Один древний грек, якобы Плутарх, изрёк: дескать, как только Луна замедлит свой бег, она тотчас упадёт на Землю, как камень, выброшенный из пращи. Это было сказано ещё тогда, когда падали звёзды, а не метеориты.
Веков так через семнадцать Галилей, вооружённый уже не только искусством разумных обобщений, но и телескопом, продолжил: Луна, мол, не замедляет свой бег потому, что движется по инерции, и движению этому, очевидно, ничто не препятствует. Сказал, как отрезал.
Ещё лет через двести свои три копейки вставил Ньютон: мол, уважаемые, если бы Луна двигалась только по инерции, она бы двигалась по прямой, давным-давно исчезнув в бездне Вселенной; Землю и Луну удерживает друг подле друга сила взаимного тяготения, принуждающая последнюю двигаться по окружности. Более того, говорил он, гравитация, являясь, скорее всего, первопричиной любого движения во Вселенной, способна на отдельных участках эллиптической (Кеплеровой) орбиты даже ускорять чуть замедлившийся бег Луны… Лет через сто Кавендиш с помощью свинцовых болванок и крутильных весов якобы доказал существование силы взаимного тяготения между небесными телами.
Вот и всё. Стало быть, это инерция и гравитация, принуждающие Луну двигаться по замкнутой орбите, и являются причинами, не позволяющими Луне упасть на Землю. Выходит, если гравитационная масса Земли вдруг увеличится, то Луна лишь отодвинется от неё на своей более высокой орбите за счёт увеличения скорости и пропорционально возрастающего эффекта центробежности. Но…
Никаких замкнутых орбит – круговых и эллиптических – быть у спутников планет не может. Сейчас мы посмотрим на совместное «падение» Земли и Луны на Солнце и убедимся в этом.
Итак, Земля и Луна совместно «падают» в гравитационном пространстве Солнца вот уже около 4-х миллиардов лет. При этом скорость Земли относительно Солнца – примерно 30 км/с, а Луны – 31. За 30 дней Земля проходит по своей траектории 77,8 млн. км (30 х 3600 х 24 х 30), а Луна – 80,3. 80,3 – 77,8 = 2,5 млн. км. Радиус орбиты Луны равен примерно 400000 км. Стало быть, длина окружности орбиты Луны – 400000 х 2 х 3,14 = 2,5 млн. км. Только в наших рассуждениях 2,5 млн. км - это уже «кривизна» почти прямой траектории Луны.
Масштабное отображение траекторий Земли и Луны может выглядеть и так: если в одной клетке будет 1 млн. км, то путь, пройденный Землёй и Луной за месяц, не уместится и во весь разворот тетрадки в клеточку, при этом максимальное удаление траектории Луны от траектории Земли в фазах полнолуния и новолуния будет равно всего 2-м миллиметрам.
Однако можно взять произвольной длины отрезок, означающий путь Земли, и нарисовать движение Луны за месяц. Движение Земли и Луны происходит справа налево, то есть против часовой стрелки. Если Солнце у нас где-то внизу рисунка, то в правой части рисунка мы точкой обозначим Луну в фазе полнолуния. Пусть Земля в это время будет точно под этой точкой. Через 15 дней Луна будет в фазе новолуния, то есть как раз посередине нашего отрезка и как раз под Землёй на рисунке. В левой части рисунка снова обозначаем точками положение Луны и Земли в фазе полнолуния.
Луна в течении месяца дважды пересекает траекторию Земли в так называемых узлах. Первый узел будет примерно в 7,5 сутках от фазы полнолуния. С Земли в это время видна как раз половинка лунного диска. Эта фаза называется первой четвертью, так как Луна к этому времени проходит четверть своего ежемесячного пути. Второй раз Луна пересекает траекторию Земли в последней четверти, то есть примерно в 7,5 сутках от фазы новолуния. Нарисовали?
Вот, что интересно: Луна в узле первой четверти находится на 400000 км впереди Земли, а в узле последней четверти – уже на 400000 км позади неё. Выходит, Луна «по верхнему гребню волны» движется с ускорением, а «по нижнему» - с замедлением; путь Луны от узла последней четверти до узла первой четверти на 800000 км длиннее.
