Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре. Как изучать тригонометрию

исследование, начало которого напоминает маленькую волну, после чего наблюдается систолический подъем. Маленькая волна, как правило, показывает сокращение предсердия. С началом подъема совпадает начало изгнания крови в аорту. На этой же ленте можно увидеть еще одну максимально высокую вершину, которая сигнализирует о закрытии полулунных клапанов. Форма данного отрезка максимального подъема может быть достаточно многообразной, что приводит к различным результатам данного исследования. После максимального подъема следует спуск кривой, который продолжается до самого конца. Данный отрезок верхушечной кардиограммы сопровождается открытием митрального клапана. После этого – незначительный подъем волны. Он указывает на время быстрого наполнения. Весь остальной отрезок кривой обозначается как время пассивного наполнения желудочка. Такое исследование правого желудочка способна указать на возможные патологические отклонения.

Тригонометрия в медицине

Руководитель: Козлова Людмила Васильевна

Цель работы: Изучить использование тригонометрии в медицине. После проделанной работы, я изучила использование тригонометрии в медицине: составление биоритмов человека, кардиологии. Она дает основу для составлений формул органов человека, что впоследствии поможет лечить любые заболевания. Данная работа рассказывает, в каких именно сферах медицины применяются знания по тригонометрии. Благодаря этой работе я выяснила основные принципы чтения электрокардиограммы и самостоятельно смогу отличить нормальный результат обследования, от ярких отклонений.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность: Впервые с тригонометрией я столкнулась в восьмом классе, когда мы начали изучать азы этого раздела математики. Простейшие правила определения синуса и косинуса показались мне очень легкими, поэтому не вызвали особого интереса. Позднее, когда я начала учиться в десятом классе, то было ясно сразу, что тригонометрия- это огромный раздел математики, объединяющий большое количество знаний и теории. В дальнейшем я выяснила, что знания о тригонометрии очень универсальные для всех областей деятельности. Они имеют широкое применение в астрономии, географии, теории музыки, анализ финансовых рынков, электроники, теории вероятности, статистике, биологии, медицине, фармацевтики, химии, криптографии и многие другие.

Тригономе́трия (от греч. τρίγωνον (треугольник) и греч. μέτρεο (меряю), то есть измерение треугольников) - раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.

Термин «тригонометрия» ввел в употребление в 1595 немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. К концу 16 в. большинство тригонометрических функций было уже известно, хотя само это понятия еще не существовало.

Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне. Как известно, тригонометрия применяется не только в математике, но и в других сферах науки. Данная работа рассказывает, в каких именно сферах медицины применяются знания по геометрии.

Одно из главных применений - кардиология. Аппараты ЭКГ снимают кардиограмму у людей, фиксируя удары сердца. После общения со специалистом по чтению графиков электрокардиограммы я выяснила, что график является измененной синусоидой. И здесь важна каждая неровность графика. Количество интервалов и зубцов, максимум и минимум скачков, протяженность периодов: все это играет важную роль в определении диагноза и правильности лечения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

ЦЕЛЬ: Изучить использование тригонометрии в медицине.

ЗАДАЧИ:

Изучить историю тригонометрии.

Выяснить, в каких сферах медицины применяется тригонометрия.

Выполнить практическую часть работы, выяснить принцип, на который опираются врачи-кардиологи, читая график электрокардиограммы.

1.2.ИСТОРИЯ

Первые тригонометрические таблицы видимо были составлены Гиппархом, который сейчас известен как «отец тригонометрии».

Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды - это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики, времен Аристарха, иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи -

где 0° < β < α < 90°,

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180-125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху.

Позднее Клавдий Птолемей (90 - 168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Тринадцать книг «Альмагеста» - самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Позже Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, которые не сохранились до наших дней.

Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии. С VIII века учёные стран Ближнего и Среднего Востока развили тригонометрию. После того как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи стали достоянием европейской и мировой науки.

2. ТРИГОНОМЕТРИЯ В МЕДИЦИНЕ

2.1.БИОРИТМЫ

Биоритмы - периодически повторяющиеся изменения характера и интенсивности биологических процессов и явлений. Они свойственны живой материи на всех уровнях ее организации- от молекулярных до биосферы. Одни биологические ритмы относительно самостоятельны (частота сокращений сердца, дыхания), другие связаны с приспособлением организмов к геофизическим циклам - суточным (колебания интенсивности деления клеток, обмена веществ) .

Человек со дня рождения находится в трех , биоритмах : физическом, эмоциональном и интеллектуальном.

Физический цикл равен 23 дням. Он определяет энергию человека, его силу, выносливость, координацию движения.

Эмоциональный цикл (28 дня) обусловливает состояние нервной системы и настроение.

Интеллектуальный цикл (33 дня) определяет творческую способность личности.

Любой из циклов состоит из двух полупериодов, положительного и отрицательного.

В течение первой половины физического цикла человек энергичен и достигает лучших результатов в своей деятельности; во второй половине цикла энергичность уступает лености.

В первой половине эмоционального цикла человек весел, агрессивен, оптимистичен, переоценивает свои возможности, во второй половине - раздражителен, легко возбудим, недооценивает свои возможности, пессимистичен, все критически анализирует.

Рис.1. Биоритмы

Модель биоритмов строят с помощью графиков тригонометрических функций. В интернете находится огромное количество сайтов, которые занимаются расчетом биоритмов. Для этого необходимо ввести дату рождения человека (день, месяц, год) и длительность прогноза.

2.2. ФОРМУЛА СЕРДЦА

В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрокардиографии.

Формула, получившая название тегеранской, представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, постановку диагноза и начало лечения .

На данный момент не известна точная информация касающегося вопроса, ведутся активные работы и исследования по данной теме.

Российские ученые вывели математическую формулу сердца. Благодаря этим уравнениям можно высчитать, спрогнозировать и предотвратить любое сердечное заболевание. Единственная в России лаборатория математической физиологии действует при Екатеринбургском Институте иммунологии и физиологии.

Проблема математических описаний физиологических функций организма – вторая по значимости проблема после проблемы ДНК человека. В будущем будут вычислены формулы других органов человека, и медики с помощью элементарных уравнений смогут прогнозировать и лечить любую болезнь.

