади. (Закон площадей.)
3. Квадраты периодов любых двух планет соотносятся как кубы их средних расстояний от Солнца. (Гармонический закон.)
Замечательно, что законы Кеплера, составляющие базис небесной механики, выведены из наблюдений Тихо, выполненных без телескопа.
Закон 1.
Тихо поставил перед Кеплером задачу создания научной теории движения Марса. Следуя методике тех лет, Кеплер перепробовал множество комбинаций эпициклов и эксцентриков, но не смог найти подходящую для точного предвычисления наблюдаемого положения планеты. Наконец, он предположил, что орбита Марса эллиптическая, и увидел, что эта кривая хорошо описывает наблюдения, если Солнце поместить в один из фокусов эллипса. Затем Кеплер предположил (хотя и не мог точно доказать этого), что все планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце. А орбиту Луны он описал эллипсом, в фокусе которого расположена Земля .
Действительно, орбиты всех больших планет – эллипсы, причем у Венеры орбита наиболее округлая (эксцентриситет е = 0,0068), а у Плутона наиболее вытянута (е = 0,2485). Орбиты малых планет – астероидов – тоже эллипсы; наиболее круглая орбита у астероида 1177 Гоннезия (е = 0,0063), а наиболее эксцентричная у 944 Идальго (е = 0,656).
Закон 2.
Законы Кеплера полностью эмпирические, они выведены из наблюдений. Чтобы получить закон площадей, Кеплер трудился около восьми лет, проделав громадный объем вычислений. Чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется по орбите. Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее; поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленно, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
Закон 3.
Третий, или гармонический, закон Кеплера связывает среднее расстояние планеты от Солнца (a ) с ее орбитальным периодом (t ):
где индексы 1 и 2 соответствуют любым двум планетам.
Пример : найти среднее расстояние от Солнца планеты Уран, имеющей период 84,015 лет. Из приведенной выше формулы, взяв период Земли за 1 год и ее расстояние от Солнца за 1 а.е.,
Ньютон (1643–1727) установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до нее, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что закон Кеплера не совсем точен; что в действительности в него входит и масса планеты:
где M – масса Солнца, а m 1 и m 2 – массы планет. Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их расстояния и орбитальные периоды.
В микромире при взаимодействии элементарных частиц - атомов, молекул - ядерные и электромагнитные взаимодействия являются главенствующими. Наблюдать гравитационное взаимодействие элементарных частиц практически невозможно. Ученым приходится прибегать к очень большим ухищрениям для того, чтобы измерить гравитационное взаимодействие тел, масса которых составляет сотни, тысячи килограмм. Однако в космических масштабах все остальные взаимодействия, кроме гравитационного, практически незаметны. Движение планет, спутников, астероидов, комет, звезд в галактике полностью описывается гравитационным взаимодействием.
Он предложил поместить Землю в центр Вселенной, а движения планет описывались большими и малыми кругами, которые были названы эпициклами Птолемея.
Только в XVI веке Коперник предложил заменить геоцентрическую модель мира Птолемея на гелиоцентрическую. То есть поместить Солнце в центр Вселенной и предположить, что все планеты и Земля вместе с ними движутся вокруг Солнца (рис. 2).
Рис. 2. Гелиоцентрическая модель Н.Коперника ()
В начале XVII века немецкий астроном Иоганн Кеплер, обработав огромное количество астрономической информации, полученной датским астрономом Тихо Браге, предложил свои эмпирические законы, которые с тех пор носят название законы Кеплера.
Все планеты Солнечной Системы движутся по некоторым кривым, которые называются эллипс. Эллипс - это одна из простейших математических кривых, так называемая кривая второго порядка. В Средние века их называли коническими пересечениями - если пересечь конус или цилиндр некоторой плоскостью, то получим ту самую кривую, по которой движутся планеты Солнечной системы.
Рис. 3. Кривая движения планет ()
Эта кривая (Рис. 3) имеет две выделенные точки, которые называются фокусы. Для каждой точки эллипса сумма расстояний от нее до фокусов одинакова. В одном из этих фокусов находится центр Солнце (F), ближняя к Солнцу точка кривой (P) носит название перигелий, а самая дальняя (A) - афелий. Расстояние от перигелия до центра эллипса называется большой полуосью, а расстояние от центра эллипса по вертикали до эллипса малой полуосью эллипса.
В процессе движения планеты по эллипсу радиус-вектор, соединяющий центр Солнца с этой планетой, описывает некоторую площадь. Например, за время ∆t планета переместилась из одной точки в другую, радиус-вектор описал некоторую площадь ∆S.
Рис. 4. Второй закон Кеплера ()
Второй закон Кеплера гласит: за одинаковые промежутки времени радиус-вектора планет описывают одинаковые площади.
На рисунке 4 изображен угол ∆Θ, это угол поворота радиус-вектора за некоторое время ∆t и импульс планеты (), направленный по касательной к траектории, разложенный на две составляющие - составляющая импульса по радиус-вектору () и составляющая импульсов, в направлении, перпендикулярном радиус-вектору(⊥).