Конечно, Луна в своём движении по «верхней дуге» ускоряется не самопроизвольно, это Земля своей гравитационной массой захватывает её и как бы перебрасывает через себя. Именно это свойство движущихся планет – захватывать и ускорять, увлекая за собой, – и используется для ускорения космических зондов при так называемом гравитационном маневре. Если же зонд пересекает путь планеты спереди от неё, то мы имеем гравитационный маневр с замедлением зонда. Всё просто.
Кульминация полнолуния повторяется через 29 суток 12 часов и 44 минуты. Это синодический период обращения Луны. Теоретически Луна должна проходить свой путь по орбите за 27 суток 7 часов и 43 минуты. Это сидерический период обращения, которого, на самом деле просто нет, как нет и замкнутой орбиты с определённой длиной окружности. Нестыковку в двое суток в учебниках объясняют перемещением Земли и Луны за месяц относительно круглого Солнца...
Итак, Ньютон «непадение» Луны на Землю объяснял её временными ускорениями при движении по эллиптической орбите. Мы, как думается, объяснили это ещё проще. А главное - правильнее и практичнее.
Помнится, Кеплер и Галилей дружно смеялись над "одержимостью округлённостью" орбит своих продвинутых современников: дескать, посмеёмся, мой Кеплер, великой глупости людской... Однако хорошо смеётся только тот, кто смеётся последним. Правда, смеяться над глупостью, попавшей в учебники, как-то не принято. И мы не будем.
Теперь - самое время ответить на непростой вопрос "Почему Луна к Земле всегда одним боком?". Ответ прост: потому что траектория движения Луны представляет собой не волну, а спираль с осью, находящейся на Земле.
Если один самолёт просто летит, а другой делает вокруг него "бочку", то с первого самолёта всегда видно только "брюхо" второго. При этом второй самолёт поочерёдно подставляется солнечным лучам всеми своими сторонами, если солнце где-то сбоку от них. Таким образом, смена светлого и тёмного времени суток происходит на Земле благодаря её суточному вращению, а на Луне день и ночь сменяются благодаря её движению по спиральной траектории.
Ученик . Широко известен рассказ о том, что на открытие закона всемирного тяготения Ньютона навело падение яблока с дерева. Насколько достоверен этот рассказ, мы не знаем, но остается фактом, что вопрос, который мы собрались сегодня обсудить: «Почему Луна не падает на Землю?», интересовал Ньютона и привел его к открытию закона тяготения. Ньютон утверждал, что между Землей и всеми материальными телами существует сила тяготения, которая обратно пропорциональна квадрату расстояния.
Ньютон рассчитал ускорение, сообщаемое Луне Землей. Ускорение свободно падающих тел у поверхности Земли равно g=9,8 м/с 2 . Луна удалена от Земли на расстояние, равное примерно 60 земным радиусам. Следовательно, рассуждал Ньютон, ускорение на этом расстоянии будет: . Луна, падая с таким ускорением, должна бы приблизиться к Земле за первую секунду на 0,0013 м. Но Луна, кроме того, движется и по инерции в направлении мгновенной скорости, т. е. по прямой, касательной в данной точке к ее орбите вокруг Земли (рис. 25).
Двигаясь по инерции, Луна должна удалиться от Земли, как показывает расчет, за одну секунду на 1,3 мм. Разумеется, такого движения, при котором за первую секунду Луна двигалась бы по радиусу к центру Земли, а за вторую секунду – по касательной, в действительности не существует. Оба движения непрерывно складываются. В результате Луна движется по кривой линии, близкой к окружности.
Проведем опыт, из которого видно, как сила притяжения, действующая на тело под прямым углом к направлению его движения, превращает прямолинейное движение в криволинейное. Шарик, скатившись с наклонного желоба, по инерции продолжает двигаться по прямой линии. Если же сбоку положить магнит, то под действием силы притяжения к магниту траектория шарика искривляется (рис. 26).