Человек - сложнейший механизм, в котором непрерывно происходят физические и химические процессы. Если все процессы, перевести на язык уравнений, то можно будет вывести единую формулу человека.

Математики создали модель сердечной мышцы, которую биологи виртуально соединили с настоящей живой тканью. В компьютерной программе ученые задают сердцу различные нагрузки и наблюдают, как оно ведет себя. Изучив всевозможные алгоритмы, имитирующие деятельность сердца, ученые смогут делать реальные прогнозы.

2. 3. ЭЛЕКТРОКАРДИОГРАММА

Примененный в практических целях в 70-х годах 19 века англичанином А.Уоллером аппарат, записывающий электрическую активность сердца, продолжает служить человеку и по сей день. Электрокардиограф позволяет выявить явные отклонения от нормального ритма сердца, такие как Инфаркт миокарда, Ийшемическая болезнь сердца, синусовая брадикардия, тахекардия,аритмия, синдром слабости синусового узла и т.п. Как же отличить нормальные снимки ЭКГ от ярко выраженных заболеваний?.

3.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ РАБОТЫ

После того, как мне удалось пообщаться со специалистом расшифровки кардиограммы в нашей больнице, я узнала множество полезной информации для моей исследовательской работы.

График электрокардиограммы является измененной синусоидой. И здесь важна каждая неровность графика. Количество интервалов и зубцов, максимум и минимум скачков, протяженность периодов: все это играет важную роль в определении диагноза и правильности лечения. Поэтому график ЭКГ всегда печатается на миллиметровой бумаге.

При расшифровке результатов ЭКГ проводят измерение продолжительности интервалов между ее составляющими. Этот расчет необходим для оценки частоты ритма, где форма и величина зубцов в разных отведениях будет показателем характера ритма, происходящих электрических явления в сердце и электрической активности отдельных участков миокарда, то есть, электрокардиограмма показывает, как работает наше сердце в тот или иной период.

Более строгая расшифровка ЭКГ производиться с помощью анализа и расчета площади зубцов при использовании специальных отведений, однако в практике, обходятся показателем направления электрической оси, которая представляет собой суммарный вектор.

Существуют разные способы расшифровки ЭКГ. Некоторые специалисты основываются на формулы и рассчитывают все по ним; так частоту сердечных сокращений можно вычислить по формуле: где R - R длительность интервала, а некоторые пользуются готовыми данными, что тоже не запрещает отечественная медицина. На рисунке 2 представлены результаты расчетов ЧСС в зависимости от интервала.

Рис.2

Рис.2. Оценка ЧЧС

Рис.3. Виды кардиограмм

На рис.3 представлены три вида кардиограммы. Первая кардиограмма здорового человека, вторая, того же человека, только с синусовой тахикардией, после физической нагрузки, а третья кардиограмма больного человека с синусовой аритмией.

ВЫВОД:

После проделанной работы, я изучила использование тригонометрии в медицине: составление биоритмов человека, кардиологии. Она дает основу для составлений формул органов человека, что впоследствии поможет лечить любые заболевания. Благодаря этой работе я выяснила основные принципы чтения электрокардиограммы и самостоятельно смогу отличить нормальный результат обследования, от ярких отклонений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Электрокардиография: Учебн. пособие. -5-е издание. – М.: МЕДпресс-информ, 2001. – 312с., ил.

Интернет источники: Анатомия коронального клапана/Профессор, доктор мед. наук Ю.П. Островский

МБОУ Целинная СОШ

Доклад Тригонометрия в реальной жизни

Подготовила и провела

учитель математики

квалификационной категории

Ильина В. П.

п. Целинный март 2014г.

Оглавление.

1.Введение .

2.История создания тригонометрии:

Ранние века.

Древняя Греция.

Средневековье.

Новое время.

Из истории развития сферической геометрии.

3.Тригонометрия и реальная жизнь:

Применение тригонометрии в навигации.

Тригонометрия в алгебре.

Тригонометрия в физике.

Тригонометрия в медицине и биологии.

Тригонометрия в музыке.

Тригонометрия в информатике

Тригонометрия в строительстве и геодезии.

4. Заключение .

5. Список литературы.

Введение

Издавна в математике установилась такая практика, что при систематическом изучении математики нам – ученикам приходится встречаться с тригонометрией трижды. Соответственно её содержание представляется состоящим из трёх частей. Эти части при обучении отделены друг от друга по времени и не похожи друг на друга как по смыслу, вкладываемому в объяснения основных понятий, так и по развиваемому аппарату и по служебным функциям (приложениям).

И в самом деле, впервые тригонометрический материал мы встретили в 8 классе при изучении темы «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника». Так мы узнали, что такое синус, косинус и тангенс, научились решать плоские треугольники.

Однако прошло некоторое время и в 9-м классе мы снова вернулись к тригонометрии. Но эта тригонометрия не похожа на ту, что изучали ранее. Её соотношения определяются теперь с помощью окружности (единичной полуокружности), а не прямоугольного треугольника. Хотя они по-прежнему определяются как функции углов, но эти углы уже произвольно велики.

Перейдя же в 10 класс, мы снова столкнулись с тригонометрией и увидели, что она стала ещё сложнее, ввелось понятие радианная мера угла, иначе выглядят и тригонометрические тождества, и постановка задач, и трактовка их решений. Вводятся графики тригонометрических функций. Наконец, появляются тригонометрические уравнения. И весь этот материал предстал перед нами уже как часть алгебры, а не как геометрия. И нам стало очень интересно изучить историю тригонометрии, её применение в повседневной жизни, потому что использование учителем математики исторических сведений не является обязательным при изложении материала урока. Однако, как указывает К. А. Малыгин «...экскурсы в историческое прошлое оживляют урок, дают разрядку умственному напряжению, поднимают интерес к изучаемому материалу и способствуют прочному его усвоению» . Тем более что материал по истории математики весьма обширен и интересен, так как развитие математики тесным образом связано с решением насущных задач, возникавших во все периоды существования цивилизации.

Узнав об исторических причинах возникновения тригонометрии, и изучив, как плоды деятельности великих ученых оказали влияние на развитие этой области математики и на решение конкретных задач, у нас, у школьников, повышается интерес к изучаемому предмету, и мы увидим его практическое значение.