Произведем вычисления, связанные со вторым законом Кеплера. Утверждение Кеплера, что за равные промежутки проходятся равные площади, означает, что отношение этих величин есть величина постоянная. Отношение этих величин часто называют секторальной скоростью, это скорость изменения положения радиус-вектора. Какова же площадь ∆S, которую заметает радиус-вектор за время ∆t? Это площадь треугольника, высота которого примерно равна радиус-вектору, а основание примерно равно r ∆ω, воспользовавшись этим утверждением, напишем величину ∆S в виде ½ высоты на основание и разделим на ∆t, получим выражение:
Это скорость изменения угла, то есть угловая скорость.
Окончательный результат:
Квадрат расстояния до центра Солнца, умноженный на угловую скорость движения в данный момент времени, есть величина постоянная.
Но если мы умножим выражение r 2 ω на массу тела m, то получим величину, которую можно представить в виде произведения длины радиус-вектора на импульс в направлении, поперечном к радиус-вектору:
Эта величина, равная произведению радиус-вектора на перпендикулярную составляющую импульса, носит название «момент количества движения».
Второй закон Кеплера есть утверждение о том, что момент количества движения в гравитационном поле - величина сохраняющаяся. Отсюда следует простое, но очень важное утверждение: в точках наименьшего и наибольшего расстояния до центра Солнца, то есть афелий и перигелий, скорость направлена перпендикулярно к радиус-вектору, поэтому произведение радиус-вектора на скорость в одной точке равно этому произведению в другой точке.
Третий закон Кеплера утверждает, что отношение квадрата периода обращения планеты вокруг Солнца к кубу большой полуоси есть величина одинаковая для всех планет Солнечной системы.
Рис. 5. Произвольные траектории планет ()
На рисунке 5 представлены две произвольные траектории планет. Одна имеет явный вид эллипса с длиной полуоси (a), вторая имеет вид окружности с радиусом (R), время обращения по любой из этих траекторий, то есть период обращения, связан с длиной полуоси или с радиусом. А если эллипс превращается в окружность, то большая полуось как раз и становится радиусом этой окружности. Третий закон Кеплера утверждает, что в том случае, когда длина большой полуоси равна радиусу окружности, периоды обращения планет вокруг Солнца будут одинаковыми.
Для случая окружности можно вычислить это отношение, пользуясь вторым законом Ньютона и законом движения тела по окружности, эта константа есть 4π 2 , деленное на постоянную всемирного тяготения (G) и массу Солнца (M).
Таким образом, видно, что, если обобщить гравитационные взаимодействия, как это сделал Ньютон, и предположить, что все тела участвуют в гравитационном взаимодействии, законы Кеплера можно распространять на движение спутников вокруг Земли, на движение спутников вокруг любой другой планеты и даже на движение спутников Луны вокруг центра Луны. Только в правой части этой формулы буква М будет означать массу того тела, которое притягивает к себе спутники. Все спутники данного космического объекта будут иметь одинаковое отношение квадрата периода обращения (Т 2) к кубу большой полуоси (а 3). Этот закон может быть распространен на вообще все тела во Вселенной и даже на звезды, из которых состоит наша Галактика.
Во второй половине ХХ века было замечено, что некоторые звезды, которые находятся достаточно далеко от центра нашей Галактики, не подчиняются этому закону Кеплера. Это означает, что мы не всё знаем о том, как действует гравитация в размерах нашей Галактики. Одним из возможных объяснений того, почему далекие звезды движутся быстрее, чем это требуется по третьему закону Кеплера, оказалось следующее: мы видим не всю массу Галактики. Значительная ее часть может состоять из вещества, которое не наблюдаемо нашими приборами, не взаимодействует электромагнитно, не излучает и не поглощает свет, а участвует только в гравитационном взаимодействии. Такое вещество было названо скрытой массой или темной материей. Проблемы темной материи - это одна из основных проблем физики XXI века.
Тема следующего урока: системы материальных точек, центр масс, закон движения центра масс.
Список литературы
- Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2012.
- Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Эвенчик Э.Е Физика-10. М.: Просвещение, 2010.
- Открытая физика ()
- Elementy.ru ().
- Physics.ru ().
- Ency.info ().
Домашнее задание
- Дать определение первому закону Кеплера.
- Дать определение второму закону Кеплера.
- Дать определение третьему закону Кеплера.
В начале XVI века польским астрономом Н. Коперником (1473–1543) обоснована гелиоцентрическая система, согласно которой движения небесных тел объясняются движением Земли (а также других планет) вокруг Солнца и суточным вращением Земли. Теория наблюдения Коперника воспринималась как занимательная фантазия. В XVI в. это утверждение рассматривалось церковью как ересь. Известно, что Дж. Бруно, открыто выступивший в поддержку гелиоцентрической системы Коперника, был осужден инквизицией и сожжен на костре.
