Основных элементарных функций разобрались.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями .

Перечислим все основные виды неопределенностей : ноль делить на ноль (0 на 0 ), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль .

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

• упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
• использование замечательных пределов;
• применение правила Лопиталя ;
• использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей . Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).

Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.

Приведем парочку примеров, когда все сразу получается после подстановки значения и неопределенности не возникают.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

И сразу получили ответ.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:

То есть, предел можно переписать в виде

Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция . Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем и , следовательно, можно записать .

Исходя из этого, наш предел запишется в виде:

Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большим единицы, откуда имеем:

Ответ:

Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений .

Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности (0 на 0 ). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Для знаменателя сопряженным выражением будет

Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение.

После ряда преобразований неопределенность исчезла.

Ответ:

ЗАМЕЧАНИЕ: для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1 , то если эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.

Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Наш предел примет вид:

После преобразования неопределенность раскрылась.

Ответ:

Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать.

Пример.

Пример.

Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения (m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность , в этом случае неопределенность раскрывается делением и числитель и знаменатель на

Пример.

Вычислить предел

2011 год Виосагмир И.А. Предел функции 2011 год Высшая математика для чайников. Предел функции [email protected] Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 1 Пределфункции Введение Ну что же… Я приветствую Вас в своей первой книге, посвященной пределам функции. Это первая часть из моей будущей серии “высшая математика для чайников”. Название книги уже должно Вам многое о ней рассказать, но Вы его можете совершенно не так понять. Эта книга посвящена не “чайникам”, а всем тем, кому нелегко понять то, что творят профессоры в своих книгах. Я уверен, что Вы меня понимаете. Я сам находился и нахожусь в такой ситуации, что просто вынужден прочитывать одно и то же предложение несколько раз. Это нормально? Я думаю – нет. Так чем же моя книга отличается от всех других? Во-первых, здесь нормальный язык, а не “заумный”; во-вторых здесь разобрана масса примеров, которая, кстати, наверняка, пригодится вам; в-третьих, текст имеет существенное различие между собой – главные вещи выделены определенными маркерами, и наконец, моя цель лишь одна – ваше понимание. От Вас требуется только одного: желания и умения. “Умения?” – спросите Вы. Да! Умения и. Вообще рекомендуется завести отдельно тетрадку листов этак на 65, и все в ней писать. Все, что написано в этой книге. Результат будет впечатляющим, это я Вам обещаю. Так же лучше пользоваться разноцветными фломастерами. Ну что же, господа… Я хочу Вам пожелать успехов и понимания. Если Вы добьете эту книгу, Вы сможете многое!!! В моей книге будут встречаться некоторые обозначения. Крайне рекомендую им следовать. - учить обязательно! - рекомендуется попробовать сделать самим. - можно не учить, но нужно понять! Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 2 Содержание Предел функции в точке………………………………………………………………………………………………….3 Теоремы о пределах………………………………………………………………………………………………………..13 Односторонние пределы………………………………………………………………………………………………..14 Предел при →∞…………………………………………………………………………………………………………..17 Бесконечно большие функции…………………………………………………………………………………………25 Графики элементарных функций…………………………………………………………………………………..26 Непрерывность функции в точке………………………………………………………………………………….31 Непрерывность сложной функции………………………………………………………………………………..33 Классификация точек разрыва………………………………………………………………………………………36 Непрерывность элементарных функций………………………………………………………………………41 Первый замечательный предел……………………………………………………………………………………..42 Второй замечательный предел……………………………………………………………………………………..47 Кратко о Maple………………………………………………………………………………………………………………..52 Сравнение бесконечно малых функций…………………………………………………………………………..55 Свойства символа “o малое”…………………………………………………………………………………………..60 Асимптотические формулы……………………………………………………………………………………………64 Правило Лопиталя……………………………………………………………………………………………………………72 Разложение в ряд Тейлора. Часть 1………………………………………………………………………………..80 Разложение в ряд Тейлора. Часть 2………………………………………………………………………………..88 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 3 Глава 1. Предел функции. Пусть числовая переменная величина, область ее изменения. Если каждому числу ∈ поставлено в соответствие некоторое число, то говорят, что на множестве определена функция, и пишут. Надеюсь это Вам понятно, но я на всякий случай поясню. Множество в данном случае – плоскость, состоящая из двух координатных осей – 0X и 0Y. Это вам должно быть известно еще со школы. Если Вы забыли это, открывайте класс 7 – 8 и повторяйте. Для примера, на рис. 1 изображена функция. Оси 0X и 0Y образуют область ее изменения. Мы прекрасно видим на рис. 1, как ведет себя функция. В таком случае говорят, что на множестве определена функция. Совокупность всех частных значений функции называется множеством значений. Другими словами, множество значений – это промежуток по оси OY, где определена функция. Для примера, рассмотрим рис. 1. – отсюда сразу видно, что 0, т.к. 0. На рисунке это явно видно. В данном случае область значений 0;∞. Запомните, множество значений смотрим по 0Y! Совокупность всех называется областью определения. Делаем вывод из предыдущих соображений и понимаем, что множество определений смотрим по 0. В нашем случае ОДЗ = ∞;∞. Точка ∈ или называется предельной точкой множества, если в любой окрестности точки имеются точки множества, отличные от. Здесь я дополнять ничего не буду. И так все ясно. Можно лишь добавить, что в нашем случае предельная точка множества области определения функции. Содержание: 1) Предел функции в точке 2) Теоремы о пределах 3) Односторонние пределы 4) Предел, при →∞ 5) Бесконечно большие функции 6) Графики элементарных функций 1.Предел функции в точке. Рис. 1 независимая переменная (аргумент). область определения функции. частное значение функции в точке. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 4 Так, давайте перед определением я в общих словах объясню, что такое предел функции. Число b, к которому стремится функция при стремлении x к числу, называется пределом функции. Вот так это все записывается: lim → Например, . Нам нужно узнать, к чему стремится (не равна!) функция, при →2. Сначала запишем предел: lim → lim → Теперь пришло время взглянуть на график. Проведем параллельно 0 линию через точку 2 на оси 0. Она пересекла наш график в точке 2;4. Опустим из этой точки на ось 0 перпендикуляр и… опа! Какое там значение? Все правильно, 4. Вот к чему стремится наша функция, при →2. Сложно? Ну, нет, конечно! Вы, наверное, заметили, что если подставить в функцию значение 2, то ответ будет таким же. Совершенно верно. Так и решаются эти “сложные” лимиты. Не забывайте проверять на определенность! Определенность, это, когда у нас есть понятный результат. Неопределенность, когда нет понятного результата. Например: или – все это неопределенность. Это очень важно, никогда не забывайте про это! Следовательно, у Вас должна быть в тетради вот такая запись (не забудьте нарисовать и рисунок): lim → lim → 2 4 Ну, с этим, в общем, все понятно. Потренируйтесь и посчитайте вот такие вот пределы: lim → ! 1 #;lim → ;lim → ;lim → √ То же самое происходит и для случая, когда →∞ или к другому бесконечному числу: lim → ∞ ∞ А вот пример, где есть неопределенность: lim → sin Если мы подставим под значение, равное 0, то вот, что у нас получится: . А это неопределенность, следовательно, решать мы не имеем права! Потом я Вас научу, как раскрывать неопределенность. Сейчас же вы должны не забывать про это. Подставили и проверили. Решается? Значит – определенность. Не решается? Ну что же, тогда потом решите. Когда все пройдете. Давайте перейдем к формальностям, то есть к определениям. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 5 Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т Ь, 0 , 1 , ∞ , 0 ∙ ∞ , ∞ ∞ Определение 1 (предел функции по Коши) №1. Доказать, что lim → sin0. Для удобства, давайте сформулируем теорему (по Коши) для нашего случая. Вот, что у нас получится: Воспользуемся неравенством | sin | (| | ∀. Зададим произвольное * 0 и положим +*. Тогда если | | ,+, то | sin | (| | ,+*. Это и означает (согласно определению функции по Коши), что lim → sin0. По этому поводу в принципе объяснить нечего. Что касается | sin | (| | это просто нужно запомнить. Что касается * это очень маленькое число, находящееся в окрестности. №2. С помощью “* +” – рассуждений доказать, что lim → 4. Заполнить следующую таблицу: * 0.1 0.01 0.001 0.0001 … + Число b называется пределом функции в точке (при →), если ∀ 0 ∃ 0 такое, что ∀ , удовлетворяющего условиям, 0 | | , выполняется неравенство | | . Число 0 называется пределом функции sin в точке 0 (при → 0), если ∀ 0 ∃ 0 такое, что ∀ , удовлетворяющего условиям, 0 | | , выполняется неравенство | sin | . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 6 Пусть * 0 произвольно. Тогда | 4 | | 2 4 2 | (| 2 | 4 | 2 | (*, как только 0, | 2 | , √ 4 * 2 √ . Последнее неравенство тем более будет выполняться, если * √ 4 * 2 * 2 √ 4 * * 2 √ 4 4* * * 22 * + * | 2 | . Так, давайте все-таки рассмотрим этот пример более подробно. 1) Распишем определение: Число 4 называется пределом функции в точке 2 (при →2), если ∀* 0 ∃+ 0 такое, что ∀, удовлетворяющего условиям 0, 0, | 2 | ,+, выполняется неравенство | 4 | ,*. 2) Упростим: a) Условие: 0, | 2 | ,+ +, 2,+ 2 +,2 + b) неравенство: | 4 | ,* *, 4,* 4 *,4 * 3) Поймем: Число 4 называется пределом функции в точке 2 (при → 2), если ∀* 0 ∃+ 0 такое, что ∀, удовлетворяющего условиям 0, 2 +,2 +, выполняется неравенство 4 *,4 *. Все! Прочтите последнее определение, которое мы написали, используя график. Верно? Ну конечно верно! Этот способ я написал специально для вас, для понимания. Ни в какой литературе вы такого не найдете. Поэтому, если хотите по-настоящему все это быстро решать – пожалуйста! Да, объяснить, как это делается аналитически, я не Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 7 уверен, что смогу. Пример я вам написал, теперь вы должны в нем сами разобраться, используя мой графический способ. Все строится от понимания, господа. Сейчас попробую объяснить все на аналитическом уровне. №3. Для закрепления. Доказать, используя определение Коши предела функции, что lim → −16 −4 = 2 Шаг 1: Зададим функцию () , которая является у нас выражением, стоящим у нас под знаком предела: = −16 −4 Поскольку мы рассматриваем предел, стремящийся к 4, нужно рассмотреть некоторую окрестность 4-ки, которая для данной функции определена. Например, интервал от 2 до 5. 40(2,5) Но! Заметьте, что функция у нас определена не всюду! Она не определена в 0 и при = 4. Надеюсь, Вы это понимаете, но на всякий случай распишу: −4 ≠ 0 → −4 ≠ 0 → 2 ≠ 0 ≠ 4 . Надеюсь все понятно. Так, отвлеклись, так что быстро идем дальше. Мы можем в принципе рассмотреть любой интервал, но нам такой удобнее 40(2,5). Шаг 2: Запишем определение предела функции () по Коши. ∀* > 0,∃+ > 0:∀ ≠ 4, | −4 | < + ⇒ | −2 | < * Это значит: для любого * мы должны найти такое+, что как только x у нас отлично от 4 и x-4 по модулю не превосходит + ⇒ | −2 | должно не превосходить*. Шаг 3: Преобразуем выражение | −2 | , ≠ 4. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 8 | −2 | = 3 −16 −4 −23 = 4 +4 −2 4 = | −4 | Эти преобразования нетрудно проделать самостоятельно. Надеюсь, у вас не вызывает это трудности. Итак, ∀* > 0,∃+ > 0:∀ ≠ 4, | −4 | < + ⇒ | −2 | < * и | −2 | = | | . Заметьте, информации все больше и больше! Шаг 4: Оценим сверху выражение | −2 | , ≠ 4, ∈ (2,5). 3 −16 −4 −23 < | −4 | 2 Поняли? Мы оцениваем | | , т.к. 5 −2 5 = | | . Следовательно, | | > | | . Здесь самое главное не запутаться. ∈ 2,5 −это условие мы поставили еще в начале. Отсюда идет сравнение дробей. Что больше | | или | | , где ∈ 2,5 . Конечно первая дробь. Где знаменатель меньше, там дробь больше (при одинаковых числителях). Шаг 5: Зададим + = 2*. Здесь мы можем брать и просто *, може взять и 5*. В данном случае нам удобнее всего, когда + = 2*. Итак, вот что мы сейчас имеем: ∀0 2,5 0 < | −4 | < + | −2 | < + 2 = * Вывод: Все! Мы доказали, что предел равен 2. Вывод один: если хотите решать все это, берите еще раз и решайте. И так до тех пор, пока не поймете. Я попытался описать, как это доказывается аналитически. Можете посмотреть на это все и с графической точки зрения, не забыв все упростить. Информация: Вообще, честно говоря, от Вас таких доказательств не должны требовать. Они слишком уж “плавающие”. Если Вам все же интересна эта тема, откройте любой Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 9 учебник и посмотрите там материал. Соответственно, Вы ничего не поймете, если не напишете собственноручно решение + графики. Это Вам небольшая подсказка. Нарисуйте! И все сразу станет ясно. №1. Я забегаю немного вперед, но хотелось бы решить этот предел: lim → 16 4 Если мы подставим 4 под, у нас получится неопределенность: lim → 16 4 7 00 8 неопределенность! Что делать? Все просто. А давайте ка упростим дробь! 