Цель проекта - развитие интереса к изучению темы «Тригонометрия» в курсе алгебры и начала анализа через призму прикладного значения изучаемого материала; расширение графических представлений, содержащих тригонометрические функции; применение тригонометрии в таких науках, как физика, биология и т.п.

Связь тригонометрии с окружающим миром, значение тригонометрии в решении многих практических задач, графические возможности тригонометрических функций позволяют «материализовать» знания школьников. Это позволяет лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых при изучении тригонометрии, повышает интерес к изучению данной темы.

Задачи исследования:

1.Рассмотреть историю возникновения и развития тригонометрии.

2.Показать на конкретных примерах практические приложения тригонометрии в различных науках.

3.Раскрыть на конкретных примерах возможности использования тригонометрических функций, позволяющие «мало интересные» функции превращать в функции, графики которых имеют весьма оригинальный вид.

« Одно осталось ясно, что мир устроен грозно и прекрасно».

Н. Рубцов

Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Мы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре. Значительную роль в развитии навыков применения на практике теоретических знаний, полученных при изучении математики, играют задачи с практическим содержанием. Каждого изучающего математику, интересует, как и где применяются полученные знания. Ответ на этот вопрос и дает данная работа.

История создания тригонометрии

Ранние века

От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают , II век до н. э.).

Главным достижением этого периода стало соотношение катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике, позже получившее имя .

Древняя Греция

Общее и логически связное изложение тригонометрических соотношений появилось в древнегреческой геометрии. Греческие математики ещё не выделяли тригонометрию как отдельную науку, для них она была частью астрономии.
Основным достижением античной тригонометрической теории стало решение в общем виде задачи «решения треугольников», то есть нахождения неизвестных элементов треугольника, исходя из трёх заданных его элементов (из которых хотя бы один является стороной).

Средневековье

В IV веке, после гибели античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Они изменили некоторые концепции тригонометрии, приблизив их к современным: к примеру, они первыми ввели в использование косинус.
Первым специализированным трактатом по тригонометрии было сочинение среднеазиатского учёного (X-XI век) «Книга ключей науки астрономии» (995-996 годы). Целый курс тригонометрии содержал главный труд Аль-Бируни - «Канон Мас‘уда» (книга III). В дополнение к таблицам синусов (с шагом 15") Аль-Бируни дал таблицы тангенсов (с шагом 1°).

После того как арабские трактаты были в XII-XIII веках переведены на латынь, многие идеи индийских и персидских математиков стали достоянием европейской науки. По всей видимости, первое знакомство европейцев с тригонометрией состоялось благодаря зиджу , два перевода которого были выполнены в XII веке.

Первым европейским сочинением, целиком посвященным тригонометрии, часто называют «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома (около 1320 г.). Тригонометрические таблицы, чаще переводные с арабского, но иногда и оригинальные, содержатся в сочинениях ряда других авторов XIV-XV веков. Тогда же тригонометрия заняла место среди университетских курсов.

Новое время

Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса.Происхождение этого слова греческое: треугольник, мера. Иными словами, тригонометрия-наука об измерении треугольников. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад.

Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности(а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в ӀӀӀ в. до н. э в работах великих математиков Древней Греции-Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем(Ӏ в. до н. э), хотя и не приобрели специального названия. Современный минус угла, например изучался как произведение полухорд, на которую опирается центральный угол величиной, или как хорда удвоенной дуги.

В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными. В Ӏ V - V вв. появился, в частности, уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты(476-ок. 550), именем которого назван первый индийский спутник Земли.

Позднее привилось более краткое название джива. Арабскими математиками в Ι X в. слово джива(или джиба) было заменено на арабское слово джайб(выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XΙΙ в. это слово было заменено латинским синус(sinus -изгиб, кривизна)

Слово косинус намного моложе. Косинус-это сокращение латинского выражения complement sinus , т.е «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cos a = sin (90°- a )).

Имея дело с тригонометрическими функциями, мы существенно выходим за рамки задачи «измерения треугольников». По этому известный математик Ф. Клейн (1849-1925) предлагал учение о «тригонометрических» функциях называть иначе- гониометрией(угол). Однако это название не привилось.

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс(а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X в. арабским математиком Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XΙV в. сначала английским ученым Т. Бравердином, а позднее немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г). Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (вспомните: линия тангенсов - это касательная к единичной окружности)

Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1772 г в работах венского математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л.Лагранжа, хотя несколько ранее их уже рассматривал Я.Бернулли, который употреблял иную символику. Но общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVΙΙΙ столетия. Приставка «арк» происходит от латинского arcus x , например -,это угол (а можно сказать, и дуга),синус которого равен x .

Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии, т.е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Пожалуй,наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес(например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказаний затмений и т,д)

Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников, составленных из больших кругов, лежащих на сфере. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с задачами, существенно более трудными, нежели задачи на решении плоских треугольников.

Во всяком случае в геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими, индийскими, арабскими математиками(правда, формулы разности тригонометрических функций стали известны только в XVΙ Ӏ в.- их вывел английский математик Непер для упрощения вычислений с тригонометрическими функциями. А первый рисунок синусоиды появился в 1634 г.)

Принципиальное значение имело составление К.Птолемеем первой таблицы синусов (долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда прикладных задач, и в первую очередь задач астрономии.

Имея дело с готовыми таблицами, или пользуясь калькулятором, мы часто не задумываемся о том, что было время, когда таблицы еще не были изобретены. Для того чтобы составить их, требовалось выполнить не только большой объем вычислений, но и придумать способ составления таблиц. Таблицы Птолемея точны до пяти десятичных знаков включительно.

Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XV ΙӀΙ столетия Л.Эйлер(1707-1783), швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер первый ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. Все это малая доля того, что за долгую жизнь успел сделать Эйлер в математике: он оставил свыше 800 работ,доказал многие ставшие классическими теоремы, относящиеся к самым разным областям математики. Но если вы пытаетесь оперировать с тригонометрическими функциями в геометрической форме, т.е так, как это делали многие поколения математиков до Эйлера, то сумеете оценить заслуги Эйлера в систематизации тригонометрии. После Эйлера тригонометрия приобрела новую форму исчисления: различные факты стали доказывать путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

Из истории развития сферической геометрии .