Закон всемирного тяготения был открыт Ньютоном на основе трех законов Кеплера.Первый закон Кеплера . Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце (рис. 7.6).
Рис. 7.6
Второй закон Кеплера . Радиус-вектор планеты описывает в равные времена равные площади (рис. 7.7).
Почти все планеты (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым. Для круговых орбит первый и второй законы Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T 2 ~ R 3 (Т – период обращения; R – радиус орбиты).
Ньютон решил обратную задачу механики и из законов движения планет получил выражение для гравитационной силы:
| (7.5.2) |
Как нам уже известно, гравитационные силы являются силами консервативными. При перемещении тела в гравитационном поле
консервативных сил по замкнутой траектории работа равна нулю.
Свойство консервативности гравитационных сил позволило нам ввести понятие потенциальной энергии.
Потенциальная энергия тела массы m , расположенного на расстоянии r от большого тела массы М , есть
Таким образом, в соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной .
Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела.
При E < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r 0 < r max . В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы) (рис.7.8)
Рис. 7.8
Период обращения небесного тела по эллиптической орбите равен периоду обращения по круговой орбите радиуса R , где R – большая полуось орбиты.
При E = 0 тело движется по параболической траектории. Скорость тела на бесконечности равна нулю.
При E < 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.
Первой космической скоростью называется скорость движения тела по круговой орбите вблизи поверхности Земли. Для этого, как следует из второго закона Ньютона, центробежная сила должна уравновешиваться гравитационной силой:
Отсюда
Второй космической скоростью
называется скорость движе-ния тела по параболической траектории. Она равна
минимальной скорости, которую нужно сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно, преодолев земное притяжение, стало
искусственным спутником Солнца (искусственная планета). Для этого необходимо, чтобы кинетическая энергия была не меньше работы
по преодолению тяготения Земли:
Отсюда
Третья космическая скорость
– скорость движения, при которой тело может покинуть пределы Солнечной системы,
преодолев притяжение Солнца:
υ 3 = 16,7·10 3 м/c.
На рисунке 7.8, показаны траектории тел с различными космическими скоростями.
И. Кеплер всю свою жизнь пытался доказать, что наша Солнечная система - это какое-то мистическое искусство. Изначально он пытался доказать, что устройство системы имеет сходство с правильными многогранниками из древнегреческой геометрии. Во времена Кеплера было известно о существовании шести планет. Считалось, что они помещаются в хрустальные сферы. По утверждению ученого, эти сферы располагались таким образом, что между соседствующими точно вписываются многогранники правильной формы. Между Юпитером и Сатурном поместился куб, вписанный во внешнюю среду, в которую вписана сфера. Между Марсом и Юпитером находится тетраэдр, и т.п. После долгих лет наблюдений за небесными объектами, появились законы Кеплера, а свою теорию о многогранниках он опроверг.
Законы
На смену геоцентрической Птолемеевой системе мира пришла система гелиоцентрического типа, созданная Коперником. Еще позже, Кеплер выявил вокруг Солнца.
После многолетних наблюдений за планетами появились три закона Кеплера. Рассмотрим их в статье.
Первый
Согласно первому закону Кеплера, все планеты нашей системы движутся по замкнутой кривой, называемой эллипсом. Наше светило располагается в одном из фокусов эллипса. Всего их два: это две точки внутри кривой, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса постоянна. После длительных наблюдений ученый смог выявить, что орбиты всех планет нашей системы располагаются почти в одной плоскости. Некоторые небесные тела двигаются по орбитам-эллипсам, близким к окружности. И только Плутон с Марсом двигаются по более вытянутым орбитам. Исходя из этого, первый закон Кеплера получил название закона эллипсов.
Второй закон
Изучение движения тел позволяет ученому установить, что больше в тот период, когда она находится ближе к Солнцу, и меньше тогда, когда она находится на максимальном расстоянии от Солнца (это точки перигелия и афелия).
Второй закон Кеплера говорит о следующем: каждая планета перемещается в плоскости, проходящей через центр нашего светила. В одно и то же время радиус-вектор, соединяющий Солнце и исследуемую планету, описывает равные площади.
Таким образом, ясно, что тела движутся вокруг желтого карлика неравномерно, а имея в перигелии максимальную скорость, а в афелии - минимальную. На практике это видно по движению Земли. Ежегодно в начале января наша планета, во время прохождения через перигелий, перемещается быстрее. Из-за этого движение Солнца по эклиптике происходит быстрее, чем в другое время года. В начале июля Земля движется через афелий, из-за чего Солнце по эклиптике перемещается медленнее.
Третий закон
По третьему закону Кеплера, между периодом обращения планет вокруг светила и ее средним расстоянием от него устанавливается связь. Этот закон ученый применил ко всем планетам нашей системы.