16 4 4 4 4 4 Все! Теперь, если мы подставим 4, у нас будет определенность, а, следовательно, мы можем решать. lim → 16 4 lim → 4 7 84 8 2 Вывод: от неопределенности мы избавляемся с помощью преобразований. №2. Посчитать предел: lim → 4 6 16 Здесь все очень просто. Разложим на множители числитель и знаменатель. Рассказываю первый и последний раз, как это делать. Что бы разложить знаменатель на множители, мы должны приравнять его к нулю и просто решить уравнение. Давайте сделаем это. 6 160 Что бы решить квадратное уравнение, прежде всего нужно найти дискриминант по формуле: D 4E Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 10 ,E − элементы квадратного уравнения. В общем виде квадратное уравнение выглядит так: + +E = 0 Следовательно, в нашем случае = 1, = 6,E = −16. Подставляем значения и находим дискриминант: D = 36 +4 ∙ 1 ∙ 16 = 100 Далее находим корни квадратного уравнения, используя формулу, = − ± √ D 2 Подставляем и получаем: , = −6 ±10 2 = F = −6 +10 2 = 2 = −6 −10 2 = −8 Корни нашли, а значит мы очень близки к разложению на множители квадратного многочлена. Сначала запишем формулу: + +E = (−)(−) Заметим, что не всякий многочлен можно так расписать. В данном случае у нас нет никаких противоречий, и, следовательно, это можно делать. Таким образом: +6 −16 = (−2)(+8) Вот эту вещь вы должны уметь делать очень быстро. Ну, максимум – минута. Так что, если есть проблемы, сразу же их решайте. В числителе можно тоже разложить на множители. Это сделать гораздо проще, так как там разность квадратов. Напоминаю формулу: − = (−)(+) Таким образом: −4 = (−2)(+2) И получаем наш предел: lim → −4 +6 −16 = lim → (−2)(+2) (−2)(+8) = lim → (− 2) (+2) (− 2) (+8) = lim → +2 +8 = 4 10 = 25 Как видите, в общем-то решение в одну строчку. №3. Посчитать предел: Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 11 lim → +5 +4 2 + −1 = lim → (+1)(+4) (2 −1)(+1) = lim → (+ 1) (+4) (2 −1)(+ 1) = lim → +4 2 −1 =− 33 = −1 №4. Посчитать предел: lim → − +2 −5 +3 +4 −7 +2 Здесь я вас хочу научить одной хитрой штучке. Как разложить на множители многочлен, у которого степень > 2? По дискриминанту мы этого делать не можем – он только для квадратных уравнений. Так что же делать? Объясняю: что бы разложить наш числитель на множители, нам достаточно найти хотя бы один корень. В данном случае нам ничего не остается делать, как подбирать. − +2 −5 +3 = 0 Когда равенство верно? Немного подумав, мы отвечаем: когда = 1. Верно? Подставьте 1 в уравнение и вы убедитесь в этом. Далее мы имеем право разложить наш многочлен на множители: − +2 −5 +3 = (−1) ∙ G() G − функция, которую нам предстоит найти. Решаем уравнение относительно G(). Получаем: G = − +2 −5 +3 −1 Ну а теперь просто делим одно на другое в столбик! − − + 2 − 5 + 3 − 1 − + 2 − 3 = G () − 2 − 5 + 3 2 − 2 − − 3 + 3 − 3 + 3 0 Таким образом, наша функция раскладывается так: − +2 −5 +3 = (−1) ∙ (+2 −3) То же самое делаем с знаменателем и получаем: +4 −7 +2 = (−1)(+5 −2) Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 12 Итого: lim → 2 5 3 4 7 2 lim → 1 2 3 1 5 2 lim → 2 3 5 2 1 2 3 1 5 2 04 0 №5. Посчитать предел: lim → sin cos tg 1 lim → sin cos sin cos cos cos lim → sin cos sin cos cos lim → sin cos cos sin cos lim → cos √ 2 2 Определение 2 (предел функции по Гейне) Предел функции по Гейне редко можно встретить где-нибудь в практике. От Вас требуется лишь одно – выучить его на всякий случай. Может быть и пригодится. Подчеркнем, что понятие предела функции в точке вводится только для предельных точек области определения функции. Отметим, что при этом функция может быть и не определена в точке, т.е., вообще говоря, не принадлежит. Число b называется пределом функции в точке, если для любой сходящейся к последовательности! такой, что ∈ , # , соответствующая последовательность значений функции! сходится к b. Обозначение: lim → или → при → . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 13 Определения 1 и 2 предела функции эквивалентны. Пусть и O определены в некоторой окрестности точки, кроме, может быть, самой точки, и lim → , lim → OE. Тогда: lim → P O Q E ; lim → P O Q E lim → O E ; lim → O E при условии E 0 Пусть,O и T определены в некоторой окрестности точки, кроме, может быть, самой точки, и удовлетворяют неравенствам (O (T. Пусть lim → lim → T . Тогда lim → O. Здесь, похоже, все понятно. Теоремы выражены четко и ясно, информация должна восприниматься легко. Если что-то не так, не волнуйтесь, примеры нас ждут впереди. 2.Теоремы о пределах Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 14 Односторонние пределы… Не слишком позитивно звучит, не правда ли? На самом деле все очень просто. На рис. 3 изображён график функции. Давайте попробуем взять пару пределов. Думаю, у нас все получится! 1) Если →1. lim → 1 7 11 естьопределенность 8 1 2) Если →0. lim → неопределенность Следовательно, мы не имеем права дальше решать, а упростить никак нельзя. Следовательно, предела не существует. Посмотрите на рис. 3 и вы увидите, что функция там не определена, сл. Ни о каком пределе не может быть и речи. 3) Если →0 0. Запись →0 0 в данном случае означает “посмотрите на то, как ведет себя функция справа от 0”. И что мы видим на графике? Функция возрастает в + бесконечность. Поэтому: lim → 1 7 1 0 0 определенность 8 ∞ Понимаете? 0 0 0, следовательно, мы уже делим не на ноль. Давайте рассмотрим следующие примеры. 4) Если →0 0. Что у нас делает функция слева от 0? Правильно, убывает. Причем убывает к ∞. lim → 1 7 1 0 0 определенность 8 ∞ Ну как вам? 5) Если →∞ 3.Односторонние пределы Рис. 3 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 15 Смотрим на график и видим, что функция при →∞ стремится к 0. lim → 1 7 1 ∞ определенность 8 0 6) Если →∞ Все то же самое: lim → 1 7 1 ∞ определенность 8 0 Последние два примера рекомендую запомнить. При раскрытии неопределенности, они нам потом очень понадобятся. Ну что, поняли суть? Ну, тогда формальности… Определение 1 (предел функции по Коши) Определение 2 (предел функции по Гейне) В общем, добавить тут и нечего. Полная аналогия с предыдущими определениями по Коши и по Гейне, так что, если вы поняли, как доказываются пределы, то сможете доказать и односторонние. Структура доказательств та же. Обозначения: lim → && 0 Если существуют 0 и 0, причем 0 0 , то существует lim → . Число b называется правым (левым) пределом функции в точке a , если для любой сходящейся к a последовательности! такой, что, соответствующая последовательность значений функции! сходится к b. Число b называется правым (левым) пределом функции в точке a , если ∀ 0 ∃ 0 такое, что ∀ , удовлетворяющего условиям, & (, выполняется неравенство | | . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 16 Если функция определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и существует lim → , то существуют 0 и 0, причем 0 0 . На всякий случай, рассмотрим пример на теорему 4. Давайте рассмотрим функцию √ . Она изображена на рис. 4. Давайте найдем пределы: lim → √ V √ 4 0 определенность W 2 Почему 0 ни на что не повлиял? Да потому что ему незачем что-то менять. Функция определена в 4, следовательно, нет никакой надобности брать 0. lim → √ V √ 4 0 определенность W 2 Все то же самое. Функция определена в 4, следовательно, нет никакой надобности брать 0. Этого никто не объясняет, потому что это вполне все логично. Отсюда, по теореме 4: lim → √ ,lim → √ существуют,причемlim → √ lim → √ 2 Поэтому существует предел lim → √ 2. Так, это закрепили. А что, если мы рассмотрим 0? Ну, давайте проверять: lim → √ V √ 0 0 определенность W 0 Этот предел существует. Посмотрите на функцию, и вы увидите, что она там определена. lim → √ V √ 0 0 неопределенность W пределнесуществует Запомните раз и на всегда: корень не может быть отрицательным! Поэтому предела не существует! Но зато существует вот что: lim → √ V √ 0 определенность W 0 Как видите, теорема 4 работает лишь в одну сторону. В ней нельзя поставить отрицание. Поэтому, друзья, будьте внимательны! Рис. 4 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 17 Некоторые случаи мы уже рассмотрели (раскрытие неопределенности (часть 1)). От неопределенности мы избавляемся с помощью преобразований! Запомните это, пожалуйста, и ничего не бойтесь. А сейчас я Вам хочу поведать одну небольшую тайну: если →∞, то в большинстве случаев выражение, находящееся под знаком предела, стоит преобразовывать к формам вида E ⁄ , где c – число. Почему? Потому что эта дробь всегда будет стремиться к 0! Мы с вами это уже доказали. Запомните и всегда пользуйтесь этим! №1. Посчитать предел: lim → 5 lim → ]1 5 ^ lim → !1 5 # 1 0 1 Ну как вам? Вывод: когда у нас дробь, то мы выносим → сокращаем →пишем ответ. P.S. В квадратных скобках я не буду теперь писать слово определенность☺ №2. Посчитать предел: lim → 2 lim → 4 4 lim → ] 1 4 4 ^ lim → ! 1 4 4 # 0 0 0 0 Круто? Да! Значит, давайте сделаем и еще одно наблюдение: в таких случаях выносим ту же степень, что и в знаменателе. Хотя, если самая высокая степень стоит в числителе, то лучше вынести именно ее. В общем, как вам удобнее. Можно делать и так, и так. №3. Посчитать предел: lim → 4 2 ∞∞ неопределенность lim → 8 16 4 4 lim → ] 8 16 ^ ]1 4 4 ^ lim → 8 1 4 4 lim → ]1 8 ^ ] 1 1 ^ lim → 1 8 1 7 10 8 ∞ №4. Посчитать предел: lim → " 0 4.Предел функции при (→ ∞ Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 18 lim → 3 4 1 2 5 2 lim → ]3 4 1 ^ ] 2 5 2^ lim → 3 4 1 2 5 2 7 3 0 0 0 0 2 8 32 №5. Посчитать предел: lim → 2 5 1 6 1 lim → ]2 1 5 1 ^ ]6 1 1 ^ lim → 2 1 5 1 6 1 1 lim → 2 1 6 ∞ №6. Посчитать предел: lim → 1 2 4 4 lim → ] 1 2 4 ^ ] 4 1^ lim → 1 2 4 4 1 7 0 0 0 0 1 8 0 Еще раз повторяю, когда дробь – тогда выносим! Настало время поведать вам и вторую тайну. Если нам дано выражение вида _ `_ , не поленитесь его помножить на. Привожу пример: lim → ∞∞неопределенность lim → ∙ lim → 2 lim → 2 1 ]1 1 ^ lim → 2 1 1 1 lim → ]1 2 1 ^ ] 1 1 ^ 7 10 8 ∞ Несомненно, в будущем вы так не будете все подробно расписывать. Вам будет достаточно нескольких действий, так что не волнуйтесь. P.S. Как только встречаете №1. Посчитать предел: lim → b 8 3 b Сложно? Нет! На какой вид похоже? На _ `_ . Делаем сопряженное. & & С О П Р Я Ж Е Н Н О Е Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 19 lim → b +8 +3 − b + = lim → P√ +8 +3 − √ + QP√ +8 +3 + √ + Q √ +8 +3 − √ + = lim → +8 +3 − − √ +8 +3 − √ + = lim → 7 +3 c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 = lim → ]7 + 3 ^ d c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 e = lim → 7 + 3 c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 Вот то, что я вам говорил. Вы ВСЕ должны в конечном итоге получать дроби вида с, потому что все они стремятся к 0!!! Продолжаем: lim → 7 + 3 c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 = 7 7 +0 √ 1 +0 +0 + √ 1 +0 8 = 72 Страшно? Ну нет же☺. Медленно, не спеша, решайте пределы и вы достигните многого! №2. Посчитать предел: lim → c + b + √ √ +1 Страшно☺? Не волнуйтесь, все то же самое. Надо что-то сократить. Что и как? √ −это надо вынести и сократить. Если попытаемся вынести, то мы с вами просто запутаемся, а ответ от этого не изменится. Разве что может быть неопределенность. То есть выносим x с самой старшей степенью в знаменателе. lim → c + b + √ √ +1 = lim → √ ∙ f 1 + g 1 + c 1 √ ∙ c 1 + 1 = lim → f 1 + g 1 + c 1 c 1 + 1 = h i i i i i i j f 1 + g 10 + c 1 0 c 1 + 10 k l l l l l l m = 1 Трудность может состоять здесь лишь в одном: как вынести √ ? Надеюсь, что это вы делать умеете. №3. Посчитать предел: lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 20 Кем бы ни был наш чужак, мы все равно его решим. Для начала давайте, используя теорему 2, разобьем наш предел на два предела. Его так будет намного легче решать, в том смысле, что можно меньше запутаться. Если боитесь разбивать, то сами мучайтесь. ☺ lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q = lim → P −√ −1 Q + lim → P +√ −1 Q = lim → d −√ −1 e + lim → d +√ −1 e Мы просто все упростили для дальнейшей работы с пределами, используя сложение дробей и свойство степени. Теперь у нас два предела. Видим дробь. Как я вас учил? Правильно, видим дробь – умножаем на сопряженное. Так давайте сделаем это вместе. lim → d −√ −1 e + lim → d +√ −1 e = lim → d P −√ −1 QP +√ −1 Q ∙ P +√ −1 Q e + lim → d P +√ −1 QP −√ −1 Q ∙ P −√ −1 Q e Вот, что у нас получилось. Заметьте, делаем то же самое, что и раньше. Отличие лишь в одном – размеры. Теперь надо упростить каждый предел. В числителе у нас разность квадратов. Упростим первый предел: lim → d P −√ −1 QP +√ −1 Q ∙ P +√ −1 Q e = lim → n − P √ −1 Q ∙ P +√ −1 Q o = lim → d − +1 ∙ P +√ −1 Q e = lim → d 1 ∙ P +√ −1 Q e Первый упростили. Теперь перейдем ко второму: lim → d P +√ −1 QP −√ −1 Q ∙ P −√ −1 Q e = lim → d 1 ∙ P −√ −1 Q e Вот, что у нас получилось: lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q = lim → d 1 ∙ P +√ −1 Q e + lim → d 1 ∙ P −√ −1 Q e Видим дробь. Что надо делать? ВЫНОСИТЬ! Первый предел: Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 21 lim → d 1 ∙ P +√ −1 Q e = lim → ! 1 + ∙ √ −1 # = lim → p q r ∙ 1 d 1 + c 1 − 1 e s t u = 7 02 8 = 0 Второй предел: lim → d 1 ∙ P −√ −1 Q e = lim → ! 1 − ∙ √ −1 # = lim → p q r ∙ 1 d 1 − c 1 − 1 e s t u = 7 00 −неопределенность! 8 Друзья, вот с таким вот вы будете сталкиваться часто, особенно на больших примерах. Что делать? Ответ прост: вернуться и сделать по-другому. Хорошо, что хотя бы первый предел у нас посчитался. Что же, возвращаемся до разбиения лимитов. Вот что у нас было: lim → d +√ −1 e Как решать, если наш способ не подошел? Что делать, если “метод сопряженных” не работает. А давайте сразу попробуем вынести? Выносим со старшей степенью в знаменателе, следовательно это просто. lim → d +√ −1 e = lim → p q r d 1 + c 1 − 1 e s t u = lim → n1 + g 1 − 1 o = V 1 + √ 1 −0 W = 2 Получается, на самом деле, все было несколько проще. Итого: lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q = lim → d −√ −1 e + lim → d +√ −1 e = 0 +2 Все! Ответ: 2 Сложно? Я думаю, не очень. Здесь главное аккуратность и настойчивость. Если сразу не получилось, не надо все бросать. №4. Посчитать предел: Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 22 lim → √ 4 − − √ 4 + 3 Здесь у нас не стремится к бесконечности, но я хочу тем показать, что метод сопряженного действует и здесь. lim → √ 4 − − √ 4 + 3 = lim → P √ 4 − − √ 4 + QP √ 4 − + √ 4 + Q 3 P √ 4 − + √ 4 + Q = lim → 4 − −4 − 3 P √ 4 − + √ 4 + Q = lim → −2 3 P √ 4 − + √ 4 + Q = − 23 lim → 1 √ 4 − + √ 4 + = − 16 №5. Посчитать предел: lim → √ +1 −1 √ +2 − √ 2 Здесь сделаем еще круче – умножим числитель и знаменатель на выражения сопряженные числителю и знаменателю. lim → √ +1 −1 √ +2 − √ 2 = lim → P√ +1 −1 QP√ +1 +1 QP√ +2 + √ 2 Q P√ +2 − √ 2 QP√ +1 +1 QP√ +2 + √ 2 Q = lim → (+1 −1) P√ +2 + √ 2 Q (+2 −2) P√ +1 +1 Q = lim → P√ +2 + √ 2 Q P√ +1 +1 Q = lim → √ +2 + √ 2 √ +1 +1 = √ 2 №6. Посчитать предел: lim → b 1 +tg − b 1 −tg sin2 = lim → P b 1 +tg − b 1 −tg QP b 1 +tg + b 1 −tg Q sin2 P b 1 +tg + b 1 −tg Q = lim → 2tg sin2 P b 1 +tg + b 1 −tg Q = lim → 1 cos P b 1 +tg + b 1 −tg Q = 12 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 23 Итак, какой вывод мы можем сделать из всего предыдущего? Ну, во-первых, если вас просят посчитать предел, то уж наверняка, там – неопределенность. Таблички снизу рекомендую вам заучить!!! Пример: lim → lim → lim → 2 lim → ]1 2 1 ^ ] 1 1 ^ lim → 1 2 1 1 1 7 1 0 0 0 0 8 ∞ & & , Р А С К Р Ы Т И Е Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т И 2) Если у нас есть выражение типа, и в итоге получается неопределенность, то нам нужно провести вот такую операцию: а потом вынести и сократить так, что бы во всех случаях был в знаменателе. , Р А С К Р Ы Т И Е Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т И 1) Если у нас есть выражение типа, и в итоге получается неопределенность, то нам нужно провести вот такую операцию: а потом вынести и сократить так, что бы во всех случаях был в знаменателе. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 24 Пример: lim → lim → lim → lim → ]1 1 ^ ] 1 1 ^ lim → 1 1 1 1 7 1 0 0 0 8 ∞ Как видите, мы один и тот же предел посчитали разными способами. Такое получается не всегда! Все таблицы Вы должны запомнить, как таблицу умножения. Наверное, у многих может возникнуть вопрос: а когда что использовать? Практика, друзья. Другого выхода у Вас нет, и не может быть. Только на собственном опыте Вы можете достигнуть каких-то результатов. Как всегда, переходим к формальностям (профессорской теории):) * "*+ , Р А С К Р Ы Т И Е Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т И 3) Если у нас есть выражение типа То вам нужно либо сразу выносить и сокращать так, что бы во всех случаях был в знаменателе, либо помножать на сопряженное числителя или знаменателя. В зависимости от ситуации. Все три выше приведенные пункты вы должны использовать при раскрытии неопределенности, когда → ∞ . Если стремится к какому-то другому значению, и у нас неопределенность, то используют просто упрощения (сопряженное или сокращения) Пусть функция определена на прямой " , & ∞ . Число называется пределом функции при → & ∞ lim → , если ∀ 0 ∃ , 0 - " такое, что ∀ , выполняется неравенство | | . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 25 Пусть функция определена на прямой " , & ∞ . Число называется пределом функции при → & ∞ , если для любой бесконечно большое последовательности! " соответствующая последовательность значений функции! сходится к. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 26 То же самое и для бесконечно малых функций. На мой взгляд, определение нам нужно либо для доказательств, либо… для других целей. По крайней мере, оно мне ни разу не понадобилось. Итак, мы с вами уже встречали ранее примеры, когда предел был равен ∞. Как видите, они считаются точно также, как и все другие. Ключевую роль здесь играет вот такая конструкция: V 1 0 v W . Запомните, эта конструкция ВСЕГДА равна ∞! | | . . Функция называется бесконечно большой в точке a справа, если ∀ . 0 ∃ 0 такое, что ∀ , удовлетворяющего условию, &, выполняется неравенство Обозначение: lim → ∞ Функция называется бесконечно большой при → & ∞ , если ∀ . 0 ∃ , - " такое, что ∀ , | | . . Обозначение: lim → ∞ 5.Бесконечно большие функции 0 1 0 1 2 ∞ Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 27 Да, именно это нам сейчас и предстоит. Они нам ОЧЕНЬ понадобятся в будущем. Поэтому, важно их сейчас же закрепить, а заодно и посчитать пределы. Я согласен, это нудно и неинтересно. Если Вы что-то знаете, пропускайте и идите дальше, я разрешаю☺. Итак, это наша первая и самая важная функция. Ранее мы уже успели ее рассмотреть, но давайте повторим то, что уже сделали. lim → w ∞ lim → w 0 lim → w ∞ lim → w 0 Если хотите, можете запомнить все это, но вообще, я рекомендую вам запомнить сам график. По- моему все довольно ясно. Ну, эту функцию вы просто обязаны знать, но, на всякий случай я ее напомню. Знаете ли, разные случаи бывают☺. lim → ∞ lim → ∞ 6.Графики элементарных функций 3 1 & & " Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 28 Функция носит свое название – показательная функция. Здесь важно не забывать об одной вещи: при 1 функция возрастает; при 0,1 функция убывает. Здесь давайте рассмотрим примеры: №1. Посчитать предел 1 lim → 2 2 ∞ lim → 2 2 0 ЗАЗУБРИТЬ! Вот это вы просто обязаны заучить, потому что графики часто путают между собой. №2. Посчитать предел 0,1 lim → ! 12 # lim → 1 2 7 1 2 1 ∞ 8 0 lim → ! 12 # lim → 1 2 7 1 2 10 8 ∞ Как видите, последние два предела мы просто вывели из предыдущих двух. ЗАЗУБРИТЬ! Функция носит свое название – логарифмическая функция. Здесь есть тоже два подвоха: при 1 функция возрастает; при 0,1 функция убывает. №1. Посчитать пределы 1 lim → log 0 lim → log ∞ lim → log ∄ lim → log ∄ №2. Посчитать пределы 0,1 log Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 29 lim → log 0 lim → log ∞ lim → log ∄ lim → log ∄ Уверен, столько всего вы не запомните, так что лучше выучить график. Ok! Идем дальше… Функция носит свое название – синусоида. №1. Посчитать предел lim → sin. Что делать? На графике явно видно, что функция “прыгает” от одного значения до другого. Вывод: не существует такого предела. Давайте просто рассмотрим примеры, где функция стремится к разным значениям: lim → sin { | } | ~ lim → sin1 lim → sin 0 lim → sin 1 ; Проделам то же самое для косинусоиды. №1. Посчитать предел: lim → cos. Все те же размышления. Предела не существует! Вот, что у нас получается: lim → cos { | } | ~ lim → cos0 lim → cos 1 lim → cos 1 ; sin "67 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 30 На рисунке представлены две функции: O и EO. Как видите, они очень похожи, поэтому очень важно, запомните Вы их или нет. Давайте проведем небольшой опыт. Попробуйте запомнить два графика. Как только будете уверены в том, что все выучили, прорешайте все пределы ниже, а потом проверьте себя по графикам. №1. Посчитать пределы: lim → tg lim → tg lim → tg lim → tg lim → tg lim → tg lim → ctg lim → ctg lim → ctg lim → ctg lim → ctg lim → ctg arcsin – обратная функция к функции sin. arccos – обратная функция к функции cos. №1. Посчитать предел: lim → arcsin. Давайте посмотрим на график arcsin. Что мы видим? При → 0 функция принимает бесконечно много значений. Например, lim → arcsin0 и lim → arcsin и т.д. Делаем вывод: у нашего графика есть период. lim → arcsinw,w целоечисло,лежащеевпромежутке∞,∞ 89 "89 arcsin arccos Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 31 То же самое с arccos. arctg – обратная функция к функции tg. arcctg – обратная функция к функции ctg. №1. Посчитать предел: lim → arctgw ∙ 2 w целое число, имеющее шаг 2. Т.е. lim → arctg ⋯. Можно записать вот так: lim → arctg 2 2 2 w Заметим, что это произвольное целое число, которое мы задаем сами. На этом, мы заканчиваем наш раздел – графики элементарных функций. От автора: Поздравляю! Вы смогли завершить первую главу “Предел функции” первой части “Предел и непрерывность функции”. Конечно, это не все. Я рассказал Вам лишь элементарные вещи. Далее нас будут ждать первый замечательный и второй замечательный приделы и другие методы взятия пределов. Если Вы поняли все, что я здесь написал, то дальше будет только интересно! Ничего сверхсложного вас не ожидает… arctg arcctg Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 32 Глава 2. Непрерывность функции в точке. Запомните это определение раз и навсегда! Если вы его не знаете, вы – ничто и никто в математике. Давайте рассмотрим простой пример: 1 Задание: проверить функцию на непрерывность в точках 1;0. 1. 1. Используя определение 1, получаем: lim → 1 1 ↭ 1 11 1 Выполняется определение 1? Да! lim → 1 1 1 Вывод: функция непрерывна в точке 1. 2. 0. Используя определение 1, получаем: lim → 1 ∞↭ 0 10 →∄ Выполняется определение 1? Нет! lim → 1 0 lim → Функция называется непрерывной в точке a, если 1.Непрерывность функции в точке. Содержание: 1) Непрерывность функции в точке 2) Непрерывность сложной функции 3) Классификация точек разрыва 4) Непрерывность элементарных функций 5) Первый замечательный предел 6) Второй замечательный предел 7) Кратко о Maple Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 33 Вывод: функция не существует в точке 0. Здесь то же самое. Пожалуйста, рассмотрите сами такие функции как ln, и другие. Хотя, думаю, что все предельно ясно. Для того чтобы функция была непрерывна в, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке справа и слева. Если функции и O непрерывны в точке, то функции O, O, O, /O также непрерывны в точке (частное – при условии O 0). Пример №1. Исследовать на непрерывность функцию. Для начала распишем область определения D∞,0 ∪0,∞, т.к. знаменатель не может равняться 0. Теперь просто используем теорему 6: lim → , где 0. Следовательно, по теореме 6, функция непрерывна в любой точке, кроме 0. lim → > соответственно lim → E . Пусть функция определена в правой (левой) полу окрестности точки a, т.е. на некотором полуинтервале, & (соответственно,). Функция называется непрерывной справа (соответственно слева) в точке a, если Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 34 Впрочем, пока что вам это не сильно понадобиться. Привожу примеры сложных функций: b | sin | ,cos 1 ,log 1 . Почему они сложные? Давайте рассмотрим цепочку последовательных преобразований для первой из них: sin | | √ . Вот и все! Теперь перейдем ко второй функции: 1 cos . И так далее. Не хочется уделять этому много времени. Надеюсь, вы и так все поняли. Ну что же, перейдем к теореме. Пусть функция непрерывна в точке, а функция непрерывна в точке. Тогда сложная функция P Q непрерывна в точке. Давайте рассмотрим пример на доказательства. Здесь как раз и нужно рассматривать сложную функцию. Пример №1 Доказать, что: lim → 1 ln, 0, 1. Рассмотрим функцию 1. Она непрерывна в точке 0 и 0 0. При этом Пусть функция F определена на множестве, а G множество значений этой функции. Пусть, далее, на множестве G определена функция H . Тогда говорят, что на множестве определена сложная функция, и пишут H , где F , или H F . 2.Непрерывность сложной функции. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 35 log 1 , 1 log 1 . Вычислим lim → : lim → log 1 lim → ln ln 1 Этот шаг может быть непонятен, поэтому я должен напомнить вам формулу преобразования к логарифму с другим основанием: Запомните ее и больше не возвращайтесь к этому. В данном случае новое основание. Давайте напишем формулу именно для нашего случая: log 1 log 1 log ln1 ln . Итак, продолжаем: lim → log 1 lim → ln ln 1 ln 1 lim → ln1 . Верно? ln это число, поэтому мы его и вынесли. Теперь нужно посчитать предел lim → . Представим функцию в виде ln 1 ln (тоже свойство логарифма!), где 1 . Так как lim → 1 (Это второй замечательный предел. Пока что мы его не прошли, но, поверьте, равенство верно), а функция ln непрерывна в точке, то lim → ln 1 ln1. Возвращаемся к нашему примеру. И вот, что у нас получается: log log log ∙ log log Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 36 lim → log (1 +) = lim → ln ln 1 + = ln 1 lim → ln(1 +) = ln 1 = ln. Рассмотрим теперь функцию (), непрерывную в точке = 0: = log (1 +) при ≠ 0 lnпри = 0 Согласно теореме 8 сложная функция P Q = −1 при ≠ 0 lnпри = 0 Является непрерывной в точке = 0. Поэтому lim → −1 = ln. Сложно? Может быть, но вы должны в этом разобраться, потому что это очень важно для понимания этой темы. Тем более, здесь требуется внимательность, ну и “немножко подумать”. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 37 Для начала, давайте поймем, что вообще означает “точка разрыва”. Все предельно просто! Прежде чем начинать рассматривать классификацию точек разрыва, вы должны всегда проверять условие: должна быть определена в некоторой окрестности точки, за исключением, быть может, самой точки. Если условие выполняется, то можно рассматривать классификацию точек разрыва. Пример №1. sin Прежде всего, напишем область определения: D ∞;0 ∪0;∞. Отсюда сразу видно, что 0 необычная точка. В ней функция не определена, но определена в ее окрестности. lim → sin 1 0 sin . Отсюда следует, что 0 устранимая точка разрыва. Точка называется точкой разрыва функции, если в этой точке не является непрерывной. lim → # Точка – устранимая точка разрыва, если 3.Классификация точек разрыва. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 38 Пример №1. sgn Функция sgn уже должна быть ранее вам известна, но я вам ее напомню. sgn 1,0, 1, 0 0 ,0 , lim → sgn 1, lim → sgn 1, 0 0. Отсюда следует, что lim → sgn lim → sgn sgn точка 0 точка разрыва первого рода. Пример №1. tg Прежде всего, напишем область определения D \ 2 w ,w0. lim → tg∞ ∃ lim → # lim → # Точка – точка разрыва первого рода, если Точка – точка разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. f(x) = sgn(x) Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 39 lim → tg∞ Т.к. хотя бы один из пределов равен бесконечности, то w точка разрыва второго рода. Пример №2. ln Прежде всего, напишем область определения D 0;∞. limln → 0 limln → ∄ Т.к. хотя бы один из пределов не существует, то 0 точка разрыва второго рода. Итак, мы теперь знаем классификацию точек разрыва. Мы рассмотрели примеры к каждому случаю. Они достаточно легкие, поэтому давайте еще попрактикуемся. Во всех следующих номерах определить точки разрыва. P.S. Для начала попробуйте сделать это сами, ну а потом проверьте себя. Удачи ☺! №1. 2 , ln, (1 1 lim → lim → ln0, lim → lim → 1. lim → lim → В т. 1 функция имеет разрыв первого рода. №2. Прежде всего, напишем: D ∞,0 ∪0,∞. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 40 lim → lim → 7 0 8 0, lim → lim → ∄. 0 предельная точка второго рода. №3. 1 2 3 Прежде всего, напишем: 4 0 D ∞,4 ∪4,∞. lim → 1 2 3 lim → 1 2 3 7 1 2 0 8 12 , lim → 1 2 3 lim → 1 2 3 7 1 ∞ 8 0. 4 точка разрыва первого рода. №4. | 1 | Прежде всего, напишем. Критические точки определяем вот так: 0 1 0. Критические точки: 0 и 1. Теперь напишем область определения D ∞,0 ∪ 0,1 ∪1,∞. lim → | 1 | 7 10 8 ∞ 0 точка разрыва второго рода. lim → | 1 | lim → 1 lim → 1 1 lim → 1 1 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 41 lim → | 1 | lim → 1 lim → 1 1 lim → 1 1 1 точка разрыва первого рода. 0 точка разрыва второго рода, 1 точка разрыва первого рода. №5. 1 1 Прежде всего, напишем: D ∞,1 ∪1,∞. lim → 1 1 lim → 1 1 1 lim → 1 1 13 Точка разрыва устранимая: F 1 1 , 1 13 ,1 Она непрерывна в точке разрыва и на D. №6. 1 1 1 1 1 1 Что бы найти критические точки, нужно упростить функцию. 1 1 1 1 1 1 1 1 Точки: 0;1;1. lim → 1 устранимыйразрыв. lim → ∞разрыввторогорода. lim → 0 устранимыйразрыв. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 42 №7. cos cos 1 и получаем: 2 2w 1 устранимыеточкиразрыва. 0 точкаразрывавторогорода. Думаю, примеров достаточно. Если вы сами все это про решаете, то тему вы знать будете на 100%. Ну что же, надеюсь, это было не слишком скучно. По крайней мере, столько разобранных примеров вы не найдете нигде. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 43 Мы с вами эту тему уже разобрали в 1 главе, 6 пункте. Там мы рассматривали графики элементарных функций и считали пределы. Сейчас перейдем к формальностям и “профессорской теории”. Как вы заметили, в моей книге присутствует эта “теория”. Зачем? Все просто, - хочется, что бы вы не только принимали разжеванное, но и сами пытались разжевать. Если я уберу эту “теорию”, то мои труды пойдут насмарку. Конечно, вы будете уметь что-то решать, но вы не будете понимать, что да как. Поэтому прошу вас учить теорию! Она обязательно понадобиться вам в ближайшем будущем. Ну что же, это было лирическое отступление ☺. Перейдем к небольшой теории. Любая элементарная функция, определенная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке. На этом “профессорская теория” заканчивается, и мы переходим к замечательным пределам. Функции I "6J78 , log 0 , # 1 , sin , cos , tg , ctg , arcsin , arccos , arctg , arcctg называются простейшими (или основными) элементарными функциями. Совокупность всех элементарных функций называется классом элементарных функций. Функция называется элементарной, если она может быть получена с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций над простейшими элементарными функциями. 4.