Луна обращается вокруг Земли, удерживаемая силой притяжения. Стальной канат, который мог бы удержать Луну на орбите, должен был бы иметь диаметр около 600 км. Но, несмотря на такую огромную силу притяжения, Луна не падает на Землю, потому что, имея начальную скорость, движется по инерции.
Зная расстояние от Земли до Луны и число оборотов Луны вокруг Земли, Ньютон определил центростремительное ускорение Луны. Получилось уже известное нам число: 0,0027 м/с2.
Прекратись действие силы притяжения Луны к Земле – и Луна по прямой линии умчится в бездну космического пространства. Так в устройстве, показанном на рисунке 27, улетит по касательной шарик, если разорвется нить, удерживающая шарик на окружности. В известном вам приборе на центробежной машине (рис. 28) только связь (нитка) удерживает шарики на круговой орбите.
При разрыве нити шарики разбегаются по касательным. Глазом трудно уловить их прямолинейное движение, когда они лишены связи, но если мы сделаем чертеж (рис. 29), то будет видно, что шарики двигаются прямолинейно, по касательной к окружности.
Прекратись движение по инерции – и Луна упала бы на Землю. Падение продолжалось бы четверо суток девятнадцать часов пятьдесят четыре минуты пятьдесят семь секунд, так рассчитал Ньютон.
Учитель
, присутствующий на занятии кружка. Доклад окончен. У кого есть вопросы?
Вопрос . С какой силой Земля притягивает Луну?
Ученик . Это можно определить по формуле, выражающей закон тяготения: , где G – гравитационная постоянная, M и m – массы Земли и Луны, r – расстояние между ними. Я ожидал этого вопроса и сделал вычисление заранее. Земля притягивает Луну с силой около 2 * 10 20 Н.
Вопрос . Закон всемирного тяготения применим ко всем телам, значит, и Солнце тоже притягивает Луну. Интересно, с какой силой?
Ответ . Масса Солнца в 300000 раз больше массы Земли, но расстояние между Солнцем и Луной больше расстояния между Землей и Луной в 400 раз. Следовательно, в формуле числитель увеличится в 300000 раз, а знаменатель – в 400 2 , или 160000 раз. Сила тяготения получится почти в два раза больше.
Вопрос . Почему же Луна не падает на Солнце?
Ответ . Луна падает на Солнце так же, как и на Землю, т. е. лишь на столько, чтобы оставаться примерно на одном расстоянии, обращаясь вокруг Солнца.
– Вокруг Земли!
– Неверно, не вокруг Земли, а вокруг Солнца. Вокруг Солнца обращается Земля вместе со своим спутником – Луной, значит, и Луна обращается вокруг Солнца.
Вопрос . Луна не падает на Землю, потому что, имея начальную скорость, движется по инерции. Но по третьему закону Ньютона силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположно направлены. Поэтому, с какой силой Земля притягивает к себе Луну, с такой же силой Луна притягивает Землю. Почему же Земля не падает на Луну? Или она обращается вокруг Луны?
Учитель . Дело в том, что и Луна, и Земля обращаются вокруг общего центра масс. Вспомните опыт с шариками и центробежной машиной. Масса одного из шариков в два раза больше массы другого. Чтобы шарики, связанные ниткой, при вращении оставались в равновесии относительно оси вращения, их расстояния от оси, или центра вращения, должны быть обратно пропорциональны массам. Точка, вокруг которой обращаются эти шарики, называется центром масс двух шариков.
Третий закон Ньютона в опыте с шариками не нару|лается: силы, с которыми шарики тянут друг друга к общему центру масс, равны. Общий центр масс Земли и Луны обращается вокруг Солнца.
Вопрос . Можно ли силу, с которой Земля притягивает Луну, назвать весом Луны?
Ученик . Нет, нельзя! Весом тела мы называем вызванную притяжением Земли силу, с которой тело давит на какую-нибудь опору, чашку весов например, или растягивает пружину динамометра. Если подложить под Луну (со стороны, обращенной к Земле) подставку, то Луна на нее не будет давить. Не будет Луна растягивать и пружину динамометра, если бы мы смогли ее подвесить. Все действие силы притяжения Луны Землей выражается лишь в удержании Луны на орбите, в сообщении ей центростремительного ускорения. Про Луну можно сказать, что по отношению к Земле она невесома так же, как невесомы предметы в космическом корабле-спутнике, когда прекращается работа двигателя и на корабль действует только сила притяжения к Земле.