Широко известно, что евклидова геометрия является одной из наиболее древних наук.: уже в III веке до н.э. появился классический труд Евклида – «Начала». Менее известно, что сферическая геометрия лишь немного моложе. Её первая систематическая изложение относится к I - II векам. В книге «Сферика», написанной греческим математиком Менелаем (I в.), изучались свойства сферических треугольников; доказывалась, в частности, что сумма углов сферического треугольника больше 180 градусов. Большой шаг вперед сделал другой греческий математик Клавдий Птолемей (II в.). По существу он первый составил таблицы тригонометрических функций, ввел стереографическую проекцию.

Так же как и геометрия Евклида, сферическая геометрия возникла при решении задач практического характера, и в первую очередь задач астрономии. Эти задачи были необходимы, например, путешественникам и мореплавателям, которые ориентировались по звездам. А поскольку при астрономических наблюдениях удобно считать, что и Солнце и Луна, и звезды движутся по изображаемой «небесной сфере», то естественно, что для изучения их движения потребовались знания о геометрии сферы. Не случайно поэтому, что самая известная работа Птолемея называлась « Великое математическое построение астрономии в 13 книгах».

Важнейший период истории сферической тригонометрии связан с деятельностью ученых Ближнего Востока. Индийские ученые успешно решали задачи сферической тригонометрии. Однако метод, описанный Птолемеем и основанный на теореме Менелая полного четырехугольника, у них не применялся. И в сферической тригонометрии они пользовались проективными методами, которые соответствовали методам из «Аналеммы» Птолемея. В результате ими был получен набор определенных вычислительных правил, позволявших решить практически любую задачу сферической астрономии. С их помощью такая задача сводилась в конечном счете к сравнению между собой подобных плоских прямоугольных треугольников. При решений нередко применялись теория квадратных уравнений и метод последовательных приближений. Примером астрономической задачи, которую решали индийские ученые с помощью разработанных им правил, служит задачам, рассматриваемая в сочинении «Панга сиддхантика» Варахамихиры (V - VI ). Она состоит нахождении высоты Солнца, если известно широта места, склонения Солнца и его часовой угол. В результате решения этой задачи после ряда построений устанавливается соотношение, которое равносильно современной теореме косинусов для сферического треугольника. Однако и это соотношение, и другое,эквивалентное теореме синусов, не были обобщены как правила, применимые к любому сферическому треугольнику.

Среди первых восточных ученных, которые обратились к обсуждению теореме Менелая, нужно назвать братьев Бану Мусса –Мухаммеда, Хасана и Ахмада, сыновей Муссы ибн Шакира, работавшего в Багдаде и занимавшегося математикой, астрономией и механикой. Но наиболее ранним из сохранившихся сочинений о теоремы Менелая является «Трактат о фигуре секущих» их ученика Сабита ибн Корры (836-901)

Трактат Сабита ибн Корры дошел до нас в арабском оригинале,. И в латинском переводе XII в. Этот перевод Герандо Кремонским (1114-1187), получил широкое распространение в Средневековой Европе.

История тригонометрии, как науки о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур, охватывает более двух тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных алгебраических операций, и поэтому понадобилось ввести особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц.
Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы, немного позднее её стали использовать в архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, в наши дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности.

Прикладные тригонометрические задачи отличаются большим разнообразием - например, могут быть заданы измеримые на практике результаты действий над перечисленными величинами (к примеру, сумма углов или отношение длин сторон).

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. В «Началах» Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров разного диаметра, но потребности астрономии и картографии вызвали быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей - системы небесных координат, теории картографических проекций, технологии астрономических приборов.

курсов.

Тригонометрия и реальная жизнь

Тригонометрические функции нашли применение в математическом анализе, физике, информатике, геодезии, медицине, музыке, геофизике, навигации.

Применение тригонометрии в навигации

Навигация (это слово происходит от латинского navigatio – плыву на судне) – одна из наиболее древних наук. Простейшие задачи навигации, такие, например, как определение кратчайшего маршрута, выбор направления движения, встали перед самыми первыми мореплавателями. В настоящее время эти же и другие задачи приходится решать не только морякам, но и лётчикам, и космонавтам. Некоторые понятия и задачи навигации рассмотрим поподробнее.

Задача. Известны географические координаты – широта и долгота пунктов А и В земной поверхности: , и, . Требуется найти кратчайшее расстояние между пунктами А и В вдоль земной поверхности (радиус Земли считается известным: R = 6371 км)

Решение. Напомним сначала, что широтой пункта М земной поверхности называется величина угла, образованного радиусом ОМ, где О – центр Земли, с плоскостью экватора: ≤ , причем севру от экватора широта считается положительной, а к югу – отрицательной (рисунок 1)

Долгота пункта М есть величина двугранного угла между плоскостями СОМ и СОН, где С – Северный полюс Земли, а Н – точка, отвечающая гринвичской обсерватории: ≤ (к востоку от гринвичского меридиана долгота считается положительной, к западу – отрицательной).

Как уже известно, кратчайшее расстояние между пунктами А и В земной поверхности- это длина меньшей из дуг большой окружности, соединяющая А и В (такую дугу называют ортодромией – в переводе с греческого означает «прямой бег»). Поэтому наша задача сводится к определению длины стороны АВ сферического треугольника АВС (С – северный полюс).

Применяя стандартное обозначение для элементов треугольника АВС и соответствующего трехгранного угла ОАВС, из условия задачи находим: α = = - , β = (рис.2).

Угол С также не трудно выразить через координаты точек А и В. По определению ≤ , поэтому либо угол С = , если ≤ , либо - , если. Зная = с помощью теоремы косинусов: = + (-). Зная и, следовательно угол, находим искомое расстояние: =.

Тригонометрия в навигации 2.

Для прокладки курса корабля на карте, выполненной в проекции Герхарда Меркатора (1569г.), необходимо было определять широту. При плавании по Средиземному морю в лоциях до XVII в. широта не указывалась. Впервые применил тригонометрические расчеты в навигации Эдмонд Гюнтер(1623).

Тригонометрия помогает рассчитывать влияние ветра на полет самолета. Треугольник скоростей – это треугольник, образованный вектором воздушной скорости (V ), вектором ветра(W ), вектором путевой скорости (V п ). ПУ – путевой угол, УВ – угол ветра, КУВ – курсовой угол ветра.