Объяснение законов
Законы Кеплера смогли объяснить только после открытия Ньютоном закона тяготения. По нему физические объекты принимают участие в гравитационном взаимодействии. Оно обладает всеобщей универсальностью, которой подвержены все объекты материального типа и физические поля. По утверждению Ньютона, два неподвижных тела действуют взаимно друг с другом с силой, пропорциональной произведению их веса и обратно пропорциональной квадрату промежутков между ними.
Возмущенное движение
Движением тел нашей Солнечной системы управляет сила притяжения желтого карлика. Если бы тела притягивались только силой Солнца, то планеты совершали бы движения вокруг него точно по законам движения Кеплера. Данный вид перемещения называют невозмущенным или кеплеровским.
В действительности все объекты нашей системы притягиваются не только нашим светилом, но и друг другом. Поэтому ни одно из тел не может перемещаться точно по эллипсу, гиперболе или по кругу. Если тело отклоняется во время движения от законов Кеплера, то это называется возмущениями, а само движение - возмущенным. Именно оно считается реальным.
Орбиты небесных тел не являются неподвижными эллипсами. Во время притяжения другими телами, происходит изменение эллипса орбиты.
Вклад И. Ньютона
Исаак Ньютон смог вывести из законов движения планет Кеплера закон всемирного тяготения. Для решения космическо-механических задач Ньютон использовал именно всемирное тяготение.
После Исаака прогресс в области небесной механики заключался в развитии математической науки, применяемой для решения уравнений, выражающих законы Ньютона. Этот ученый смог установить, что гравитация планеты определяется расстоянием до нее и массой, а вот такие показатели, как температура и состав, не оказывают никакого влияния.
В своей научной работе Ньютон показал, что третий кеплеровский закон не совсем точен. Он показал, что при подсчетах важно учитывать массу планеты, так как движение и вес планет связаны. Это гармоническая комбинация показывает связь между кеплеровскими законами и законом тяготения, выявленным Ньютоном.
Астродинамика
Применение законов Ньютона и Кеплера стало основой появления астродинамики. Это раздел небесной механики, изучающий движение космических тел, созданных искусственно, а именно: спутников, межпланетных станций, различных кораблей.
Астродинамика занимается расчетами орбит космических кораблей, а также определяет, по каким параметрам производить пуск, на какую орбиту выводить, какие необходимо провести маневры, планированием гравитационного воздействия на корабли. И это далеко не все практические задачи, которые ставятся перед астродинамикой. Все полученные результаты применяются при выполнении самых разных космических миссий.
С астродинамикой тесно связана небесная механика, которая изучает движение естественных космических тел под действием силы тяготения.
Орбиты
Под орбитой понимают траекторию движения точки в заданном пространстве. В небесной механике принято считать, что траектория тела в гравитационном поле другого тела обладает значительно большей массой. В прямоугольной системе координат, траектория может иметь форму конического сечения, т.е. быть представлена параболой, эллипсом, кругом, гиперболой. При этом фокус будет совпадать с центром системы.
На протяжении длительного времени считалось, что орбиты должны быть круглыми. Довольно долго ученые пытались подобрать именно круговой вариант перемещения, но у них не получалось. И только Кеплер смог объяснить, что планеты перемещаются не по круговой орбите, а по вытянутой. Это позволило открыть три закона, которые смогли описать движение небесных тел по орбите. Кеплер открыл следующие элементы орбиты: форму орбиты, ее наклон, положение плоскости орбиты тела в пространстве, размер орбиты, привязку по времени. Все эти элементы определяют орбиту независимо от ее формы. При расчетах основной координатной плоскостью может быть плоскость эклиптики, галактики, планетарного экватора и т.д.
Многочисленные исследования показывают, что по геометрической форме орбиты могут быть эллиптическими и округлыми. Есть деление на замкнутые и незамкнутые. По углу наклона орбиты к плоскости земного экватора, орбиты могут быть полярными, наклонными и экваториальными.
По периоду обращения вокруг тела, орбиты могут быть синхронными или солнечно-синхронными, синхронно-суточными, квазисинхронными.
Как говорил Кеплер, все тела имеют определенную скорость движения, т.е. орбитальную скорость. Она может быть постоянной на протяжении всего обращения вокруг тела или же изменяться.
ОТКРЫТИЕ И. КЕПЛЕРОМ
ЗАКОНОВ ДВИЖЕНИЯ
ПЛАНЕТ. ОТКРЫТИЕ ЗАКОНА
ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ И
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА.
ОБОБЩЁННЫЕ ЗАКОНЫ
КЕПЛЕРА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
МАСС НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
10 класс Коваленко И.В.
ИОГАНН КЕПЛЕР ПЕРВЫМ ОТКРЫЛ ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ
СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ. НО СДЕЛАЛ ЭТО ОН НА ОСНОВЕ
АНАЛИЗА АСТРОНОМИЧЕСКИХ НАБЛЮДЕНИЙ ТИХО БРАГЕ.
- датский астроном, астролог и алхимик эпохи
Тихо Браге
Возрождения.