Вопрос . Где находится центр масс системы Земля – Луна?
Ответ . Расстояние от Земли до Луны составляет 384000 км. Отношение массы Луны к массе Земли равно 1:81. Расстояния от центра масс до центров Луны и Земли будут обратно пропорциональны этим числам. Разделив 384000 км на 82, получим примерно 4700 км. Значит, центр масс находится на расстоянии 4700 км от центра Земли.
– А чему равен радиус Земли?
– Около 6400 км.
– Следовательно, центр масс системы Земля – Луна лежит внутри земного шара (рис. 30, точка O). Поэтому, если не гнаться за точностью, можно говорить об обращении Луны вокруг Земли.
Вопрос . Что легче: улететь с Земли на Луну или с Луны на Землю?
Ответ . Чтобы ракета стала искусственным спутником Земли, ей надо сообщить начальную скорость, приблизительно равную 8 км/с. Чтобы ракета вышла из сферы притяжения Земли, нужна так называемая вторая космическая скорость, равная 11,2 км/с. Для запуска ракет с Луны нужна меньшая скорость: ведь сила тяжести на Луне в шесть раз меньше, чем на Земле.
Вопрос . Я плохо понимаю, почему внутри ракеты тела не имеют веса. Может быть, это только в той точке на пути к Луне, в которой сила притяжения к Луне уравновешивается силой притяжения к Земле?
Учитель . Нет. Тела внутри ракеты становятся невесомыми с того момента, когда прекращают работу двигатели и ракета начинает свободный полет по орбите вокруг Земли, находясь при этом в поле тяготения Земли. При свободном полете вокруг Земли и спутник, и все предметы в нем относительно центра массы Земли движутся с одинаковым центростремительным ускорением и потому невесомы.
1-й вопрос . Как двигались не связанные ниткой шарики на центробежной машине: по радиусу или по касательной к окружности?
Ответ зависит от выбора системы отсчета, т. е. от выбора того тела, относительно которого мы рассматриваем движение шариков. Если за систему отсчета принять поверхность стола, то шарики двигались по касательным к описываемым ими окружностям. Если же принять за систему отсчета сам вращающийся прибор, то шарики двигались по радиусу. Без указания системы отсчета вопрос о характере движения не имеет смысла. Двигаться – значит перемещаться относительно других тел, и мы должны обязательно указывать, относительно каких именно.
2-й вопрос . Вокруг чего обращается Луна?
Если рассматривать движение относительно Земли, то Луна обращается вокруг Земли. Если же за тело отсчета принять Солнце, то – вокруг Солнца. Поясню сказанное рисунком из книги «Занимательная астрономия» Перельмана (рис. 31). Скажите, относительно какого тела показано здесь движение небесных тел.
– Относительно Солнца.
– Верно. Но нетрудно заметить, что Луна все время меняет свое положение и относительно Земли.
Учитель . Конечно, не могут. При положении Земли или Луны (заметьте, я говорю «или», а не «и») в пункте пересечения показанных орбит расстояние между Землей и Луной составляет 380000 км. Чтобы лучше в этом разобраться, начертите к следующему занятию диаграмму этого сложного движения. Орбиту Земли изобразите в виде дуги окружности радиусом 15 см (расстояние от Земли до Солнца, как известно, равно 150000000 км). На дуге, равной 1/12 части окружности (месячный путь Земли), отметьте на равных расстояниях пять точек, считая и крайние. Эти точки будут центрами лунных орбит относительно Земли в последовательные четверти месяца. Радиус лунных орбит нельзя изобразить в том же масштабе, в каком вычерчена орбита Земли, так как он будет слишком мал. Чтобы начертить лунные орбиты, надо выбранный масштаб увеличить примерно в десять раз, тогда радиус лунной орбиты составит около 4 мм. Укажите на каждой орбите положение Луны, начав с полнолуния, и соедините отмеченные точки плавной пунктирной линией.
На следующем занятии кружка одна из учениц показала требуемую диаграмму (рис. 32).