Зависимость между элементами навигационного треугольника скоростей имеет вид:

V п = V cos УС + W cos УВ; sin УС = * sin УВ, tg УВ =

Навигационный треугольник скоростей решается с помощью счетных устройств, на навигационной линейке и приближенно в уме.

Тригонометрия в алгебре.

Вот пример решения сложного уравнения с помощью тригонометрической подстановки.

Дано уравнение

Пусть , получим

;

откуда: или

с учётом ограничений получим:

Тригонометрия в физике

Везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями – будь то акустика, оптика или качание маятника, мы имеем дело с тригонометрическими функциями. Формулы колебаний:

где A – амплитуда колебания, - угловая частота колебания, -начальная фаза колебания

Фаза колебания.

При погружении предметов в воду они не меняют ни формы, ни размеров. Весь секрет - оптический эффект который заставляет наше зрение воспринимать объект по-иному. Простейшие тригонометрические формулы и значения синуса угла падения и преломления луча дают возможность высчитать постоянный коэффициент преломления при переходе светового луча из среды в среду. Например, радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

sin α / sin β = n 1 / n 2

где:

n 1 - показатель преломления первой среды
n 2 - показатель преломления второй среды

α -угол падения, β -угол преломления света.

Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу, называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

В качестве практического примера рассмотрим физическую задачу, которая решается с применением тригонометрии.

Задача. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 24,5 о , находится тело массой 90 кг. Найдите, с какой силой это тело давит на наклонную плоскость (т.е какое давление оказывает тело на эту плоскость).

Решение:

Обозначив оси Х и У, начнем строить проекции сил на оси, для начала воспользовавшись данной формулой:

ma = N + mg , затем смотрим на рисунок,

Х : ma = 0 + mg sin24,5 0

Y: 0 = N – mg cos24,5 0

N = mg cos 24,5 0

подставляем массу, находим, что сила равна 819 Н.

Ответ: 819 Н

Тригонометрия в медицине и биологии

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

Основной земной ритм – суточный.

Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (количество дней).

Даже некоторые участки головного мозга называются синусами.

Стенки синусов образованы твёрдой мозговой оболочкой, выстланной эндотелием. Просвет синусов зияет, клапаны и мышечная оболочка, в отличие от других вен, отсутствуют. В полости синусов располагаются покрытые эндотелием волокнистые перегородки. Из синусов кровь поступает во внутренние ярёмные вены, помимо этого существует связь синусов с венами наружной поверхности черепа посредством резервных венозных выпускников.

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график

функции y = tgx .

Тригонометрия в музыке

Мы слушаем музыку в формате mp3.

Звуковой сигнал – это волна, вот её «график».

Как можно увидеть – это хотя и очень сложная, но синусоида, подчиняющаяся законам тригонометрии.

Во МХАТе весной 2003 года состоялась презентация альбома «Тригонометрия» группы «Ночные снайперы», солистка Диана Арбенина. Содержание альбома раскрывает первоначальное значение слова «тригонометрия» - измерение Земли.

Тригонометрия в информатике

Тригонометрические функции можно использовать для точных расчётов.

С помощью тригонометрических функций можно приблизить любую

(в некотором смысле "хорошую") функцию, разложив её в ряд Фурье:

a 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 sin 2x + a 3 cos 3x + b 3 sin 3x + ...

Подбирая подходящим образом числа a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., можно в виде такой (бесконечной) суммы представлять почти любые функции в компьютере с требуемой точностью.

Тригонометрические функции оказываются полезными при работе с графической информацией. Необходимо промоделировать (описать в компьютере) вращение некоторого объекта вокруг некоторой оси. Возникает поворот на некоторый угол. Чтобы определить при этом координаты точек придётся умножать на синусы и косинусы.

Джастин Уиндел, программист и дизайнер из Google Grafika Lab , опубликовал демо, показывающее примеры использования тригонометрических функций для создания динамической анимации.

Тригонометрия в строительстве и геодезии

Длины сторон и величины углов произвольного треугольника на плоскости связаны между собой определенными соотношениями, важнейшие из которых называют теоремами косинусов и синусов.

2 ab

= =

В этих формулах а, b , c – длины сторон треугольника АВС, лежащих соответственно против углов А, В, С. Эти формулы позволяют по трем элементам треугольника – длинам сторон и углам – восстановить остальные три элемента. Они применяются при решении практических задач, например в геодезии.

Вся "классическая" геодезия основана на тригонометрии. Поскольку фактически с древних времён геодезисты занимаются тем, что "решают" треугольники.

Процесс строительства зданий, дорог, мостов и других сооружений начинается с изыскательских и проектных работ. Все измерения на стройке проводятся с помощью геодезических инструментов, таких как теодолит и тригонометрический нивелир. При тригонометрическом нивелировании определяют разность высот между несколькими точками земной поверхности.

Заключение

Тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, архитектуре, медицине и технике.

Тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться, поэтому знание её законов необходимо каждому.

Связь математики с окружающим миром позволяет «материализовать» знания школьников. Это помогает нам лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых в школе.

Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) мы понимаем задачу, фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, технике, в быту.

Рассказ о исторических причинах возникновения тригонометрии, ее развитии и практическом применении побуждает у нас – школьников интерес к изучаемому предмету, формирует наше мировоззрение и повышает общую культуру.

Данная работа будет полезна для учащихся старших классов, которые ещё не увидели всю красоту тригонометрии и не знакомы с областями её применения в окружающей жизни.

Список литературы:

ТРИГОНОМЕТРИЯ –(от греч. trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

Термин «тригонометрия» ввел в употребление в 1595 немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. К концу 16 в. большинство тригонометрических функций было уже известно, хотя само это понятия еще не существовало.

В тригонометрии выделяют три вида соотношений: 1) между самими тригонометрическими функциями; 2) между элементами плоского треугольника (тригонометрия на плоскости); 3) между элементами сферического треугольника, т.е. фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями, проходящими через ее центр. Тригонометрия началась именно с наиболее сложной, сферической части. Она возникла прежде всего из практических нужд. Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне. Наблюдения за звездным небом с незапамятных времен вели и астрологи.