вел
Астрономией
самостоятельные наблюдения, создал некоторые астрономические
инструменты.
детстве,
увлекся
еще
в
Однажды (11 ноября 1572 года), возвращаясь домой из химической
лаборатории, он заметил в созвездии Кассиопеи необычайно яркую
звезду, которой раньше не было. Он сразу понял, что это не планета, и
бросился измерять её координаты. Звезда сияла на небе ещё 17
месяцев; вначале она была видна даже днём, но постепенно её блеск
тускнел. Это была первая за 500 лет вспышка сверхновой в нашей
Галактике. Событие это взбудоражило всю Европу, было множество
истолкований
предсказывали
катастрофы, войны, эпидемии и даже конец света. Появились и учёные
трактаты, содержащие ошибочные утверждения о том, что это комета
или атмосферное явление.
знамения» -
«небесного
этого
Тихо Браге (1546-1601)
В 1573 г. вышла первая его книга «О новой звезде». В ней Браге
сообщал, что никакого параллакса (изменения видимого положения
объекта относительно удалённого фона в зависимости от положения
наблюдателя) у этого объекта не обнаружено, и это убедительно
доказывает, что новое светило - звезда, и находится она не вблизи
В 1576 г. указом датсконорвежского короля Фредерика II Тихо Браге был пожалован в пожизненное пользование
остров Вен (Hven), расположенный в 20 км от Копенгагена, а также выделены значительные суммы на постройку
обсерватории и её содержание. Это было первое в Европе здание, специально построенное для
астрономических наблюдений.
Тихо Браге назвал свою обсерваторию «Ураниборг» в честь музы астрономии Урании (это название иногда
переводят как «Небесный замок»). Проект здания составил сам Тихо Браге. В 1584 г. рядом с Ураниборгом был
построен ещё один замокобсерватория: Стьернеборг (в переводе с датского «Звёздный замок»). В скором времени
Ураниборг стал лучшим в мире астрономическим центром, сочетавшим наблюдения, обучение студентов и издание
научных трудов. Но в дальнейшем, в связи со сменой короля. Тихо Браге лишился финансовой поддержки, а затем
последовало запрещение заниматься на острове астрономией и алхимией. Астроном покинул Данию и остановился
в Праге.
Вскоре Ураниборг и все связанные с ним постройки были полностью разрушены (в наше время они частично
восстановлены).
В это напряжённое время Браге пришёл к выводу, что ему нужен молодой талантливый помощникматематик для
обработки накопленных за 20 лет данных. Узнав о гонениях на Иоганна Кеплера, незаурядные математические
способности которого он уже успел оценить из их переписки, Тихо пригласил его к себе. Перед учеными стояла
задача: вывести из наблюдений новую систему мира, которая должна прийти на смену как птолемеевской, так и
коперниковой. Он поручил Кеплеру ключевую планету: Марс, движение которого решительно не укладывалось не
только в схему Птолемея, но и в собственные модели Браге (по его расчётам, орбиты Марса и Солнца
пересекались).
В 1601 г. Тихо Браге и Кеплер начали работу над новыми, уточнёнными астрономическими таблицами, которые в
честь императора получили название «Рудольфовых»; они были закончены в 1627 г. и служили астрономам и
морякам вплоть до начала XIX века. Но Тихо Браге успел только дать таблицам название. В октябре он
неожиданно заболел и умер от неизвестной болезни.
Тщательно изучив данные Тихо Браге, Кеплер открыл законы движения планет.
Эллипсом называется плоская замкнутая кривая, имеющая такое
свойство, что сумма расстояний каждой её точки от двух точек,
называемых фокусами, остаётся постоянной. Эта сумма расстояний
равна длине большой оси эллипса. Точка О – центр эллипса, F1 и F2 –
фокусы. Солнце находится в данном случае в фокусе F1.
Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, самая
далёкая – афелием. Линия, соединяющая какую-либо точку эллипса
с фокусом, называется радиус-вектором.
Отношение расстояния между фокусами к большой оси
наибольшему диаметру) называется эксцентриситетом е.
Эллипс тем сильнее вытянут, чем больше его эксцентриситет.
Большая полуось эллипса а – среднее расстояние планеты до
Солнца.
По эллиптическим орбитам движутся и кометы и астероиды.
У окружности е = 0, у эллипса 0 < е < 1, у параболы е = 1, у
гиперболы е > 1. Орбиты планет – эллипсы, мало отличаются от
окружностей; их эксцентриситеты малы.
(к
О
О
Перигелийное расстояние ПС=q;
Афелийное расстояние СА=Q.
АП=2a; ПО=ОА=a.
Тогда: q=ОП−СО;
e=СО/ОП; СО= e· a;
Q=ОА+СО;
q=a−e· a=a(1−e);
Q=a+e· a=a(1+e).
Кеплер Иоганн (1571–
1630)Немецкий астроном, открывший законы движения
планет.
Вся жизнь Кеплера была посвящена обоснованию и
развитию гелиоцентрического учения Коперника.