Рассказ ученицы, чертившей диаграмму: «Я многому научилась, пока рисовала эту диаграмму. Надо было правильно определить положение Луны в ее фазах, подумать о направлении движения Луны и Земли по их орбитам. В чертеже есть неточности. О них я сейчас скажу. При выбранном масштабе неправильно изображена кривизна лунной орбиты. Она должна быть все время вогнута по отношению к Солнцу, т. е. центр кривизны должен находиться внутри орбиты. Кроме того, в году не 12 лунных месяцев, а больше. Но одну двенадцатую часть окружности легко построить, поэтому я условно приняла, что в году 12 лунных месяцев. И наконец, вокруг Солнца обращается не сама Земля, а общий центр масс системы Земля – Луна».
Луна, естественный спутник Земли, в процессе своего движения в пространстве испытывает влияние главным образом двух тел - Земли и Солнца. При этом солнечное притяжение в два раза сильнее земного. Поэтому оба тела (Земля и Луна ) вращаются вокруг Солнца, находясь поблизости друг от друга.При двукратном преобладании солнечного притяжения над земным кривая движения Луны должна быть вогнутой по отношению к Солнцу во всех своих точках. Влияние близкой Земли, существенно превышающей по массе Луну, приводит к тому, что величина кривизны лунной гелиоцентрической орбиты периодически меняется.
Схема перемещения Земли и Луны в пространстве и изменение их взаимного положения по отношению к Солнцу показаны на схеме.
Обращаясь вокруг Земли Луна движется по орбите со скоростью 1 км/сек, т.е достаточно медленно чтобы не покинуть свою орбиту и "улететь" в космос, но и достаточно быстро, чтобы не упасть на Землю . Прямо отвечая автору вопроса, можно сказать, что Луна упадет на Землю только в том случае, если не будет двигаться по орбите, т.е. если внешние силы (некая космическая рука) остановят Луну в ее движении по орбите, то она естественным образом упадет на Землю . Однако при этом выделится столько энергии, что говорить о падении Луны на Землю , как твердого тела не приходится.
И еще по движению Луны.
Для наглядности модель перемещения Луны в пространстве упрощают. При этом мы не потеряем математической и небесно-механической строгости, если, взяв за основу более простой вариант, не забудем учесть влияние многочисленных возмущающих движение факторов.
Предположив Землю неподвижной, можно представить Луну спутником нашей планеты, движение которого подчиняется законам Кеплера и происходит по эллиптической" орбите. Согласно подобной схеме среднее значение эксцентриситета лунной орбиты составляет е = 0,055. Большая полуось этого эллипса равна по величине среднему расстоянию, т. е. 384 400 км. В апогее при наибольшем удалении это расстояние увеличивается до 405 500 км, а в перигее (при наименьшем удалении) составляет 363300 км- Плоскость лунной орбиты наклонена к плоскости эклиптики на некоторый угол.
Выше приведена схема, поясняющая геометрический смысл элементов орбиты Луны.
Элементы орбиты Луны описывают среднее, невозмущенное движение Луны,
Однако влияние Солнца и планет приводит к тому, что орбита Луны изменяет свое положение в пространстве. Линия узлов движется в плоскости эклиптики в направлении, обратном движению Луны по орбите. Следовательно, значение долготы восходящего узла непрерывно меняется. Полный оборот линия узлов совершает за 18,6 года.
Согласно Закону всемирного тяготения Ньютона, все материальные объекты притягиваются друг к другу, с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Ну, особо не вдумывайтесь. Я знаю, как вы это делать не любите. Далее я все подробненько объясню! Итак, учтите, что когда вы подпрыгиваете, Земля притягивает вас обратно, тоже происходит и с Землей, вы тоже к себе ее притягиваете. Но этого не заметно, потому как ваша масса ничтожно мала по сравнению с массой земной!
Теперь давайте все уберем: воздух, Солнце, cпутники, прочие системы и объекты вселенной. Оставим только экспериментальные Луну и Землю!
Вы думаете, что в такой идеальной системе, Луна таки столкнется с Землей?