Непрерывность элементарных функций Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 44 Очень важная тема! В ней мы будем учиться искать пределы. Вы должны набить руку на этом, и у меня к вам просьба: перед тем, как смотреть решение, попытайтесь сами чего-то добиться. Зазубрите это раз и навсегда! И никогда не забывайте эту формулу! Доказывать я ее не собираюсь, если хотите, поищите в интернете, там она точно есть. Ну что же, переходим к примерам. №1. lim → sin . Решение: sin 1 sin , Ура! Внизу появился замечательный предел. lim → sin lim → 1 sin 7 11 8 1. Легко? Безусловно… №2. lim → arcsin . Решение: Сделаем замену переменной: пусть arcsin. Тогда sin и база →0 переходит в базу →0 (просто подставьте →0 под arcsin). На самом деле это проще записывать вот так: lim → arcsin 7 arcsin ↭sin → 0 ↭ →0 8 lim → sin 7 11 8 1. 5.Первый замечательный предел lim → sin 1 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 45 Запомните этот способ замены переменной. Он может сильно пригодиться вам в будущем. №3. lim → arcsin . Решение: lim → arcsin lim → 1 arcsin 7 arcsin ↭sin →0 ↭ →0 8 1 lim → sin 7 11 8 1. №4. lim → sin2 sin3 . Решение: Преобразуем функцию следующим образом: lim → sin2 sin3 lim → ! sin2 2 ∙ 3 sin3 ∙ 23 #. Вынесем постоянный множитель за знак придела и применим теорему о пределе произведений: lim → sin2 sin3 lim → ! sin2 2 ∙ 3 sin3 ∙ 23 # 23 ∙ lim → sin2 2 ∙ lim → 3 sin3 Делаем замену, как и в предыдущем примере: lim → sin2 sin3 lim → ! sin2 2 ∙ 3 sin3 ∙ 23 # 23 ∙ lim → sin2 2 ∙ lim → 3 sin3 ! 2 ↭sin2sin →0 ↭ →0 4 3 ↭sin3sin →0 ↭ → 0 # 23 ∙ lim !→ sin ∙ lim "→ 1 sin 23 ∙ 1 ∙ 1 23 . №5. lim → sin 4 . Умножим и разделим знаменатель на 4 и подведем выражение под знаком предела к первому замечательному пределу. lim → sin 4 lim → sin 4 4 ∙ 4 14 ∙ lim → sin 4 4 d 4 ↭4 →0 ↭ →0 e 14 ∙ lim !→ sin 14 . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 46 №6. lim → 2tg 2 . Представим тангенс через синус и косинус и воспользуемся теоремами о пределах. lim → 2tg 2 lim → 2 ∙ sin 2 cos 2 lim → 2sin 2 cos 2 2 lim → sin 2 4] 2 ^ ∙ lim → 1 cos 2 d 2 ↭2 → 0 ↭ → 0 e 12 lim → sin ∙ lim → 1 cos 2 7 12 ∙ 1 ∙ 11 8 1. Видите, здесь немного посложнее, но в принципе, все одно и тоже. Если вы выучили элементарные функции, то это вам не должно показаться сложным. №7. lim → 1 cos 2 tg . По формулам двойных углов имеем: lim → 1 cos 2 tg lim → 1 cos sin tg lim → cos sin cos sin tg lim → cos sin cos sin tg lim → 2sin tg lim → 2sin cos sin cos 2 lim → sin lim → cos 2 ∙ 1 ∙ 1 2. Господа, учим тригонометрические формулы! Они вам все равно понадобятся. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 47 Формул много, но желательно их все выучить. №8. lim → 8sin 4 . Умножим и разделим числитель на 4 в кубе: sin K *L sinKcos L *cosKsinL cos K *L cos Kcos L ∓sinKsinL t9 K *L t9K *t9L 1 ∓t9Kt9L ct 9 K * L ct 9 K" t 9L ∓ 1 ct 9L * ct 9 K sin K &cos K 1 tg K &1 1 cos K ctg K &1 1 sin K sin2K 2sinKcos K cos 2K cos K sin K 2cos K 1 1 2sin K tg 2K 2tgK 1 tg K ctg2K ctg K 1 2ctgK sinK *sinL 2sin K *L 2 cos K ∓L 2 cos K &cosL 2cos K &L 2 cos K L 2 cos K cos L 2 sin K & L 2 sin K L 2 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 48 lim → 8sin 4 lim → 4 ] 4 ^ 8sin 4 8 lim → ] 4 ^ sin 4 d 4 ↭4 →0 ↭ →0 e 8lim !→ sin 8 ∙ 18. №9. lim → sin 2 4 1 . В знаменателе мы можем сделать квадрат разности, а потом, как всегда, перейти к новой переменной. Тогда предел будет стремится к 0, и, следовательно, мы можем применить первый замечательный предел. lim → sin 2 4 1 lim → sin 2 2 ] 2 ↭ 2 →2 ↭ →2 20 ^lim !→ sin 1 1. №10. lim → sin3 sin4 6 . На основании одной из теорем о пределах, мы можем данный предел разделить на два предела: lim → sin3 sin4 6 lim → sin3 6 lim → sin4 6 12 lim → sin3 3 23 lim → sin4 4 3 ↭ 3 →0 ↭ →0 4 ↭ 4 → 0 ↭ →0 ¡ 12 lim → sin 23 lim → sin 76 . №11. lim → cos cos 3 . Преобразуем числитель с помощью формул разности косинусов двух углов и синуса двойного угла: cos cos32sin2 sin4sin cos , тогда lim → cos cos3 4lim → sin cos 4lim → cos4. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 49 Вторым замечательным пределом называется предел вида Доказывать это мы с вами тоже не собираемся. Быть может, когда-нибудь я напишу отдельно книгу про все доказательства, но пока что не будем тратить на это время и сразу перейдем к примерам. Как только вы видите скобку в степени, значит прежде всего пробуйте ее свести ко второму пределу. Первые номера рассмотрим крайне подробно. №1. Посчитать предел: lim → ! 4 # Видим скобку в степени 5, следовательно пробуем свести к второму замечательному пределу. Сначала сведем то, что внутри к форме 1: lim → ! 4 # lim → !1 4 # Теперь нужно “поиграть” со степенью. Т.е. нам нужен вид типа /4. Почему? Формулу lim → !1 1 # можно было бы представить в виде lim → !1 1 # . В данном случае у нас вместо единицы – четверка. Значит, вот, что у нас получается: lim → ! 4 # lim → !1 4 # lim → ¢ !1 4 # £ . Что бы уж полностью свести к нашей формуле данный придел, мы обозначим 4. Тогда получаем: lim → 1 1 lim → 1 6.Второй замечательный предел Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 50 lim → ! +4 # = lim → !1 + 4 # = lim → ¢ !1 + 4 # £ = ¤ = 4 ↭ = 4 →∞↭ → ∞ ¥ = lim !→ ¦!1 + 1 # ! § = . Как видите, ничего сложного здесь нет. Алгоритм работы весьма просто: приведение дроби к виду 1 + # приведение степени к виду # ∙ ¨ замена переменной а далее просто считаем по формуле. Если запутались, не волнуйтесь. Мы еще успеем разобрать массу примеров ☺. №2. Найти предел: lim → ! +2 +1 # Действуем так же, как и в прошлый раз: lim → ! +2 +1 # = lim → ! +1 +1 +1 # = lim → !1 + 1 +1 # Здесь мы степень выделять будем после замены переменной. В данном случае, это проще, чем попытаться свести к второму пределу до замены. На результат это никак не повлияет. lim → ! +2 +1 # = lim → ! +1 +1 +1 # = lim → !1 + 1 +1 # = 2 = −1 ↭ = +1 →∞↭ →∞ = lim !→ !1 + 1 # ! = lim !→ ¦!1 + 1 # ! § lim !→ !1 + 1 # = ∙ 1 = . Как видите, ничего сверхъестественного здесь нет. Отсюда можно написать алгоритм решения, подобный прошлому. Приведение дроби к виду 1 + # замена переменной приведение степени к виду # ∙ ¨ а далее просто считаем по формуле. №3. Найти предел: lim → d +5 +2 e Выделим целую часть в скобках: lim → d +5 +2 e = lim → d +2 +3 +2 e = lim → !1 + 3 +2 # = +2 = 3 ↭ = +2 3 →∞↭ →∞ = lim !→ !1 + 1 # ! = lim !→ ¦!1 + 1 # ! § lim !→ !1 + 1 # = ∙ 7 1 + 10 8 = . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 51 Пример полностью аналогичен предыдущему. Если вы поняли, как “это работает”, то вы молодцы и можете смело идти дальше. Большой плюс здесь заключается в том, что достаточно знать лишь несколько методов, что бы решить тот или иной предел. №4. Посчитать предел: lim → ! 1 2 # Выделим целую часть в скобках: lim → ! 1 2 # lim → 7 !1 1 # 12 8 lim → !1 1 # lim → ! 12 # 1 ↭ 1 → ∞↭ →0 lim !→ 7 1 ! 8 lim → 2 2 lim → 2 8 ∞ Далее не хочется так подробно рассматривать каждый пример, иначе каждое решение будет занимать более половины страницы. Главное, чтобы вы поняли общую идею, и стремились к идеальному решению, т.е. короткому. Дам еще один совет, попробуйте для начала сами что-то решить, а потом уже проверяйте, верно ли вы сделал ли или нет. №5. Посчитать предел: lim → !1 1 # Решение: lim → !1 1 # 1 ª« ªª lim → !1 1 # ∙!1 1 # ∙ lim → !1 1 # ∙ 1 №6. Посчитать предел: lim → 1 Решение: lim → 1 1 ª« ªª lim → ! 1 # №7. Посчитать предел: lim → !1 2 # Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 52 Решение: lim → !1 2 # 1 ª« ªª lim → n!1 2 # o №8. Посчитать предел: lim → !1 4 # Решение: lim → !1 4 # 1 ª« ªª lim → n!1 4 # o №9. Посчитать предел: lim → ! 3 1 # Решение: lim → ! 3 1 # 1 ª« ªª lim → ! 1 4 1 # lim → !1 4 1 # ∙ lim → №10. Посчитать предел: lim → 4 ln 2 3 ln5 3 Решение: lim → 4 ln 2 3 ln5 3 lim → 4 ln 2 3 5 3 lim → ln! 2 3 5 3 # lim → ln!1 3 5 3 # % lim → ln1. №11. Посчитать пределы: Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 53 lim → d +1 +3 e Должен сказать, пример этот уже чуть интереснее предыдущих. Решение: lim → d +1 +3 e = lim → d 1 + +1 +3 −1 e = lim → d 1 + +1 − −3 +3 e = lim → !1 + −2 +3 # = lim → !1 + −2 +3 # ∙ ∙ = lim → ¢ !1 + −2 +3 # £ = &" → = = 1 На этом я предлагаю закончить второй замечательный предел. Далее, в конце книги вы сможете найти массу заданий на эту тему. Разумеется, ответы будут прилагаться. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 54 Так же хотелось бы сделать заметку по поводу электронного вычисления пределов. Есть такая программа – Maple, и там пределы считаются просто на «ура». Как видите, слева, в окошке есть шаблоны формул. Просто на них нажимаете и заполняете данными. Нажимаете на Enter и получаете ответ. На скриншоте для примера посчитан наш последний предел. Зачем нужна вам эта программа? Для проверок. Посчитали предел на бумаге, получили ответ. Вбили формулу в программе и проверили. На самом деле очень удобная штука. От автора: Поздравляю! Вы смогли завершить вторую главу “Непрерывность функции в точке” первой части “Предел и непрерывность функции”. Впереди вас ждет сравнение бесконечно малых функций, символ “Ο малое” и его свойства, вычисление пределов функций с помощью асимптотических формул и вычисление пределов показательно-степенных функций. Темы будут весьма важны, поэтому будут рассматриваться не только “технические” примеры, но так же примеры и на доказательства. На этой ноте я хочу вам пожелать успехов! До скорой встречи! Искренне Ваш, Виосагмир И.А. 7.Кратко о Maple Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 55 Глава 3. Бесконечно малые функции. Функция - называется бесконечно малой при → (в точке), если lim → -0. Пусть - и ® две бесконечно малые функции при →. Функции - и® называются: a. Бесконечно малыми одного порядка при → (в точке), если lim → - ® E 0; b. Эквивалентными бесконечно малыми при → (в точке), если lim → - ® 1 обозначение:-~®при → . Если lim → () 0, то говорят, что - является бесконечной малой более высокого порядка при → (в точке), чем ®, и пишут -²® при → (- равно “² малое” от ® при →). Например, ² при →0. Аналогичные определения имеют место для случаев → 0, → 0, → ∞. Следует иметь в виду, что равенства, содержащие символ “² малое”, являются условными. Например, равенство ² при →0 верно, но ² неверно, поскольку символ ² обозначает не какую-то конкретную функцию, а любую функцию, являющуюся при →0 бесконечно малой более высокого порядка, чем. Таких функций бесконечно много, в частности, любая функция * (где ³ 1) есть ² при →0. Таким образом, равенство ² при →0 означает, что функция принадлежит множеству бесконечно малых функций более высокого порядка при →0, чем. Поэтому “в обратную сторону” это равенство ² неверно: все множество функций ² не сводится к одной функции. Ничего не понятно ☺? Не волнуйтесь, далее мы все рассмотрим на примерах. Но теория в любом случае нужна, иначе моя книга перестает быть математической, и становится непонятно чем. 1.Сравнение бесконечно малых функций. Функция K называется бесконечно малой при → (в точке), если lim → K 0 . Содержание: 1) Сравнение бесконечно малых функций 2) Свойства символа “o малое” 3) Сравнение бесконечно малых функций Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 56 Рассмотрим несколько примеров, соответствующих данной теме. №1. Верно ли равенство 2 ² при →0? Решение: 2 ² – верно, так как lim → 2 0. Как видите, решение в одну строчку. Давайте его разберем более подробно ☺. Вспомним наше определение! Если lim → () 0, то говорят, что - является бесконечной малой более высокого порядка при → (в точке), чем ®, и пишут -²® при → (- равно “² малое” от ® при →). В нашем случае, мы обозначаем за - 2 . Далее нам нужно от куда-то “выкопать” ®. Посмотрим в определении на слова пишут -²® . Отсюда следует, то, что ® , судя по нашему примеру 2 ². Далее следуем просто определению, т.е. выписываем предел и проверяем, равен ли он нулю или нет. lim → - ® lim → 2 lim → 20 Предел равен нулю, следовательно - 2 является бесконечной малой более высокого порядка при →0 (в точке 0), чем ® , и пишут 2 ²® при →. Так же построим для наглядности наши графики функции. Красный график – это наша «главная» функция - 2 , а зеленый график – это функция ® . По картинке видно, что ближе к нулю функция - 2 стремится к нему быстрее, чем ® . Все! Мы с вами разобрали очень подробно этот пример. Далее все примеры будут идентичными, поэтому так подробно я решение писать не буду. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 57 Во всех остальных случаях красный график – это функция- , а зеленый - ® . №2. Верно ли равенство 3² при → 0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - 3,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → 3 3 0 Предел не равен нулю, следовательно равенство 3² неверно. Но! Так как предел равен константе, то функции 3 и бесконечно малые одного порядка в точке 0. №3. Верно ли равенство b | | ² при →0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - b | | ,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → b | | lim → b | | b | | ∙ b | | 7 10 8 ∞ 0 Предел не равен нулю, следовательно равенство b | | ² неверно. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 58 №4. Верно ли равенство | | ² при →0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - ln | | ,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → n ln | | olim → 1 ln | | 0 Предел равен нулю, следовательно равенство | | ² верно. №5. Верно ли равенство 1 cos ² при →0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - 1 cos ,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → 1 cos lim → 2sin ] 2 ^ lim → n sin] 2 ^ 2 o 2 1 ∙ 0 0 Предел равен нулю, следовательно равенство 1 cos² верно. P.S. Решение таких пределов у вас уже Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 59 не должно вызывать сложностей. Если чувствуете, что не справляетесь, лучше вернуться в главу 1 и 2 и все повторить. Все пределы таких типов у нас уже были. Это, как говорится, база, без которой никуда. Так как примеры все идентичны между собой, сначала решайте их сами, а потом смотрите на решение. Если так делать не будете, то ничему не научитесь!!! №6. Верно ли равенство sin ² при →0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - sin ,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → sin lim → ! sin # 1 1 Предел не равен нулю, следовательно равенство sin ² неверно. Но! Так как предел равен единицы, то функции sin и эквивалентные бесконечно малые в точке 0. №7. Верно ли равенство ² при →0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - ,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → 0 Предел равен нулю, следовательно равенство ² верно. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 60 №8. Верно ли равенство 1 cos ² при →0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - 1 cos,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → 1 cos 12 Предел не равен нулю, следовательно равенство 1 cos² неверно. Но! Так как предел равен константе, то функции 1 cos и бесконечно малые одного порядка в точке 0. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 61 Пусть - и - две произвольные бесконечно малые при → функции такие, что - ²® и - ²®. Тогда - - ²® при →. Эту теорему можно записать так: ² ® ² ® ² ® . Сформулируем наряду с указанным еще ряд свойств символа “² малое” (всюду имеется ввиду, что - →0 и ® →0 при →). 