Естественно, все измерения, связанные с расположением светил на небосводе, – измерения косвенные. Прямые могли быть проведены только на поверхности Земли, но и здесь далеко не всегда удавалось непосредственно определить расстояние между какими-то пунктами и тогда вновь прибегали к косвенным измерениям. Например, вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от какого-нибудь шеста, высота которого была известна. Аналогичным образом вычисляли и размеры острова в море. Подобные задачи сводятся к анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают через другие. Этим и занимается тригонометрия. А поскольку звезды и планеты представлялись древним точками на небесной сфере, то сначала стала развиваться именно сферическая тригонометрия. Ее считали разделом астрономии.

А начиналось все очень давно. Первые отрывочные сведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках Древнего Вавилона. Астрономы Междуречья научились предсказывать положение Земли и Солнца и именно от них к нам пришла система измерения углов в градусах, минутах и секундах, потому что у вавилонян была принята шестидесятеричная система счисления .

Однако первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим ученым. Например, 12-я и 13-я теоремы второй книги Начал Евклида (конец 4–3 в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Во 2 в. до н.э. астроном Гиппарх из Никеи (180–125 до н.э.) составил таблицу для определения соотношений между элементами треугольников. Такие таблицы нужны потому, что значения тригонометрических функций нельзя вычислить по аргументам с помощью арифметических операций. Тригонометрические функции приходилось рассчитывать заранее и хранить в виде таблиц. Гиппарх подсчитал в круге заданного радиуса длины хорд, отвечающих всем углам от 0 до 180°, кратным 7,5°. По существу, это таблица синусов. Труды Гиппарха до нас не дошли, но многие сведения из них включены в Альмагест (II в.) – знаменитое сочинение в 13 книгах греческого астронома и математика Клавдия Птолемея (ум. ок.160 н. э.). Древние греки не знали синусов, косинусов и тангенсов, вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие находить хорду окружности по стягиваемой дуге. В Альмагесте автор приводит таблицу длин хорд окружности радиуса в 60 единиц, вычисленных с шагом 0,5° с точностью до 1/3600 единицы, и объясняет, как эта таблица составлялась. Труд Птолемея несколько веков служил введением в тригонометрию для астрономов.

Чтобы понять, как ученые древности составляли тригонометрические таблицы, надо познакомиться с методом Птолемея. Метод основан на теореме – произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Пусть ABCD – вписанный четырехугольник, АD – диаметр окружности, а точка O – ее центр (рис. 1). Если известно, как вычислять хорды, стягивающие углы DOC = a и DОВ = b, т. е. сторону СD и диагональ B, то, по теореме Пифагора , из прямоугольных треугольников АDВ и АDС можно найти АВ и АС, а потом, по теореме Птолемея, – BC = (АС ·ВD – АВ ·СD ) /АD , т.е. хорду, стягивающую угол ВОС = b – a. Некоторые хорды, например стороны квадрата, правильных шестиугольника и восьмиугольника, отвечающие углам 90, 60 и 45°, легко определить. Известна также сторона правильного пятиугольника, которая стягивает дугу в 72°. Приведенное выше правило позволяет вычислять хорды для разностей этих углов, например для 12° = 72° – 60°. Кроме того, можно находить хорды половинных углов, однако этого недостаточно, чтобы рассчитать, чему равна хорда дуги в 1°, – хотя бы потому, что все названные углы кратны 3°. Для хорды 1° Птолемей нашел оценку, показав, что она больше 2/3 хорды (3/2)° и меньше 4/3 хорды (3/4)° – двух чисел, совпадающих с достаточной для его таблиц точностью.

Если греки по углам вычисляли хорды, то индийские астрономы в сочинениях 4–5 вв. перешли к полухордам двойной дуги, т.е. в точности к линиям синуса (рис. 2). Они пользовались и линиями косинуса – вернее, не его самого, а «обращенного» синуса, получившего позднее в Европе название «синус-верзус», сейчас эта функция, равная 1 – cos a, уже не употребляется. Впоследствии тот же подход привел к определению тригонометрических функций через отношения сторон прямоугольного треугольника.

За единицу измерения отрезков MP , OP , PA принималась дуговая минута. Так, линия синуса дуги AB = 90° есть OB – радиус окружности; дуга AL , равная радиусу, содержит (округленно) 57°18" = 3438".

Дошедшие до нас индийские таблицы синусов (древнейшая составлена в 4–5 веке н.э.) не столь точны, как птолемеевы; они составлены через 3°45" (т.е. через 1/24 часть дуги квадранта).

Термины «синус» и «косинус» пришли от индийцев, не обошлось и без любопытного недоразумения. Полухорду индийцы называли «ардхаджива» (в переводе с санскрита – «половина тетивы лука»), а потом сократили это слово до «джива». Мусульманские астрономы и математики, получившие знания по тригонометрии от индийцев, восприняли его как «джиба», а затем оно превратилось в «джайб», что на арабском языке означает «выпуклость», «пазуха». Наконец, в 7 в. «джайб» буквально перевели на латынь словом «sinus», которое не имело никакого отношения к обозначаемому им понятию. Санскритское «котиджива» – синус остатка (до 90°), а на латинском – sinus complementi, т.е. синус дополнения, в 17 в. сократилось до слова «косинус». Наименования «тангенс» и «секанс» (в переводе с латинского означающие «касательная» и «секущая») введены в 1583 немецким ученым Финком.

Большой вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые, например, Аль-Баттани (ок. 900 н.э.). В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа (940–997), присоединил к линиям синусов и косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Он дает им те же определения, которые содержатся и в наших учебниках. Абу-ль-Вефа устанавливает и основные соотношения между этими линиями.

Итак, к концу 10 в. ученые исламского мира уже оперировали, наряду с синусом и косинусом, четырьмя другими функциями – тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом; открыли и доказали несколько важных теорем плоской и сферической тригонометрии; использовали окружность единичного радиуса (что позволило толковать тригонометрические функции в современном смысле); придумали полярный треугольник сферического треугольника. Арабские математики составили точные таблицы, например таблицы синусов и тангенсов с шагом в 1" и точностью до 1/700 000 000. Очень важной прикладной задачей была и такая: научиться определять направление на Мекку для пяти ежедневных молитв, где бы ни находился мусульманин.

Особенно большое влияние на развитие тригонометрии оказал Трактат о полном четырехстороннике астронома Насир-эд-Дин из Туса (1201–1274), известного так же под именем ат-Туси. Это было первое в мире сочинение, в котором тригонометрия трактовалась как самостоятельная область математики.