Ну в принципе, так и должно произойти, опираясь на вышеприведенный закон, Земля должна притянуть к себе Луну, Луна притянуть к себе Землю, и они объединятся в одно нечто! Но этого не происходит! Что-то мешает! Теперь добавим в нашу систему меня! Ну и еще, для наглядности дадим мне в руку камень! (так надо)
Заметьте, что я уже нахожусь на Земле, меня притянуло и никак не отцепиться от нее! А камень в моей руке все еще тянется к Земле, но я ему не даю притянуться... Злорадствую над Землей.
Итак, эксперимент:
Я запускаю камень со всей силы вдоль поверхности Земли!
Он пролетает какое-то расстояние и улетел бы, с радостью, в другую солнечную систему, если бы коварная Земля не начала его притягивать. Он не смог сопротивляться этому закону всемирного тяготения. От которого еще Ньютон пострадал. Наверняка яблоко ему неплохую шишку-то набило! Чтоб его...
Теперь этот камень я запускаю с еще большей силой... Ну, короче, со всей силой как запулил!
Он облетел чуть ли не большую половину Земли. Но все равно Земля оказалась сильнее и таки притянула его!
И что же вы думаете...
На этом я не успокоюсь, теперь камень я запустил со скоростью почти 8000 м/c.
Летит себе камень и думает: "Наконец я удаляюсь от этой здоровенной планеты... Или нет? ... АААААААА Она опять меня к себе притягивает...!"
Не успел я оглянуться, как мой камень летит ко мне в затылок... А если пригнусь? ... Очевидно, что полетит дальше на следующий виток!
Осталось только придать камню вторую космическую и увидим...
...Как камень покинет орбиту а возможно, и солнечную систему, если никто, конечно, другой его не притянет!
Вот так-то!
Солнце оказывается здесь и ни при чем! А Луна - это тот же камень, и если её притормозить, она непременно упадет на Землю!
Все в этом мире притягивается ко всему. И для этого не нужно обладать какими-то специальными свойствами (электрическим зарядом, участвовать во вращении, иметь размер не меньше какого-то.). Достаточно просто существовать, как существует человек или Земля, или атом. Тяготение или, как часто говорят физики, гравитация - самое универсальное взаимодействие. И все-таки: все притягивается ко всему. Но как именно? По каким законам? Как это ни удивительно, закон этот один, и причем, он один и тот же для всех тел во Вселенной - и для звезд, и для электронов.
1. Законы Кеплера
Ньютон утверждал, что между Землёй и всеми материальными телами существует сила тяготения, которая обратно пропорциональна квадрату расстояния.
В XIV веке астроном из Дании Тихо Браге почти 20 лет наблюдал за движением планет и записывал их положения, и смог с наибольшей возможной в то время точностью определить их координаты в различные моменты времени. Его помощник, математик и астроном Иоганн Кеплер, проанализировал записи учителя и сформулировал три закона движения планет:
Первый закон Кеплера
Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форму эллипса степень его сходства с окружностью будет тогда характеризовать отношение: e=c/d , где c - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина меж фокусного расстояния); a - большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 и e = 0 эллипс превращается в окружность с радиусом a.
Второй закон Кеплера (Закон площадей)
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём площадь сектора орбиты, описанная радиус-вектором планет, изменяется пропорционально времени.
Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий - ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий - наиболее удалённая точка орбиты. Тогда можно утверждать, что планета движется вокруг Солнца неравномерно: имея линейную скорость в перигелие больше, чем в афелии.
Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее; поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
Третий закон Кеплера (Гармонический закон)
Третий, или гармонический, закон Кеплера связывает среднее расстояние планеты от Солнца (a) с ее орбитальным периодом (t):
где индексы 1 и 2 соответствуют любым двум планетам.
Ньютон принял эстафету Кеплера. К счастью, от Англии 17-го века осталось немало архивов, писем. Проследим за рассуждениями Ньютона.