1. ² ® ² ® ² ® 2. ² ® ² ® ² ® 3. ² E® ² ® ∀E 0 4. E² ® ² ® ∀E 0 5. ² ® ² P ® Q , ´ 2 ∈ µ ,w1,2,…, 1 6. P ² ® Q ² ® ∀ ∈ µ 7. ® ² ® ² ® ∀ ∈ µ 8. +)) ² ® , ´ 2 ∈ µ Обозначим любую бесконечно малую при → функцию символом ² 1 . Тогда свойство 8 будет справедливо также при 1: +)) ²1. 9. o P ∑ c , β , Q o β ,гдеc , числа 10. ² P ² ® Q ² ® 11. ² P ® ² ® Q ² ® 12. -®² - ,-®² ® 13. Если ~®, то - ®²- и - ®²® На сей ноте теория заканчивается и начинается практика. Рекомендую все свойства выучить. В дальнейшем они нам сильно пригодятся. Первая задача будет очень подробно разобрана. Следующие задачи вы должны будете сделать сами, что бы “вникнуть” в эту тему. №1. Используя предел lim -→ .&- - 1 представить функцию sinx в виде ¹ ² P Q при →0,гдеw1илиw2; и некоторыечисла. 2.Свойства символа “ O малое”. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 62 Решение: Докажем сначала, что если - и ® бесконечно малые одного порядка при →, т.е. lim → () E 0, то - с® ²® при →. В самом деле, так как lim → - ® E → lim → d - ® E e 0 → lim → - E® ® 0, То по определению символа ²® имеем - E® ²®, или - E® ² ® при →. Пользуясь данным равенством, получаем sinx ² при → 0, Последняя формула называется асимптотической формулой функции sin при →0. Последнее слагаемое в правой части этой формулы ² называется остаточным членом асимптотической формулы. Далее, в последующих примерах, мы не будем доказывать одно и тоже и будем исходить из уже доказанного, т.е. - E® ² ® при →. Поэтому рекомендую прочесть доказательство еще раз, и самое главное, понять его. №2. Используя предел lim -→ /. - представить функцию sinx в виде ¹ ² P Q при →0,гдеw1илиw2; и некоторыечисла. Решение: Используем формулу - E® ² ® при → и получаем: cos 1 12 ² при →0. Последняя формула называется асимптотической формулой функции cos при → 0. Последнее слагаемое в правой части этой формулы ² называется остаточным членом асимптотической формулы. №3. Используя предел lim -→ - 1 представить функцию sinx в виде ¹ ² P Q при →0,гдеw1илиw2; и некоторыечисла. Решение: Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 63 Используем формулу - E® ² ® при → и получаем: ln1 ² при → 0. Последняя формула называется асимптотической формулой функции ln1 при →0. Последнее слагаемое в правой части этой формулы ² называется остаточным членом асимптотической формулы. №4. Используя предел lim -→ √ - представить функцию sinx в виде ¹ ² P Q при →0,гдеw1илиw2; и некоторыечисла. Решение: Используем формулу - E® ² ® при → и получаем: √ 1 1 1 ² при →0. Последняя формула называется асимптотической формулой функции √ 1 при → 0. Последнее слагаемое в правой части этой формулы ² называется остаточным членом асимптотической формулы. Я думаю, для вас этого будет достаточно. В институте или колледже этому почти не уделяется времени. На сей раз я хотел, что бы вы поняли, откуда берется это “² малое”, и как выводятся асимптотические формулы. Как говорится, немножко теории вам не помешает и, конечно, желательно понимать, что от куда берется. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 64 Ранее были уже получены асимптотические формулы для простейших элементарных функций при →0. Запишем эти формулы в виде таблицы. Указанные формулы остаются справедливыми, если в них вместо аргумента подставить, где º » бесконечно малая последовательность, либо, где lim → 0. Например, справедливо представление, вытекающее из первой формулы: sin 1 1 ²! 1 #, где 2 ² ] ^ бесконечно малая последовательность более высокого порядка, чем 2 , т.е. lim → ²] 1 ^ 1 lim → ²! 1 #0. То есть этим мы хотим сказать, что если 2 sin →0, то мы можем применить к синусу асимптотическую формулу. Например, функция 1 является бесконечно малой при → 1, поэтому из третьей формулы получаем равенство ln P 1 Q ² при →1, или ln 1 1 1² при → 1. Вот вам и еще один пример. Используя прошлое равенство и вторую формулу, запишем асимптотическое представление функции cos ln при →1. 1 sin & 6 2 cos 1 2 & 6 3ln 1 & &6 4 1 & ln & 6 0 5 S 1 & & 6 6 1 & 1 & & 6 7 tg & 6 8sh &6 9 ch 1 & 2 & 6 10 th & 6 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 65 Функция ln при →1 стремится к нулю, следовательно является бесконечно малой, следовательно можно применить асимптотическую формулу номер три: coslncos 1 ² 1. Функция cos 1 ² 1 при →1 стремится к нулю, следовательно является бесконечно малой, следовательно можно применить асимптотическую формулу номер два: cos lncos 1 ² 11 P 1 ² 1 Q 2 ² ] P 1 ² 1 Q ^. Вот теперь нам и пригодятся свойства “² малое”. Применяем их и получаем: P 1 ² 1 Q 2 1 2 1 ² 1 12 P ² 1 Q 1 2 ² 1 ² 1 1 2 ² 1 . Первое, что мы сделали, это раскрыли числитель – там квадрат суммы. Далее мы просто применяем свойства “² малое”. Если не учили их, посмотрите в таблице, которую я давал ранее. Аналогично, P 1 ² 1 Q 1 ² 1 . Применяем асимптотическое свойство номер 11. Получаем: ² ] P 1 ² 1 Q ^² 1 ² 1 ² 1 . Окончательно получаем cos ln1 1 2 ² 1 при → 1. Так же мы можем записать наше решение и так: lim → cos lnlim → d 1 1 2 ² 1 e . Теперь вы понимаете, зачем нам нужны эти асимптотические формулы! Как бы вы по другому искали этот предел? Запомните, если функция стремится к нулю, мы всегда ее можем заменить асимптотическими формулами. Если же она не стремится к нулю, а, например к какой-нибудь константе или бесконечности, мы не имеем права использовать асимптотические формулы!!! Асимптотические формулы применяются лишь в том случае, когда функция стремится к 0! Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 66 Давайте посчитаем наш предел: lim → cos lnlim → d 1 1 2 ² 1 e ¦1 1 1 2 §1. Сложно? Нет! Запутанно? Да! Но что же поделаешь, практика здесь определенно нужно. Думаю, через несколько минут вам будет уже все понятно. Переходим к примерам. Так же как и всегда, первый разобран подробно, остальные примеры решайте сначала сами, а потом смотрите решение. №1. Найти предел: lim → ln1 4 sin3 . Решение: Для начала смотрим, можно ли применить асимптотические формулы. Вспоминаем, когда их можно применять? Когда функция стремится к нулю. Проверяем: lim → ln1 4 ln1 0 lim → sin3 sin0 0 Все верно! Значит применяем формулы. В данном случае это ln1 ¼ ~¼,sin¼~¼. Так как пример очень простой, “² малое” мы здесь можем не писать. Если хотите, можете использовать его. Тогда lim → ln1 4 sin3 lim → 43 43 . Как видите, все очень просто. №2. Найти предел: lim → √ 1 1 . Решение: Так как ½ √ 1 1 ¾ →0 и º » →0 при →0, то можем применять асимптотические формулы. √ 1 ~1 3 ,. То есть, Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 67 lim → √ 1 1 lim → 1 3 1 lim → 3 13 . №3. Найти предел: lim !→ 1 cos1 cos sin . Решение: Так как º 1 cos1 cos » → 0 и º sin » →0 при →0, то можем применять асимптотические формулы. cos ~1 2 ,sin ~. То есть, lim !→ 1 cos1 cos sin lim !→ 1 cos!1 1 2 # sin lim !→ 1 cos 2 Пример упростился, но нам этого недостаточно. Поэтому, так как 2 1 cos ! → 0 и º » → 0 при →0, то можем применять асимптотические формулы. cos ~1 2 . lim !→ 1 cos1 cos sin lim !→ 1 cos!1 1 2 # sin lim !→ 1 cos 2 lim !→ 1 p r 1 ! 2 # 2 s u lim !→ 8 v 18 . №4. Найти предел: lim → √ 1 2 3 1 . Решение: Так как ½√ 1 2 3 1 ¾ → 0 при → 0, то можем применять асимптотические формулы. 1 ~1 . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 68 В данном случае, 1/2. Поэтому вот что у нас получится: lim → √ 1 2 3 1 lim → 1 2 3 2 1 12 lim → 2 3 12 lim → 2 3 7 12 ∙ 2 8 1. №5. Найти предел: lim → lnln . Решение: Так как º lnln » →0 при →, то можем применять асимптотические формулы. ln 1 ¼ ~¼. Таким образом получаем: lim → lnln lim → lnln 1 1 lim → ln1 ln 1 lim → ln 1 lim → ln ln lim → ln lim → ln 1 ] 1^ 2 ln 1 ] 1^ →0при → lim → 1 lim → 1 lim → 1 . Скажу честно, что предел не из простейших. Запутаться здесь достаточно легко, поэтому, если вы, “чайник”, взяли этот предел, то вы уже далеко не тот, кем вы были до прочтения этой книги. Вы уже средний студент хорошего института! №6. Найти предел: lim → log 1 2 . Решение: Так как º log 1 » →0 при → 2, то можем применять асимптотические формулы. ln 1 ¼ ~¼. Получаем: lim → log 1 2 lim → log log 2 2 lim → log 2 2 lim → ln/2 ln2 2 1 ln2 lim → ln/2 2 1 ln2 lim → ln 1 ] 2 1^ 2 1 ln2 lim → 2 1 2 1 2 ∙ ln2 lim → 2 2 1 2 ∙ ln2 . №7. Найти предел: Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 69 lim → sin 1 1 . Решение: Так как º sin 1 » →0 при →1, то можем применять асимптотические формулы. Для синуса у нас есть вот такая формула: sin~. Следовательно, перейдем к новой переменной. Пусть 1. Тогда → 0 при →1. Предел становится равным ¿lim !→ sin 1 1 Далее используем алгебраическое тождество: 1 4 6 4 1 Таким образом находим предел: ¿lim !→ sin 1 1 sin~lim !→ 4 6 4 lim !→ 1 4 6 4 14 . №8. Найти предел: lim → lncos √ 1 1 . Решение: Так как º lncos » →0 и ½√ 1 1 ¾ →0 при →0, то можем применять асимптотические формулы. √ 1 ~1 w ,ln 1 ~. Тогда предел можно записать в виде ¿lim → lncos √ 1 1 lim → ln1 cos 1 !1 3 #1 lim → cos 1 /3 3 lim → 1 cos ¦1 cos ~ 2 §3 lim → 2 32 lim → 32 . №9. Найти предел: lim → sinsintg! 2 # lncos3 . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 70 Решение: С виду жуткий примерчик, не правда ли? Не волнуйтесь ☺! Мы всегда все преодолеваем. Давайте так же в этом примере будем использовать “² малое”, для того, что бы наш ответ был уж точно правильным. Запишем асимптотическое разложение числителя, пользуясь асимптотическими формулами для синуса и тангенса и свойствами “² малое”: sinsintg d 2 e = sinsin 2 +² d 2 e ¡ = sin À 2 +² d 2 e +² 2 +² d 2 e ¡ Á = sin 2 +² +² ¡ = sin 2 +² ¡ = 2 +² . Здесь мы пользовались тем, что ² d +² ] ^ e = ²() и ² +² = ²(). Выведем теперь асимптотическое разложение знаменателя, используя асимптотические формулы для косинуса и логарифма: lncos3 = ln1 − 3 2 +² 3 ¡ = lnn1 +− 9 2 +² ¡o =− 9 2 +² ¡ +² − 9 2 +² ¡ = − 9 2 +² +² = − 9 2 +² . Здесь мы воспользовались тем, что ² 3 = ² ,² − 9 2 +² ¡ = ² ,² +² = ² . Таким образом данный предел равен lim → sinsintg! 2 # lncos 3 = lim → 2 +²() − 9 2 +²() = lim → 12 + ²() − 92 + ²() = 12 +lim → ²() − 92 + lim → ²() = − 19 . Здесь мы воспользовались тем, что, по определению символа “² малое” lim → ² = 0. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 71 От автора: Должен сказать, что если вы все-таки достигли этой страницы, то вы уже далеко не чайник! Вы уже вполне образованный человек, который хорошо разбирается в пределах функций. Я попытался объяснить вам данную тему как можно более понятно. Надеюсь, мне это удалось сделать. Далее вас будет ждать большая и очень важная тема. Это – производные и дифференциалы. Потом, в моих планах стоит тема «неопределенный интеграл», далее – «основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях». Но это все пока что в планах. Данную часть я написал и весьма доволен этим. Наверняка, в книге, присутствуют как грамматические ошибки, так и математические (потеря знака). Прошу об этом писать мне на почту… А сейчас можете смело переходить к дополнительным главам ☺. Удачи! С Уважением, Ваш Виосагмир И.А. [email protected] Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 72 Глава 4. Дополнительные методы. Давайте рассмотрим дополнительные методы, при помощи которых мы можем считать наши пределы. В некоторых случаях данными методами намного проще воспользоваться, чем теми, что мы с вами уже прошли. Но должен предупредить, что здесь вы должны знать как можно и нужно дифференцировать функцию. Сейчас я на этом останавливаться не буду, так как данная тема подробно рассматривается в моей второй книге. Итак, чем же этот метод Лопиталя такой особенный? А особенный он тем, что может раскрывать неопределенности вида V 0 0 v W и ∞ ∞ ⁄ . Если вспомнить, то мы уже много прошли способов для раскрытия различных неопределенностей, но бывают такие случаи, когда сложно ее раскрывать, ну, или по крайней мере неудобно. Но опять же, правило Лопиталя применимо не во всех случаях. Общая формулировка выглядит так: При некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных. Давайте рассмотрим эти условия ☺. 1. lim → lim → O0или∞ 2. и O дифференцируемы в проколотой окрестности 3. O 0 0 в проколотой окрестности 4. существует lim → ′ O′ à Тогда, если выполняются условия 1 2 3 4 → lim → O lim → ′ O′ . Заметьте, что →, а не к какой-то там бесконечности или вообще нулю. Нам важно то, что предел этих функций должен быть равен бесконечности или нулю! Многие по началу путаются с этим, поэтому не пропускайте это мимо ушей ☺. Содержание: 1) Правило Лопиталя 2) Разложение в ряд Тейлора. Часть 1 3) Разложение в ряд Тейлора. Часть 2 1.Правило Лопиталя Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 73 Думаю, больше теории здесь давать не нужно. Моя книга больше нацелена именно на практику, поэтому мы сейчас же к ней и переходим. №1. Найти предел lim → +5 3 . Решение: Для начала выпишем наши функции () и O() = +5,O = 3 Теперь проверяем наши условия 1. lim → () = lim → +5 = 0,lim → O() = lim → 3 = 0 →! 2. () и O() дифференцируемы в проколотой окрестности. Т.е. можно взять производную от этих функций в точке = 0 −! 3. O 0 = 3 ≠ 0 в проколотой окрестности 0 −! 4. существует lim → ′() O′() à = lim → 2 +5 3 v −! Когда привыкните, то не будете тратить на проверку свое драгоценное время. Я вам показал как это делать. Теперь, я буду проверять лишь первый пункт. Вам же напутствие – проверяйте каждый пункт! Потому что всякое может быть. lim → +5 3 = 7 00 − ÄÅ 8 = lim → +5 0 3 0 = lim → 2 +5 3 = 7 0 +5 3 − 8 = 53 Вот это лучшая запись решения данного примера! 