Важнейшим аргументом являются
закона
Кеплера,
прежнему
конец
представлению о равномерных круговых движениях
небесных тел. Солнце, занимая один из фокусов
эллиптической орбиты планеты,
является, по
Кеплеру, источником силы, движущей планеты.
положившие
три
Законы Кеплера, навсегда вошедшие в основу теоретической астрономии,
получили объяснение в механике И. Ньютона, в частности в законе
всемирного тяготения.
Он объяснил приливы и отливы земных океанов под воздействием Луны.
Мировоззрение Кеплера не было чуждо мистики. Он считался одним из
крупнейших астрологов своего времени, хотя занимался астрологией в
основном для заработка.
Первоначально Кеплер планировал стать протестантским священником, но благодаря
незаурядным математическим способностям был приглашён в 1594 г. читать лекции по
математике в университете города Граца (сейчас это Австрия). В Граце Кеплер провёл 6 лет.
Здесь в 1596 г. вышла в свет его первая книга «Тайна мира». В ней Кеплер попытался найти
тайную гармонию Вселенной, для чего сопоставил орбитам пяти известных тогда планет
(сферу Земли он выделял особо) различные «платоновы тела» (правильные многогранники).
Орбиту Сатурна он представил как круг (ещё не эллипс) на поверхности шара, описанного
вокруг куба. В куб в свою очередь был вписан шар, который должен был представлять орбиту
Юпитера. В этот шар был вписан тетраэдр, описанный вокруг шара, представлявшего орбиту
Марса и т. д. Эта работа после дальнейших открытий Кеплера утратила своё первоначальное
значение (хотя бы потому, что орбиты планет оказались не круговыми); тем не менее, в
наличие скрытой математической гармонии Вселенной Кеплер верил до конца жизни, и в 1621
г. переиздал «Тайну мира», внеся в нее многочисленные изменения и дополнения.
Будучи великолепным наблюдателем, Тихо Браге за много лет составил объёмный труд по
наблюдению планет и сотен звёзд, причём точность его измерений была существенно выше,
чем у всех предшественников. Для повышения точности Браге применял как технические
усовершенствования, так и специальную методику нейтрализации погрешностей наблюдения.
Особо ценной была систематичность измерений.
На протяжении нескольких лет Кеплер внимательно изучает данные Браге и в результате
тщательного анализа приходит к выводу, что траектория движения Марса представляет
собой не круг, а эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце -
положение, известное сегодня как первый закон Кеплера.
Первый
закон
Кеплера
Второй
закон
Кеплера
Третий
закон
Кеплера
Первый закон Кеплера
Планеты обращаются по
эллипсам, в одном из фокусов
которых находится Солнце.
Первый закон Кеплера
Первый закон Кеплера показывает, что все планеты движутся по траекториям в
виде эллипса. Вытянутость эллипса зависит от:
1. Скорости движения планеты;
2. От расстояния, на котором находится планета от центра эллипса.
Изменение скорости небесного тела приводит к превращению эллиптической
орбиты в гиперболическую, двигаясь по которой можно покинуть пределы
Солнечной системы.
= υ υ1 – круговая траектория;
< υ υ2 – эллиптическая траектория;
Космические скорости. Указаны скорости вблизи поверхности
Земли.
1:
2: υ1 <
3:
4:
\5:
6: траектория Луны
υ
= 11,1∙10
= υ υ2 – параболическая траектория;
> υ υ2 – гиперболическая траектория;
3 м/с – сильно вытянутый эллипс;
Второй закон Кеплера
Каждая планета движется в плоскости, проходящей
через центр Солнца, причём за равные промежутки
времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и
планету, описывает равные площади.
Второй закон Кеплера
Второй закон Кеплера показывает равенство площадей, описываемых
радиус–вектором небесного тела за равные промежутки времени.
При этом скорость тела меняется в зависимости от расстояния до
Земли (особенно хорошо это заметно, если тело движется по сильно
вытянутой эллиптической орбите). Чем ближе тела к планете, тем
скорость тела больше.
Для эллиптической орбиты планеты характерны относительно Солнца
точки:
Перигелий (греч. пери – возле, около) ближайшая к Солнцу точка орбиты
планеты (для Земли 1-5 января). В перигелии южное полушарие Земли
получает солнечной энергии на 6% больше, чем северное полушарие.
Афелий (греч. апо – вдали) наиболее удаленная от Солнца точка орбиты
планеты (для Земли 1-6 июля).
Учитывая греческие названия планет, характерные точки эллиптической
орбиты ее спутников будут иметь собственные названия.
Большинство из известных орбит искусственных спутников и небесных тел
эллиптические. А для любой эллиптической орбиты всегда можно указать
точку, ближайшую к центральному телу и наиболее удаленную от него.
Ближайшая точка называется перицентром, а наиболее удаленная –
апоцентром.