Надо сказать, что орбиты большинства планет мало отличаются от круговых. Поэтому будем считать, что планета движется не по эллипсу, а по окружности радиуса R - это не меняет сути вывода, но сильно упрощает математику. Тогда третий закон Кеплера (он остается в силе, ведь окружность - частный случай эллипса) можно сформулировать так: квадрат времени одного оборота по орбите (T2) пропорционален кубу среднего расстояния (R3) от планеты до Солнца:
T2=CR3 (экспериментальный факт).
Здесь С - некоторый коэффициент (постоянная - одна и та же для всех планет).
Т. к. время одного оборота T можно выразить через среднюю скорость движения планеты по орбите v: T=2(R/v, то третий закон Кеплера принимает следующий вид:
Или после сокращения 4(2 /v2=СR.
Теперь учтем, что согласно второму закону Кеплера движение планеты по круговой траектории происходит равномерно, т. е. с постоянной по величине скоростью. Из кинематики нам известно, что ускорение тела, движущегося по окружности с постоянной скоростью, будет чисто центростремительным и равным v2/R. А тогда сила, действующая на планету, по второму закону Ньютона будет равна
Выразим отношение v2/R из закона Кеплера v2/R=4(2 /СR2 и подставим его во второй закон Ньютона:
F= m v2/R=m4(2 /СR2 = k(m/R2), где к=4(2 /С - постоянная для всех планет величина.
Итак, для любой планеты сила, действующая на нее, прямо пропорциональна ее массе и обратно пропорциональна квадрату ее расстояния от Солнца:
Солнце - источник силы, действующей на планету, следует из первого закона Кеплера.
Но если Солнце притягивает планету с силой F, то и планета (по третьему закону Ньютона) должна притягивать Солнце с той же по величине силой F. Причем, эта сила по своей природе ничем не отличается от силы со стороны Солнца: она тоже гравитационная и, как мы показали, тоже должна быть пропорциональна массе (на сей раз - Солнца) и обратно пропорциональна квадрату расстояния: F=k1(M/R2), здесь коэффициент к1 - свой для каждой планеты (возможно, он даже зависит от ее массы!).
Приравнивая обе силы тяготения, мы получаем: km=k1M. Это возможно при условии, что k=(M, а k1=(m, т. е. при F=((mM/R2), где (- постоянная - одна и та же для всех планет.
Поэтому всемирная гравитационная постоянная (не может быть любой - при выбранных нами единицах величин - только такой, какой ее выбрала природа. Измерения дают примерное значение (= 6,7 х10-11 Н. м2/кг2.
2. Закон всемирного тяготения
Ньютон получил замечательный закон, описывающий гравитационное взаимодействие любой планеты с Солнцем:
Следствиями этого закона оказались все три закона Кеплера. Это было колоссальным достижением - найти (один!) закон, управляющий движением всех планет Солнечной системы. Если бы Ньютон ограничился только этим, мы все равно вспоминали бы его при изучении физики в школе и называли бы выдающимся ученым.
Ньютон был гением: он предположил, что тот же самый закон управляет гравитационным взаимодействием любых тел, он описывает поведение Луны, вращающейся вокруг Земли, и яблока, падающего на Землю. Это была удивительная мысль. Ведь общее мнение было - небесные тела движутся по своим (небесным) законам, а земные тела - по своим, “мирским” правилам. Ньютон предположил единство законов природы для всей Вселенной. В 1685 г. И. Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения:
Любые два тела (а точнее, две материальные точки) притягиваются по направлению друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Закон всемирного тяготения - один из лучших примеров, показывающих, на что способен человек.
Сила тяготения, в отличие от сил трения и упругих, не является контактной силой. Этой силе требуется соприкосновения двух тел, чтобы они гравитационно взаимодействовали. Каждое из взаимодействующих тел создает во всем пространстве вокруг себя гравитационное поле - такую форму материи, посредством которой тела гравитационно взаимодействуют друг с другом. Поле, созданное каким-то телом, проявляется в том, что действует на любое другое тело с силой, определяемой всемирным законом тяготения.
3. Перемещение Земли и Луны в пространстве.
Луна, естественный спутник Земли, в процессе своего движения в пространстве испытывает влияние главным образом двух тел - Земли и Солнца. Рассчитаем силу, с которой Солнце притягивает Луну, применив закон всемирного тяготения, получим, что солнечное притяжение в два раза сильнее земного.