1 − определяем на неопределенность; 2 − расписываем производные; 3 − считаем производные и одновременно смотрим, стремится ли () и O() к 0; 4 − определяем на неопределенность; 5 − пишем ответ. Легко? Да! Но нужна практика, чтобы не запутаться. №2. Найти предел lim → +4 +7 +3 Решение: = +4 +7 → ∞ при →∞ и O = +3 → ∞ при →∞. Следовательно, можем применить правило Лопиталя ☺. lim → +4 +7 +3 = ∞∞ = lim → +4 +7 0 +3 0 = lim → 3 +8 +7 3 +6 = ∞∞ = lim → 3 +8 +7 ′ 3 +6 ′ = lim → 6 +8 6 +6 = ∞∞ = lim → 6 +8 ′ 6 +6 ′ = lim → 66 = 7 66 8 = 1 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 74 Здесь нам пришлось применять правило Лопиталя 3 раза, от того, что определенность никак не хотела уходить! Прежде чем начинать дифференцировать вы должны проверить условия на функции. Здесь вы проверяли условия 4 раза! Они обозначены красным цветом – шаги, на которых вы проверяете условия прежде чем перейти к следующему шагу. Должен сказать, что вы уже наверное поняли, что этот способ для данного примера явно не является оптимальным. Здесь лучше воспользоваться тем, чем мы занимались половину этой книги – вынести из числителя и знаменателя. lim → +4 +7 +3 = lim → ]1 + 4 + 7 ^ ]1 + 3 ^ = lim → 1 + 4 + 7 1 + 3 = 7 1 +0 +0 1 +0 8 = 1 А можно еще и так сделать: lim → +4 +7 +3 = ∞∞ = lim → +4 +7 0 +3 0 = lim → 3 +8 +7 3 +6 = lim → ]3 + 8 + 7 ^ ]3 + 6 ^ = lim → 3 + 8 + 7 3 + 6 = 7 1 +0 +0 3 +0 8 = 33 = 1 То есть, на первом шаге мы проверяем на неопределенность и применяем правило Лопиталя, но тут же догадываемся, что нужно будет так делать еще два раза. Что бы сэкономить наше время, мы выносим высшую степень в числитель, дабы у нас получились бесконечно малые функции. Почему я так трачу много времени на это? Я хочу что бы вы во всем разобрались и поняли, что различные способы можно смешивать между собой! При этом не надо забывать об условиях в каждом таком способе. №3. Найти предел lim → ln 1 +2lnsin Решение: Вот именно для таких случаев у нас и есть правило Лопиталя. А как решить по-другому? Ну, разве что какой-нибудь заменой. Так как все условия выполняются (проверьте их сами), то мы можем применить правило Лопиталя. lim → ln 1 +2lnsin = ∞∞ = lim → ln 0 1 +2lnsin 0 = lim → 1 2 ∙ cos sin = lim → sin 2 cos А не было ли у нас ранее подобного примера ☺? По-моему это налицо первый замечательный предел. Запишем его покрасивее: lim → sin 2 cos = 12 ∙ lim → 7 ! sin #∙ 1 cos 8 = 12 ∙ 1 ∙ lim → 1 cos = 12 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 75 Поэтому, lim → ln 1 +2lnsin = 12 . Видите, правило Лопиталя помогает нам дойти до определенного места. А потом мы применяем то, что прошли с вами ранее ☺. Двигаемся дальше… №4. Найти предел lim → 1 −cos 4 Решение: Так как все условия выполняются (проверьте их сами), то мы можем применить правило Лопиталя. lim → 1 −cos 4 = 7 00 8 = lim → 1 −cos 4 0 0 = lim → 4sin4 2 = 7 00 8 = lim → (4sin4)′ (2)′ = lim → 16cos 4 2 = 8 Здесь мы применили правило Лопиталя два раза. Кстати, здесь можно было бы решить и при помощи первого замечательного предела, после первого применения правила Лопиталя. У нас было бы вот так lim → 4sin4 2 = lim → ! sin4 4 #∙ 8 = 8 №5. Найти предел lim → ln Решение: Дроби, как видите, у нас здесь нет. Поэтому мы не можем применять правило Лопиталя. Но ведь мы смекалистые, поэтому мы сейчас сами сделаем дробь ☺. ln = ln 1 v Теперь все верно! Проверьте сами условия и убедитесь в том, что мы имеем права применять правило Лопиталя. lim → ln = 0 ∙ ∞ = lim → ln 1 v = 7 00 8 = lim → ln ′ P 1 v Q ′ = lim → 1 − 1 = −lim → = 0 = 0 №6. Найти предел lim → ! 1 −1 − 1 ln # Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 76 Решение: Здесь так же как и в предыдущем примере нужно сделать дробь. Надеюсь, вы знаете, как складывать дроби с разными знаменателями ☺. 1 −1 − 1 ln = ln − +1 −1 ln Теперь все верно! Проверьте сами условия и убедитесь в том, что мы имеем права применять правило Лопиталя. lim → ! 1 −1 − 1 ln #= ∞−∞ = lim → ln − +1 −1 ln = 7 00 8 = lim → (ln − +1)′ (−1 ln)′ = lim → 1 −1 ln + −1 = lim → 1 − ln + −1 = 7 00 8 = lim → (1 −)′ (ln + −1)′ = lim → −1 1 +ln +1 = 7 − 12 8 = − 12 Здесь мы изначально перешли к дроби, потом применили правило Лопиталя два раза подряд. №7. Найти предел lim → 1 + Решение: Здесь можно попробовать перейти ко второму замечательному пределу. Мы же попробуем применить правило Тейлора. Для этого нужно сделать дробь. Сделаем достаточно хитро – обозначим 1 + за. То есть, 1 + = →ln = 1 ∙ ln 1 + = ln 1 + Теперь используем очень полезное в данный момент свойство: Так как Ä функция непрерывная, то lnlim → = lim → ln Готов поспорить, половина из вас ничего не поняла ☺. Короче, в данном примере мы переходим от одной функции к другой, не забыв при этом поменять пределы. º → 0при | →∞приln » Верно? Да! Вспомните график логарифма. Соответственно, поменяв пределы, мы начинаем искать предел, пользуясь правилом Лопиталя. lim → ln = lim → ln 1 + = ∞∞ = lim → ln 1 + ′ ′ = lim → 2 1 + = ∞∞ = lim → (2)′ 1 + ′ = lim → 2 2 = 0 Теперь не забываем перейти к обратным переделам! Т.е. у нас получается Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 77 lim → = илиlim → 1 + = 1 Интересный примерчик ☺? Самое главное, что бы вы поняли то, что в один и тот же пример можно решить различными способами, а не только одним. №8. Найти предел lim → −2arctg ln Решение: Мы не можем применять правило Лопиталя, так как нет дроби. Поэтому, мы ее делаем −2arctg ln = −2arctg 1 ln Вы проверяете 4 свойства и понимаете, что можно применить правило Лопиталя. lim → −2arctg ln = lim → −2arctg 1 ln = () 7 00 8 = lim → −2arctg ′ ] 1 ln ^ ′ = lim → − 2 1 + − 1 ln = lim → 2 ln 1 + = () ∞∞ = lim → (2 ln)′ (1 +)′ = lim → 2ln +4ln 2 = () ∞∞ = lim → (2ln +4ln)′ (2)′ = lim → 4 ∙ ln + 4 2 = 2 lim → ln +1 = () ∞∞ = lim → (ln +1)′ ′ = lim → 1 v 1 = lim → 1 = 0 Мы здесь использовали целых четыре правила Лопиталя! С виду решение, конечно, он красивое ☺. Хочу вам сказать, что такие примерчики далеко не в каждом вузе решают. Я же хочу, что бы вы такие решали! И не были, так сказать, “чайниками”. №9. Найти предел lim → arcsin 1 Решение: Здесь тоже немного хитро ☺. Нужно воспользоваться свойством логарифма arcsin 1 = 1∙23/.& = 23/.& /1 Как мы это сделали? Все просто. Есть такая формула: = Мы ей просто пользуемся и получаем Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 78 arcsin 1 = 4 23/.& 5 = 1∙23/.& = 23/.& /1 То есть, мы все можем записать так: lim → arcsin 1 = &" → 6 1∙23/.& 7 = &" → 9 23/.& /1: = ; < = &" → 9 23/.& 0 (/1)0: = &" → 9 .& √ ∙23/.& : = &" → 9 ∙ : = = 1 Вот этот пример уже не шутка. Это полноценный, выше среднего уровня, пример! №10. Найти предел lim → ctg Решение: Здесь делаем то же самое, что и в предыдущем примере. Таким образом у нас получается lim → ctg = &" → /1 = ; < = &" → /1 0 ()0 = &" → .& ∙/1 = &" → .&∙/. = = 1 №11. Найти предел lim → −sin +sin Решение: Здесь нельзя применять правило Лопиталя! Проверьте все условия и поймите, что я говорю все верно ☺! Здесь нужно вычислять предел вот так lim → −sin +sin = lim → ]1 − sin ^ ]1 + sin ^ = lim → 1 − sin 1 + sin = 1 №12. Найти предел lim → ! sin # Решение: lim → ! sin # = &" → = .& >∙ = &" → .& = ; < = &" → .& ()0 = &" → /. = ; < = &" → = Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 79 На этом мы заканчиваем правило Лопиталя. Запомните одну важную вещь! Не стоит применять это правило езде и вся. Сначала определите, а нужно ли вообще его здесь применять? Когда у вас логарифмы, синусы, корни, то оно может помочь. Но если у вас простые выражения, оно может только затруднить вашу работу. Так что никуда не спешите ☺. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 80 В данном разделе мы рассмотрим предел функции вида O ⁄ . Что такое разложение ряда Тейлора и все его подробности я рассказывать не буду, так как это все написано в моей второй книге. В данном разделе я на примерах объясню принцип данной работы. В таблице представлены основные разложения по формуле Тейлора при условии, что →0. Их можно не запоминать, просто распечатайте и пользуйтесь ими. А сейчас мы разберем метод Тейлора на конкретных примерах. Я называю данные примеры crash-примерами. Сейчас поймете, почему именно такое название ☺. №1. Найти предел lim → cos arctg ln 1 Решение: Так как в знаменателе одна функция, то представим ее формулой Маклорена до остаточного члена ² , то есть sin 6 & 120 & 6 cos 1 2 & 24 & 6 7 Y & 6 & 120 & 6 " Y 1 & 2 & 24 & 6 tg & 3 & 2 15 & 6 8 Y 3 & 2 15 & 6 arcsin & 6 & 3 40 & 6 arctg 3 & 5 & 6 ln 1 & 2 & 3 4 & 6 ln 1 2 3 4 & 6 ln > & Z 1 & E 6 & 3 40 & 6 1 1 & 1 & & & 6 1 1 1 & & & & & 6 √ 1 & 1 & 2 8 & 16 & 6 2.Разложение в ряд Тейлора. Часть 1 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 81 O = − ∙ +² = − +²() Знаменатель дроби легко представить в виде ряда Маклорена. Нам все члены не нужны, поэтому мы берем самый первый, ненулевой. Теперь рассмотрим числитель. Так как знаменатель мы разложили до остаточного члена ² , то и числитель мы должны раскладывать точно до такого же остаточного члена. cos = 1 − 2 +² → ∙ cos = − 2 +² arctg = − 3 +² Как видите, мы раскладываем cos до остаточного члена ² , так как уже знаем, что cos мы помножим на, и он нам даст остаточный член ² . В итоге, вот наш разложенный числитель: = − 2 +² − − 3 +² ¡ = − 6 +² Тогда lim → () O() = lim → − 6 +² − +²() = 16 Вот мы с вами и посчитали первый предел ☺. Запутанно? Да. Но при помощи рядов Тейлора можно считать очень сложные и “непроходимые” пределы. Зная как это делать, вы потратите достаточно времени на поиск предела, но зато вы его в конечном счете посчитаете! Вы останетесь в выигрыше ☺. №2. Найти предел lim → sin] 1 − ^ +ln(1 −) − 2 tg(Åℎ) −arctg Решение: Для начала рассмотрим знаменатель и попробуем найти функцию O(). Для этого разложим наши функции tg(Åℎ) и arctg. Теперь возникает вопрос, а до какого остаточного члена нам раскладывать? Ну, для начала, давайте попробуем до ²(). Åℎ = +²() O = +² ,где = Åℎ Теперь подставим и найдем O(Åℎ) O Åℎ = +² +² P +² Q = +²() Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 82 Но давайте посмотрим на числитель. Там уже остаточный член при разложении будет больше чем ²(). Как я уже говорил, остаточный член везде должен быть одинаковым. Поэтому нам придется раскладывать до ² . Åℎ = + 3! +² O = + 3 +² ,где = Åℎ Теперь подставим и найдем O(Åℎ) O Åℎ = + 3 +² = + 3! +² ¡ + d + 3! +² e 3 +² + 3! +² ¡ Теперь обратим внимание на второе слагаемое, т.е. на d + 3! +² e 3 Если мы раскроем скобки в числителе, то получится + 2 + % 4 + 19 +² Но! Нам ² не нужно, нам нужно ² , как мы и договорились раньше. Поэтому мы можем избавиться от членов 2 + % 4 + 19 Потому что они дают нам ² . Повторяю еще раз, если мы решили что в нашем примере остаточный член будет представлен в виде ² , значит он должен быть в каждом слагаемом именно такой и не иначе! Соответственно, мы можем написать так: O Åℎ = + 3 +² = + 3! +² ¡ + P +² Q 3 +² = + 2 +² Разложим второе слагаемое в знаменателе. Оно у нас уже есть в таблице arctg = − 3 +² Таким образом, функция знаменателя O() раскладывается так O = + 2 +² ¡ − − 3 +² ¡ = 5 6 +² Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 83 Теперь перейдем к числителю. Для начала рассмотрим 1 − У нас есть формула для вида дроби 1 1 − Мы сделаем хитро. Разложим дробь до остаточного члена ² , так как при умножении потом на у нас получится оценка ² . А она как раз нам и нужна! 1 1 − = 1 + + +² Тогда, при умножении на у нас получится 1 − = P 1 + + +² Q = + + +² Разложим sin, где = 1 − v . Эта формула нам также известна (в таблице). sin = − 3! +² Здесь мы разложили так же до ² , так как никаких умножений на sin у нас нет. Теперь подставим все под и получим sin] 1 − ^ = P + + +² Q − P + + +² Q 3! +² ] P + + +² Q ^ Теперь рассмотрим нашу дробь P + + +² Q 3! Обратите внимание на числитель. Если мы раскроем скобки, то наша оценка значительно увеличится, а нам этого не нужна. Нам нужно, что бы оценка оставалась ² . Что делать? Избавляться от остальных членов! Таким образом дробь примет несколько другой вид P +² Q 3! Конечно, если хотите, то можете раскрыть все скобки P + + +² Q ,Э а потом выкинуть все, степень которых будет больше 3. Но вы замучаетесь это делать, поэтому выкидывайте их сразу! Итого, вот что у нас получится Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 84 sin] 1 − ^ = P + + +² Q − P +² Q 3! +² = + + +² − +² 3! = + + 5 6 +² Рассмотрим второе слагаемое в числителе, то есть ln(1 −) Слава богу, его разложение у нас уже есть в таблице ln(1 −) = − − 2 − 3 +² Итого, мы можем записать нашу () функцию = + + 5 6 +² ¡ +− − 2 − 3 +² ¡ − 2 = 2 +² Теперь у нас есть разложенные функции () и O(). Мы можем найти наш предел lim → () O() = lim → 2 +² 5 6 +² = 35 Мы нашли предел! Хочу сказать, что это высший уровень! Это не “чайник” и не “среднячок”. Это мега-студент, который может многое. Господа, повышайте свою самооценку и чувствуйте себя выше других, решая такие примеры ☺. Лично я искренне надеюсь, что вы все поймете (а может и уже поняли) все что я рассказываю вам. Ну, что!? Идем дальше покорять вершины математики ☺! №3. lim → O P Q − ln Eℎ arctg(cos) −tg Решение: Красота, не правда ли ☺? Ничего, справились с предыдущим, покорим и этот! Будем представлять до точности ² , как и в предыдущих номерах. Попробуем вывести функцию O(). Для этого рассмотрим cos (его разложение нам известно) cos = 1 − 2 +² Остаточный член представлен в виде ² , так как на cos мы умножаем, который нам дает нашу лучшую оценку ² . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 85 cos = 1 − 2 +² ¡ = − 2 +² Теперь разложим arctg , где = cos (так же по таблице) EO = − 3 +² Тогда мы можем разложить arctg(cos) arctg(cos) = − 2 +² ¡ − d − 2 +² e 3 +² n − 2 +² ¡ o Если мы обратим внимание на числитель второй дроби, то есть на − 2 +² ¡ , то мы сразу же обратим внимание на то, что при раскрытии скобок мы никак не получим ² . Степень у будет значительно выше. Поэтому мы избавляемся от ненужных нам членов и получаем arctg(cos) = − 2 +² ¡ − +² 3 +² = − 5 6 +² Нам осталось разложить последнее слагаемое в знаменателе O = + 3 +² Таким образом мы собрали все нужные нам данные для того, чтобы найти функцию O(). O = arctg(cos) −tg = − 5 6 +² ¡ − + 3 +² ¡ = − 7 6 +²() Отлично! Мы смогли представить знаменатель с точностью до ² . Поэтому мы смело можем переходить к числителю. Нам нужно разложить O P Q − ln Eℎ Как вы вероятно уже поняли, мы начинаем с внутренних функций. Поэтому, для начала разложим! , где = − . ! = 1 + +²() Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 86 Как видите, мы раскладываем с точностью до ²(), так как даст нам точность ² , а − ² . = 1 − +² = P 1 − +² Q = − +² Теперь разложим O, где = . O = + 3 +² Подставим и получим O P Q = P − +² Q + P − +² Q 3 +² ] P − +² Q ^ Рассмотрим числитель второй дроби P − +² Q Если мы раскроем скобки, то у нас уже не будет точности ² , поэтому от других членов мы просто избавляемся. O P Q = P − +² Q + P +² Q 3 +² = − 2 3 +² Отлично! Одно слагаемое мы смогли представить. Теперь рассмотрим второе ln Eℎ Здесь есть тоже своя хитрость. Так как мы делим на, то числитель нам нужно представить с точностью до ² , что бы при делении точность всей дроби была ² . ln(Eℎ) = 2ln(Eℎ) Здесь мы применили просто свойство логарифма. Eℎ = 1 + 2 + 24 +² Теперь разложим ln(+1),где = Eℎ −1. Мы раскладываем ln(+1), так как у нас нет формул разложения для ln. = Eℎ −1 − этим мы компенсируем нашу единичку. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 87 ln(+1) = − 2 + 3 − 4 +² = 1 + 2 + 24 +² ¡ − d 1 + 2 + 24 +² e 2 + d 1 + 2 + 24 +² e 3 − d 1 + 2 + 24 +² e 4 +² n1 + 2 + 24 +² ¡ o Ну, что же. Здесь мы должны откинуть все члены, что бы оценка не увеличивалась, а так же и оставалась на уровне ² . Вот что у нас получается в конечном итоге ln(Eℎ) = 2ln(Eℎ) = 2ln1 + 2 + 24 +² ¡ = 2 p q q r 2 + 24 +² − d 2 +² e 2 +² s t t u = 2 2 + 24 +² − 8 +² ¡ = − 6 +² Таким образом, мы можем расписать нашу функцию () = − 2 3 +² ¡ − 1 − 6 +² ¡ = − 2 +² Отсюда можно найти предел lim → () O() = lim → − 2 +² − 7 6 +²() = 37 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 88 В данной теме мы рассмотрим предел функции вида? . Так же как и в прошлом разделе, рассмотрим все на примерах. №1. Найти предел функции lim → d √1 cos e Решение: Распишем разложение функции. Это сделать легко, так как все разложения у нас есть в таблице. √1 cos 1 12 18 ² 1 12 1 24 ² d 1 12 18 ² eÆ 1 d 12 1 24 ² e 2 ² ¡ ² Ç 1 2 8 ² ¡1 2 5 24 ² ¡1 6 ² Отсюда легко найти и предел lim → ? lim → 1 6 ² ¡ / Как считать второй замечательный предел мы с вами уже проходили, поэтому я не буду тратить сейчас на это времени. 3.Разложение в ряд Тейлора. Часть 2