Но, как правило, вместо слова «центр», после «пери-» или «апо-»,
подставляют название тела, вокруг которого происходит движение. Так, для
орбит искусственных спутников Земли (Гея – на древнегреческом языке) и
орбиты Луны применяют термины апогей и перигей.
Для окололунной (Луна – Селена) орбиты иногда применяются апоселений и
периселений.
Ближайшая к Солнцу (Гелиос) точка орбиты нашей планеты или другого
небесного тела Солнечной системы – перигелий, дальняя – афелий или
апогелий.
Для орбит вокруг других звезд (астрон – звезда) – периастр и апоастр.
АСТРОНОМИЧЕСКАЯ
ЕДИНИЦА
Перигелий орбиты нашей планеты (ближайшая точка орбиты к Солнцу)
составляет 147 098 290 км (0,983 астрономических единиц), афелий – 152 098
232 км (1,017 астрономических единиц).
А вот если взять среднее расстояние от Земли до Солнца, то получается
удобная единица измерения в космосе. Для тех расстояний, где в километрах
мерить уже неудобно, а в световых годах и парсеках еще неудобно.
Такая единица измерения называется «астрономической единицей»
(обозначается «а. е.») и применяется для определения расстояний между
объектами Солнечной системы, внесолнечных систем, а также между
компонентами двойных звезд.
После нескольких уточнений астрономическая единица признана равной
149597870,7 километрам.
Тем самым Земля удалена от Солнца на расстояние 1 а. е., Нептун, самая
далекая от Солнца планета, – на расстояние около 30 а. е. Расстояние от
Солнца до самой близкой к нему планеты – Меркурия – всего 0,39 а. е. А в
момент следующего великого противостояния Марса и Земли, 27 июля 2018
года, расстояние между планетами сократится до 0,386 а. е.
Радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени
описывает равные площади (определяет скорость движения планеты
по орбите).
Скорость планеты тем больше, чем она ближе к Солнцу.
Планета проходит путь от точки А до А1 и от В до В1 за одно и то же
время. Другими словами, планета движется быстрее всего в
перигелии, а медленнее всего – когда находится на наибольшем
удалении (в афелии). Так, скорость кометы Галлея в перигелии равна
55 км/с, а в афелии 0,9 км/с.
Самый близкий к Солнцу Меркурий обегает вокруг светила за 88 дней.
За ним движется Венера, и год на ней длится 225 земных суток.
Земля обращается вокруг Солнца за 365 суток, то есть ровно за один
год.
Марсианский год почти в два раза продолжительнее земного.
Юпитерский год равен почти 12 земным годам, а далёкий Сатурн
обходит свою орбиту за 29,5 лет!
Словом, чем дальше планета от Солнца, тем продолжительнее
Третий закон Кеплера
Квадраты периодов обращения планет вокруг
Солнца относятся между собой как кубы больших
полуосей их орбит.
ОБОБЩЕНИЕ ЗАКОНОВ
КЕПЛЕРА
Сформулировав задачу двух тел (m1, m2 со скоростями v1, v2) и решая ее с помощью
высшей математики (находя коэффициенты тел под действием силы взаимного
притяжения) И. Ньютон вывел все законы Кеплера из Закона Всемирного тяготения
Законы Кеплера объясняют как движутся тела, а Закон Всемирного тяготения -
почему так они движутся.
4 закона (3 закона Кеплера и 3Вт) основные законы Небесной механики – раздела
астрономии, исследующего движение небесных тел под действием взаимного
притяжения
Iй закон Кеплера Допуская неподвижность одного тела, Ньютон доказывает: Под действием
силы тяготения одно небесное тело по отношению к другому может двигаться по окружности,
эллипсу, параболе и гиперболе (виды конического сечения).
2-й закон Кеплера - Закон не
потребовал уточнения
3-й закон Кеплера
-
Законы Кеплера и закон всемирного тяготения – основные законы небесной
механики.
Если законы Кеплера отвечают на вопрос, по каким траекториям движутся небесные
тела,
то закон всемирного тяготения отвечает на вопрос,
какая сила удерживает планеты около Солнца и спутники около планет.
Если m1 и m2
– массы двух точечных тел,
а r – расстояние между ними,
то закон всемирного тяготения
записывается в виде:
где G – гравитационная постоянная
Закон всемирного тяготен
ия
ИОГАНН КЕПЛЕР ОТКРЫЛ СВОИ ЗАКОНЫ ЭМПИРИЧЕСКИМ ПУТЕМ.
ИСААК НЬЮТОН ВЫВЕЛ ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА ИЗ ЗАКОНА ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИ
Я. В 1679 ГОДУ ИСААК НЬЮТОН ПОКАЗАЛ,
ЧТО ЛЮБОЕ ТЕЛО В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ШАРООБРАЗНОГО
ТЕЛА МОГУТ ДВИГАТЬСЯ ПО ОКРУЖНОСТИ, ЭЛЛИПСУ, ПАРАБОЛЕ И
ГИПЕРБОЛЕ.
В ЭТОМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ ПЕРВЫЙ ОБОБЩЕННЫЙ НЬЮТОНОМ ЗАКОН КЕПЛЕРА.
Конические сечения
и космические орби
ты
Орбита движения искусственных спутников зависит от начальной скорости.
Критическая скорость, при которой происходит движение по параболе,
называют параболической скоростью.
Движение тел в гравитационном
поле
тело у поверхности Земли должно иметь скорость не меньше
Чтобы навсегда покинуть Землю,
11,2 км/с.
Тело, стремящееся навсегда покинуть Солнечную систему и находящееся на орбите
Земли, должно иметь скорость не меньше 42,1 км/с.
Формулировка второго закона Кеплера не потребовала
Для определения масс небесных тел важное значение имеет обо
Ньютоном третьего закона Кеплера
на любые системы обращающихся тел.
В обобщенном виде третий закон Кеплера обычно формулируетс
обобщения.
бщение
я так:
и T2
2),
и M2+ М),
квадраты периодов обращения двух тел вокруг Солнца (T1
2
помноженные на сумму масс каждого тела и Солнца (M1+ М
относятся как кубы больших полуосей их орбит (a1
3 и a2
3).
Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для
любых двух независимых систем, каждая из которых
состоит из центрального тела и спутников,
взаимодействующих по закону всемирного тяготения.
Масса планеты обычно велика по сравнению с массой
спутника, поэтому с достаточной степенью точности можно
вычислить отношения масс двух планет по формуле:
Задача. Вычислить массу Юпитера, зная, что один из его спутников (Ио)
совершает
оборот вокруг планеты за 1,77 сут на расстоянии 422 тыс. км от
Юпитера.
Решение:
Дано:
М2=1
Т2=27,32д
а2=3,84*105 км
Т1=1,77д
а1=4,22*105 км
Найти: М1
М1= (Т2/Т1)2 (а1/а2)3 М2
М1= (27,32/1,77)2 * (422000/384000)3 * М2
М1≈ 316 М2
Английский
математик Джон Адамс и французский астроном Урбен Леверье
в 1845 году независимо друг от друга сделали расчет
примерного места расположения планеты, возмущающей движение Урана.
Сделав расчет Леверье, убедил астронома Берлинской обсерватории
Иоганна Галле начать поиск новой планеты.
Расчеты были настолько точны, что неизвестная планета, названная
Нептуном, была обнаружена в первую же ночь наблюдений 23 сентября
История открытия Нептуна полностью подтвердила
закон всемирного тяготения Ньютона.
Это был триумф небесной механики, торжество гелиоцентрической
1846 года.
системы.
Урбен Леверье
Поиски девятой планеты Солнечной системы в 1915 году
организовал американский астроном Персиваль Ловелл, но только в 1930
году Плутон открыл сотрудник обсерватории Ловелла Клайд Томбо.
В августе 2006 года на ассамблее Международного
астрономического союза решено лишить Плутон статуса
планеты Солнечной системы. Теперь он имеет право
называться лишь "карликовой планетой".
Около 2,5 тыс. астрономов, собравшихся на ассамблею,
определили такие критерии планеты:
объект должен находиться на орбите вокруг звезды,
но сам не должен быть звездой;
он должен обладать достаточной массой для того,
чтобы его собственная гравитация позволяла ему
сохранять более или менее сферическую форму;
на его орбите не должно быть других небесных тел.
Открытый в 1930 году Плутон лишен планетного статуса,
поскольку не соответствует третьему из этих параметров
- его орбита пересекается с планетой Нептуна.
ДРУГИЕ ДОСТИЖЕНИЯ
КЕПЛЕРА
В математике он нашёл способ определения объёмов разнообразных тел
вращения, предложил первые элементы интегрального исчисления, подробно
проанализировал симметрию снежинок, работы Кеплера в области симметрии
нашли позже применение в кристаллографии и теории кодирования. Он
составил одну из первых таблиц логарифмов, впервые ввёл важнейшее
понятие бесконечно удалённой точки, ввёл понятие фокуса конического
сечения и рассмотрел проективные преобразования конических сечений,
в том числе меняющие их тип.
В физике ввёл термин инерция как прирождённое свойство тел
сопротивляться приложенной внешней силе, вплотную подошёл к открытию
закона тяготения, хотя и не пытался выразить его математически, первый,
почти на сто лет раньше Ньютона, выдвинул гипотезу о том, что причиной
приливов является воздействие Луны на верхние слои океанов.
В оптике: с его трудов начинается оптика как наука. Он описывает ОРБИТЫ РАВНА 2,88 А. Е., А ЭКСЦЕНТРИСИТЕТЕ РАВЕН
ЗВЕЗДНЫЙ ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ ЮПИТЕРА ВОКРУГ
СОЛНЦА Т = 12 ЛЕТ. КАКОВО СРЕДНЕЕ РАССТОЯНИЕ
ОТ ЮПИТЕРА ДО СОЛНЦА?