Почему же Луна не падает на Солнце? Дело в том, что и Луна, и Земля обращаются вокруг общего центра масс. Общий центр масс Земли и Луны обращается вокруг Солнца. Где находится центр масс системы Земля - Луна? Расстояние от Земли до Луны составляет 384 000 км. Отношение массы Луны к массе Земли равно 1:81. Расстояния от центра масс до центров Луны и Земли будут обратно пропорциональны этим числам. Разделив 384 000 км на 81, получим примерно 4700 км. Значит, центр масс находится на расстоянии 4700 км от центра Земли.
* А чему равен радиус Земли?
* Около 6400 км.
* Следовательно, центр масс системы Земля - Луна лежит внутри земного шара. Поэтому, если не гнаться за точностью, можно говорить об обращении Луны вокруг Земли.
Перемещения Земли и Луны в пространстве и изменение их взаимного положения по "отношению к Солнцу показаны на схеме.
При двукратном преобладании солнечного притяжения над земным кривая движения Луны должна быть вогнутой по отношению к Солнцу во всех своих точках. Влияние близкой Земли, существенно превышающей по массе Луну, приводит к тому, что величина кривизны лунной гелиоцентрической орбиты периодически меняется.
Луна обращается вокруг Земли, удерживаемая силой притяжения. С какой силой Земля притягивает Луну?
Это можно определить по формуле, выражающей закон тяготения: F=G*(Mm/r2) где G - гравитационная постоянная, Mm - массы Земли и Луны, r - расстояние между ними. Сделав вычисление, мы пришли к тому, что Земля притягивает Луну с силой около 2-1020 Н.
Все действие силы притяжения Луны Землей выражается лишь в удержании Луны на орбите, в сообщении ей центростремительного ускорения. Зная расстояние от Земли до Луны и число оборотов Луны вокруг Земли, Ньютон определил центростремительное ускорение Луны, получилось уже известное нам число: 0,0027 м/с2. Хорошее соответствие расчетного значения центростремительного ускорения Луны с его действительным значением подтверждает предположение о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести. Луну на орбите мог бы удержать стальной канат, имеющий диаметр около 600 км. Но, не смотря на такую огромную силу притяжения, Луна не падает на Землю.
Луна удалена от Земли на расстояние, равное примерно 60 земным радиусам. Следовательно, рассуждал Ньютон. Луна, падая с таким ускорением, должна бы приблизиться к Земле за первую секунду на 0,0013 м. Но Луна, кроме того, движется и по инерции в направлении мгновенной скорости, т. е. по прямой, касательной в данной точке к ее орбите вокруг Земли
Двигаясь по инерции, Луна должна удалиться от Земли, как показывает расчёт, за одну секунду на 1,3 мм. Разумеется, такого движения, при котором за первую секунду Луна двигалась бы по радиусу к центру Земли, а за вторую секунду – по касательной, в действительности не существует. Оба движения непрерывно складываются. В результате Луна движется по кривой линии, близкой к окружности.
Обращаясь вокруг Земли, Луна движется по орбите со скоростью 1 км/сек, т. е достаточно медленно, чтобы не покинуть свою орбиту и "улететь" в космос, но и достаточно быстро, чтобы не упасть на Землю. Можно сказать, что Луна упадет на Землю только в том случае, если не будет двигаться по орбите, т. е. если внешние силы (некая космическая рука) остановят Луну в ее движении по орбите, то она естественным образом упадет на Землю. Однако при этом выделится столько энергии, что говорить о падении Луны на Землю, как твердого тела не приходится. Из всего изложенного можно сделать вывод.
Луна падает, но не может упасть. И вот почему. Движение Луны вокруг Земли является результатом компромисса между двумя "желаниями" Луны: двигаться по инерции - по прямой (из-за наличия скорости и массы) и падать "вниз" на Землю (тоже из-за наличия массы). Можно сказать так: всемирный закон тяготения призывает Луну упасть на Землю, но закон инерции Галилея "уговаривает" ее вообще не обращать на Землю внимания. В результате получается нечто среднее - орбитальное движение: постоянное, без окончания, падение.