Понятия пределов последовательностей и функций. Когда требуется найти предел последовательности, это записывают следующим образом: lim xn=a. В такой последовательности последовательности xn стремится к a, а n к бесконечности. Последовательность обычно представляют в виде ряда, например:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Последовательности подразделяются на возрастающие и убывающие. Например:
xn=n^2 - возрастающая последовательность
yn=1/n - последовательность
Так, например, предел последовательности xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Данный предел равен нулю, поскольку n→∞, а последовательность 1/n^2 стремится к нулю.

Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1

В ряде встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность - ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. Обязательное условие при

том - отсутствие ошибок при нахождении производных. Так, например, производная функции (x^2)" равна 2x. Отсюда можно сделать вывод, что:
f"(x)=nx^(n-1)

Теория пределов - один из разделов математического анализа, который одним под силу освоить, другие с трудом вычисляют пределы. Вопрос нахождения пределов является достаточно общим, поскольку существуют десятки приемов решения пределов различных видов. Одни и те же предела можно найти как по правилу Лопиталя, так и без него. Бывает, что расписание в ряд бесконечно малых функций позволяет быстро получить нужный результат. Существуют набор приемов и хитростей, позволяющих найти предел функции любой сложности. В данной статье попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Теорию и определение предела мы здесь давать не будем, в интернете множество ресурсов где это разжевано. Поэтому займемся практическим вычислениям, именно здесь у Вас и начинается "не знаю! Не умею! Нас не учили!"