В 12 в. был переведен с арабского языка на латинский ряд астрономических работ, по ним впервые европейцы познакомились с тригонометрией.

Трактат Насир-эд-Дина произвел большое впечатление на немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436–1476). Современники больше знали его под именем Региомонтана (так переводится на латинский название его родного города Кенигсберга, ныне – Калининграда). Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры). Он впервые отступил от шестидесятиричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса. Таким образом, синусы выражались целыми числами, а не шестидесятиричными дробями. До введения десятичных дробей оставался только один шаг, но он потребовал более 100 лет. Труд Региомонтана О треугольниках всех родов пять книг сыграл в европейской математике ту же роль, что и сочинение Насир-эд-Дина в науке мусульманских стран.

За таблицами Региомонтана последовал ряд других, еще более подробных. Друг Коперника Ретик (1514–1576) вместе с несколькими помощниками в течение 30 лет работал над таблицами, законченными и изданными в1596 его учеником Отто. Углы шли через 10"", а радиус делился на 1 000 000 000 000 000 частей, так что синусы имели 15 верных цифр.

Дальнейшее развитие тригонометрии шло по пути накопления и систематизации формул, уточнения основных понятий, становления терминологии и обозначений. Многие европейские математики работали в области тригонометрии. Среди них такие великие ученые, как Николай Коперник (1473–1543), Тихо Браге (1546–1601) и Иоганн Кеплер (1571–1630). Франсуа Виет (1540–1603) дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников, открыл «плоскую» теорему косинусов и формулы для тригонометрических функций от кратных углов. Исаак Ньютон (1643–1727) разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе. Леонард Эйлер (1707–1783) ввел и само понятие функции, и принятую в наши дни символику. Величины sin x , cos x и т.д. он рассматривал как функции числа x – радианной меры соответствующего угла. Эйлер давал числу x всевозможные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он также обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента, что позволило превратить многочисленные и зачастую весьма замысловатые тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. Он же ввел и обратные тригонометрические функции.

К концу 18 в. тригонометрия как наука уже сложилась. Тригонометрические функции нашли применение в математическом анализе, физике, химии, технике – везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями – будь то акустика, оптика или качание маятника.

Решение любых треугольников, в конечном счете, сводится к решению прямоугольных треугольников (т.е. таких, у которых один из углов – прямой). Поскольку все прямоугольные треугольники с заданным острым углом подобны друг другу, отношения их соответственных сторон одинаковы. Например, в прямоугольном треугольнике ABC отношение двух его сторон, например, катета а к гипотенузе с , зависит от величины одного из острых углов, например А . Отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника и называются тригонометрическими функциями его острого угла. Всего таких отношений в треугольнике шесть, и им отвечают шесть тригонометрических функций (обозначения сторон и углов треугольника на рис. 3).

Так как А + В = 90°, то

sin A = cos B = cos (90° – A ),

A = ctg B = ctg (90° – A ).

Из определений вытекает несколько равенств, связывающих тригонометрические функции одного и того же угла между собой:

С учетом теоремы Пифагора a 2 + b 2 = c 2 можно выразить все шесть функций через какую-нибудь одну. Например, синус и косинус связаны основным тригонометрическим тождеством

sin 2 A + cos 2 A = 1.

Некоторые соотношения между функциями:

Эти формулы справедливы и для тригонометрических функций любого угла, но ими надо пользоваться осторожно, поскольку правые и левые части могут иметь разные области определения.

Есть только два прямоугольных треугольника, у которых и углы «хорошие» (выражаются целым или рациональным числом градусов), и хотя бы одно из отношений сторон рационально. Это равнобедренный треугольник (с углами 45, 45 и 90°) и половина равностороннего треугольника (с углами 30, 60, 90°) – как раз те два случая, когда значения тригонометрических функций удается вычислить прямо по определению. Эти значения приведены в таблице

n	0	1	2	3	4
Угол	0	30°	45°	60°	90°
sin
cos
tg
ctg			Отношения, входящие в теорему синусов, имеют простой геометрический смысл. Если описать окружность около треугольника ABC (рис. 4) и провести диаметр BD , то по теореме о вписанном угле РBCD = РA либо, если угол тупой, 180° – А . В любом случае a = BC = BD sin A = 2 R sin A или где R – радиус описанной окружности треугольника АВС . Это «усиленная» теорема синусов, объясняющая, почему таблицы хорд древних были, по существу, таблицами синусов. Доказывается и теорема косинусов с 2 = а 2 + b 2 – 2аb cos С . позволяющая найти сторону треугольника по двум другим сторонам и углу между ними, а также углы по трем сторонам. Есть и ряд других соотношений между элементами треугольника, например. теорема тангенсов:, где cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b, cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b. Общее определение тригонометрических функций Пусть точка движется с единичной скоростью по единичной окружности с центром в начале координат О против часовой стрелки (рис. 5). В момент t = 0 точка минует P 0 (1; 0). За время t точка проходит дугу длиной t и занимает положение Р t , а значит, угол, на который поворачивается луч, проведенный в эту точку из О , тоже равен t. Таким образом, мы сопоставляем каждому моменту времени, т.е. точке t действительной прямой, точку Р t единичной окружности. Подобное отображение прямой на окружность иногда называют «намоткой». Если представить действительную ось в виде бесконечной нерастяжимой нити, приложить точку t = 0 к точке P 0 окружности и начать наматывать оба конца нити на окружность, то каждая точка t попадет как раз в точку Р t . При этом: 1) точки оси, отстоящие друг от друга на целое число длин окружностей, т, е. на 2pk (k =±1, ± 2, …), попадают в одну и ту же точку окружности; 2) точки t и –t попадают в точки, симметричные относительно Ox ; 3) при 0 Ј t Ј p угол P 0 OP t отложен в полуплоскость у і 0 и равен t (рис. 8). Три этих условия составляют формальное определениетакогоотображения – намотки. В силу условия 3 при 0 = t Ј p координаты точки р равны (cos t , sin t ). Данное наблюдение и подсказывает определение: косинусом и синусом произвольного числа t называются соответственно абсцисса и ордината точки Р t . Тангенс тоже можно определить через координаты. Проведем касательную к единичной окружности в точке (1; 0) (рис. 7). Она называется осью тангенсов. Точка Q t пересечения прямой OP t с осью тангенсов имеет координаты (1; sin t /cos t ), и ее ордината, по определению, равна tg t . По абсолютной величине это длина отрезка касательной, проведенной из Q t к окружности. Таким образом, само название «тангенс» вполне оправдывается. Кстати, как и секанса: на рис. 9 sec t – отрезок OQ t , являющийся, правда, не всей секущей, но ее частью. Наконец, котангенс можно определить как абсциссу точки пересечения OP t с осью котангенсов – касательной к единичной окружности в точке (0, 1): ctg t =cos t / sin t . Теперь тригонометрические функции определены для всех чисел. Марина Федосова

Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Тригонометрические функции используются для описания свойств различных углов, треугольников и периодических функций. Изучение тригонометрии поможет вам понять эти свойства. Занятия в школе и самостоятельная работа помогут вам усвоить основы тригонометрии и понять многие периодические процессы.

Шаги

Изучите основы тригонометрии

Ознакомьтесь с понятием треугольника. В сущности, тригонометрия занимается изучением различных соотношений в треугольниках. Треугольник имеет три стороны и три угла. Сумма углов любого треугольника составляет 180 градусов. При изучении тригонометрии необходимо ознакомиться с треугольниками и связанными с ними понятиями, такими как:

• гипотенуза ― самая длинная сторона прямоугольного треугольника;
• тупой угол ― угол более 90 градусов;
• острый угол ― угол менее 90 градусов.

1. Научитесь строить единичную окружность. Единичная окружность дает возможность построить любой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза была равна единице. Это удобно при работе с тригонометрическими функциями, такими как синус и косинус. Освоив единичную окружность, вы легко сможете находить значения тригонометрических функций для определенных углов и решать задачи, в которых фигурируют треугольники с этими углами.

   • Пример 1. Синус угла величиной 30 градусов составляет 0,50. Это означает, что длина противолежащего данному углу катета равна половине длины гипотенузы.
   • Пример 2. С помощью данного соотношения можно вычислить длину гипотенузы треугольника, в котором есть угол величиной 30 градусов, а длина противолежащего этому углу катета равна 7 сантиметрам. В этом случае длина гипотенузы составит 14 сантиметров.

2. Ознакомьтесь с тригонометрическими функциями. Существует шесть основных тригонометрических функций, которые необходимо знать при изучении тригонометрии. Эти функции представляют собой соотношения между различными сторонами прямоугольного треугольника и помогают понять свойства любого треугольника. Вот эти шесть функций:

   • синус (sin);
   • косинус (cos);
   • тангенс (tg);
   • секанс (sec);
   • косеканс (cosec);
   • котангенс (ctg).

3. Запомните соотношения между функциями. При изучении тригонометрии крайне важно понимать, что все тригонометрические функции связаны между собой. Хотя синус, косинус, тангенс и другие функции используются по-разному, они находят широкое применение благодаря тому, что между ними существуют определенные соотношения. Эти соотношения легко понять с помощью единичной окружности. Научитесь пользоваться единичной окружностью, и с помощью описываемых ею соотношений вы сможете решать многие задачи.

   Применение тригонометрии

   1. Узнайте об основных областях науки, в которых используется тригонометрия. Тригонометрия полезна во многих разделах математики и других точных наук. С помощью тригонометрии можно найти величины углов и прямых отрезков. Кроме того, тригонометрическими функциями можно описать любой циклический процесс.

      • Например, колебания пружины можно описать синусоидальной функцией.

   2. Подумайте о периодических процессах. Иногда абстрактные понятия математики и других точных наук трудны для понимания. Тем не менее, они присутствуют в окружающем мире, и это может облегчить их понимание. Приглядитесь к периодическим явлениям вокруг вас и попробуйте связать их с тригонометрией.

      • Луна имеет предсказуемый цикл, продолжительность которого составляет около 29,5 дня.

   3. Представьте себе, как можно изучать естественные циклы. Когда вы поймете, что в природе протекает множество периодических процессов, подумайте о том, как можно изучать эти процессы. Мысленно представьте, как выглядит изображение таких процессов на графике. С помощью графика можно составить уравнение, которое описывает наблюдаемое явление. При этом вам пригодятся тригонометрические функции.

      • Представьте себе приливы и отливы на берегу моря. Во время прилива вода поднимается до определенного уровня, а затем наступает отлив, и уровень воды падает. После отлива вновь следует прилив, и уровень воды поднимается. Этот циклический процесс может продолжаться бесконечно. Его можно описать тригонометрической функцией, например косинусом.

   Изучайте материал заранее

   1. Прочтите соответствующий раздел. Некоторым людям тяжело усвоить идеи тригонометрии с первого раза. Если вы ознакомитесь с соответствующим материалом перед занятиями, то лучше усвоите его. Старайтесь чаще повторять изучаемый предмет - таким образом вы обнаружите больше взаимосвязей между различными понятиями и концепциями тригонометрии.

      • Кроме того, это позволит вам заранее выявить неясные моменты.

   2. Ведите конспект. Хотя беглый просмотр учебника лучше, чем ничего, при изучении тригонометрии необходимо неспешное вдумчивое чтение. При изучении какого-либо раздела ведите подробный конспект. Помните, что знание тригонометрии накапливается постепенно, и новый материал опирается на изученный ранее, поэтому записи уже пройденного помогут вам продвинуться дальше.

      • Помимо прочего, записывайте возникшие у вас вопросы, чтобы затем задать их учителю.

   3. Решайте приведенные в учебнике задачи. Даже если вам легко дается тригонометрия, необходимо решать задачи. Чтобы убедиться, что вы действительно поняли изученный материал, попробуйте перед занятиями решить несколько задач. Если при этом у вас возникнут проблемы, вы определите, что именно вам нужно выяснить во время занятий.

      • Во многих учебниках в конце приведены ответы к задачам. С их помощью можно проверить, правильно ли вы решили задачи.

   4. Берите на занятия все необходимое. Не забывайте свой конспект и решения задач. Эти подручные материалы помогут вам освежить в памяти уже пройденное и продвинуться дальше в изучении материала. Проясняйте также все вопросы, которые возникли у вас при предварительном чтении учебника.