Вычисление пределов методом подстановки

Пример 1. Найти предел функции
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Решение: Такого сорта примеры по теории вычисляют обычной подстановкой

Предел равен 18/11.
Ничего сложного и мудрого в таких пределах нет - подставили значение, вычислили, записали предел в ответ. Однако на базе таких пределов всех приучают, что прежде всего нужно подставить значение в функцию. Далее пределы усложняют, вводят понятие бесконечности, неопределенности и тому подобные.

Предел с неопределенностью типа бесконечность разделить на бесконечность. Методы раскрытия неопределенности

Пример 2. Найти предел функции
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinity).
Решение: Задан предел вида полином разделить на полином, причем переменная стремится к бесконечности

Простая подстановка значения к которому следует переменная найти пределов не поможет, получаем неопределенность вида бесконечность разделить на бесконечность.
Пот теории пределов алгоритм вычисления предела заключается в нахождении наибольшего степени "икс" в числителе или знаменателе. Далее на него упрощают числитель и знаменатель и находят предел функции

Поскольку значение стремятся к нулю при переменной к бесконечности то ими пренебрегают, или записывают в конечный выражение в виде нулей

Сразу из практики можно получить два вывода которые являются подсказкой в вычислениях. Если переменная стремится к бесконечности и степень числителя больше от степени знаменателя то предел равен бесконечности. В противном случае, если полином в знаменателе старшего порядка чем в числителе предел равен нулю.
Формулами предел можно записать так

Если имеем функцию вида обычный поленом без дробей то ее предел равен бесконечности

Следующий тип пределов касается поведения функций возле нуля.

Пример 3. Найти предел функции
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Решение: Здесь уже выносить старший множитель полинома не требуется. С точностью до наоборот, необходимо найти наименьший степень числителя и знаменателя и вычислить предел

Значение x^2; x стремятся к нулю когда переменная стремится к нулю Поэтому ими пренебрегают, таким образом получим

что предел равен 2,5.

Теперь Вы знаете как найти предел функции вида полином разделить на полином если переменная стремится к бесконечности или 0. Но это лишь небольшая и легкая часть примеров. Из следующего материала Вы научитесь как раскрывать неопределенности пределов функции .

Предел с неопределенностью типа 0/0 и методы его вычислений

Сразу все вспоминают правило согласно которому делить на ноль нельзя. Однако теория пределов в этом контексте подразумеваем бесконечно малые функции.
Рассмотрим для наглядности несколько примеров.

Пример 4. Найти предел функции
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Решение: При подстановке в знаменатель значения переменной x = -1 получим ноль, то же самое получим в числителе. Итак имеем неопределенность вида 0/0.
Бороться с такой неопределенностью просто: нужно разложить полином на множители, а точнее выделить множитель, который превращает функцию в ноль.

После разложения предел функции можно записать в виде

Вот и вся методика вычисления предела функции. Так же поступаем если есть предел вида многочлен разделить на многочлен.

Пример 5. Найти предел функции
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Решение: Прямая подстановка показывает
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
что имеем неопределенность типа 0/0 .
Разделим полиномы на множитель которій вносит особенность


Есть преподаватели которые учат, что полиномы 2 порядка то есть вида "квадратные уравнения" следует решать через дискриминант. Но реальная практика показывает что это дольше и запутаннее, поэтому избавляйтесь особенности в пределах по указанному алгоритму. Таким образом записываем функцию в виде простых множителей и вічисляем в предел

Как видите, ничего сложного в исчислении таких пределов нет. Делить многочлены Вы на момент изучения пределов умеете, по крайней мере согласно программе должны уже пройти.
Среди задач на неопределенность типа 0/0 встречаются такие в которых нужно применять формулы сокращенного умножения. Но если Вы их не знаете, то делением многочлена на одночлен можно получить нужную формулу.

Пример 6. Найти предел функции
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Решение: Имеем неопределенность типа 0/0 . В числителе применяем формулу сокращенного умножения

и вычисляем нужній предел

Метод раскрытия неопределенности умножением на сопряженное

Метод применяют к пределам в которіхнеопределенность порождают иррациональные функции. Числитель или знаменатель превращается в точке вычисления в ноль и неизвестно как найти границу.

Пример 7. Найти предел функции
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Решение: Представим переменную в формулу предела

При подстановки получим неопределенность типа 0/0.
Согласно теории пределов схема обхода данной особенности заключается в умножении иррационального выражения на сопряженное. Чтобы выражение не изменилось знаменатель нужно разделить на такое же значение

По правилу разности квадратов упрощаем числитель и вычисляем предел функции

Упрощаем слагаемые, создающие особенность в пределе и выполняем подстановку

Пример 8. Найти предел функции
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Решение: Прямая подстановка показывает что предел имеет особенность вида 0/0.

Для раскрытия умножаем и делим на сопряженное к числителю

Записываем разницу квадратов

Упрощаем слагаемые которые вносят особенность и находим предел функции

Пример 9. Найти предел функции
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Решение: Подставим двойку в формулу

Получим неопределенность 0/0 .
Знаменатель нужно умножить на сопряженный выражение, а в числителе решить квадратное уравнение или разложить на множители, учитывая особенность. Поскольку известно, что 2 является корнем, то второй корень находим по теореме Виета

Таким образом числитель запишем в виде

и подставим в предел

Сведя разницу квадратов избавляемся особенности в числителе и знаменателе

Приведенным образом можно избавиться особенности во многих примерах, а применение надо замечать везде где заданная разница корней превращается в ноль при подстановке. Другие типы пределов касаются показательных функций, бесконечно малых функций, логарифмов, особых пределов и других методик. Но об этом Вы сможете прочитать в перечисленных ниже статьях о пределах.

Первым замечательным пределом именуют следующее равенство:

\begin{equation}\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1 \end{equation}

Так как при $\alpha\to{0}$ имеем $\sin\alpha\to{0}$, то говорят, что первый замечательный предел раскрывает неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Вообще говоря, в формуле (1) вместо переменной $\alpha$ под знаком синуса и в знаменателе может быть расположено любое выражение, - лишь бы выполнялись два условия:

1. Выражения под знаком синуса и в знаменателе одновременно стремятся к нулю, т.е. присутствует неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
2. Выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают.

Часто используются также следствия из первого замечательного предела:

\begin{equation} \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\tg\alpha}{\alpha}=1 \end{equation} \begin{equation} \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1 \end{equation} \begin{equation} \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1 \end{equation}

На данной странице решены одиннадцать примеров. Пример №1 посвящен доказательству формул (2)-(4). Примеры №2, №3, №4 и №5 содержат решения с подробными комментариями. Примеры №6-10 содержат решения практически без комментариев, ибо подробные пояснения были даны в предыдущих примерах. При решении используются некоторые тригонометрические формулы, которые можно найти .

Замечу, что наличие тригонометрических функций вкупе с неопределённостью $\frac {0} {0}$ ещё не означает обязательное применение первого замечательного предела. Иногда бывает достаточно простых тригонометрических преобразований, - например, см. .

Пример №1

Доказать, что $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\tg\alpha}{\alpha}=1$, $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1$, $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1$.

а) Так как $\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, то:

$$ \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\tg{\alpha}}{\alpha}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin{\alpha}}{\alpha\cos{\alpha}} $$

Так как $\lim_{\alpha\to{0}}\cos{0}=1$ и $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1$, то:

$$ \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin{\alpha}}{\alpha\cos{\alpha}} =\frac{\displaystyle\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}}{\displaystyle\lim_{\alpha\to{0}}\cos{\alpha}} =\frac{1}{1} =1. $$

б) Сделаем замену $\alpha=\sin{y}$. Поскольку $\sin{0}=0$, то из условия $\alpha\to{0}$ имеем $y\to{0}$. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin{y})=y$, поэтому:

$$ \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{y\to{0}}\frac{y}{\sin{y}} =\lim_{y\to{0}}\frac{1}{\frac{\sin{y}}{y}} =\frac{1}{\displaystyle\lim_{y\to{0}}\frac{\sin{y}}{y}} =\frac{1}{1} =1. $$

Равенство $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1$ доказано.

в) Сделаем замену $\alpha=\tg{y}$. Поскольку $\tg{0}=0$, то условия $\alpha\to{0}$ и $y\to{0}$ эквивалентны. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $\arctg\alpha=\arctg\tg{y})=y$, поэтому, опираясь на результаты пункта а), будем иметь:

$$ \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{y\to{0}}\frac{y}{\tg{y}} =\lim_{y\to{0}}\frac{1}{\frac{\tg{y}}{y}} =\frac{1}{\displaystyle\lim_{y\to{0}}\frac{\tg{y}}{y}} =\frac{1}{1} =1. $$

Равенство $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1$ доказано.

Равенства а), б), в) часто используются наряду с первым замечательным пределом.

Пример №2

Вычислить предел $\lim_{x\to{2}}\frac{\sin\left(\frac{x^2-4}{x+7}\right)}{\frac{x^2-4}{x+7}}$.

Так как $\lim_{x\to{2}}\frac{x^2-4}{x+7}=\frac{2^2-4}{2+7}=0$ и $\lim_{x\to{2}}\sin\left(\frac{x^2-4}{x+7}\right)=\sin{0}=0$, т.е. и числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$, т.е. выполнено. Кроме того, видно, что выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают (т.е. выполнено и ):

Итак, оба условия, перечисленные в начале страницы, выполнены. Из этого следует, что применима формула , т.е. $\lim_{x\to{2}} \frac{\sin\left(\frac{x^2-4}{x+7}\right)}{\frac{x^2-4}{x+7}}=1$.

Ответ : $\lim_{x\to{2}}\frac{\sin\left(\frac{x^2-4}{x+7}\right)}{\frac{x^2-4}{x+7}}=1$.

Пример №3

Найти $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{x}$.

Так как $\lim_{x\to{0}}\sin{9x}=0$ и $\lim_{x\to{0}}x=0$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$, т.е. выполнено. Однако выражения под знаком синуса и в знаменателе не совпадают. Здесь требуется подогнать выражение в знаменателе под нужную форму. Нам необходимо, чтобы в знаменателе расположилось выражение $9x$, - тогда станет истинным. По сути, нам не хватает множителя $9$ в знаменателе, который не так уж сложно ввести, - просто домножить выражение в знаменателе на $9$. Естественно, что для компенсации домножения на $9$ придётся тут же на $9$ и разделить:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{x}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x\cdot\frac{1}{9}} =9\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x} $$

Теперь выражения в знаменателе и под знаком синуса совпали. Оба условия для предела $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x}$ выполнены. Следовательно, $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x}=1$. А это значит, что:

$$ 9\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x}=9\cdot{1}=9. $$

Ответ : $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{x}=9$.

Пример №4

Найти $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}}{\tg{8x}}$.

Так как $\lim_{x\to{0}}\sin{5x}=0$ и $\lim_{x\to{0}}\tg{8x}=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Однако форма первого замечательного предела нарушена. Числитель, содержащий $\sin{5x}$, требует наличия в знаменателе $5x$. В этой ситуации проще всего разделить числитель на $5x$, - и тут же на $5x$ домножить. Кроме того, проделаем аналогичную операцию и со знаменателем, домножив и разделив $\tg{8x}$ на $8x$:

$$\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}}{\tg{8x}}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{5x}}{5x}\cdot{5x}}{\frac{\tg{8x}}{8x}\cdot{8x}}$$

Сокращая на $x$ и вынося константу $\frac{5}{8}$ за знак предела, получим:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{5x}}{5x}\cdot{5x}}{\frac{\tg{8x}}{8x}\cdot{8x}} =\frac{5}{8}\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{5x}}{5x}}{\frac{\tg{8x}}{8x}} $$

Обратите внимание, что $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}}{5x}$ полностью удовлетворяет требованиям для первого замечательного предела. Для отыскания $\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{8x}}{8x}$ применима формула :

$$ \frac{5}{8}\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{5x}}{5x}}{\frac{\tg{8x}}{8x}} =\frac{5}{8}\cdot\frac{\displaystyle\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}}{5x}}{\displaystyle\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{8x}}{8x}} =\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{1} =\frac{5}{8}. $$

Ответ : $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}}{\tg{8x}}=\frac{5}{8}$.

Пример №5

Найти $\lim_{x\to{0}}\frac{\cos{5x}-\cos^3{5x}}{x^2}$.

Так как $\lim_{x\to{0}}(\cos{5x}-\cos^3{5x})=1-1=0$ (напомню, что $\cos{0}=1$) и $\lim_{x\to{0}}x^2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac{0}{0}$. Однако чтобы применить первый замечательный предел следует избавиться от косинуса в числителе, перейдя к синусам (дабы потом применить формулу ) или тангенсам (чтобы потом применить формулу ). Сделать это можно таким преобразованием:

$$\cos{5x}-\cos^3{5x}=\cos{5x}\cdot\left(1-\cos^2{5x}\right)$$ $$\cos{5x}-\cos^3{5x}=\cos{5x}\cdot\left(1-\cos^2{5x}\right)=\cos{5x}\cdot\sin^2{5x}.$$

Вернемся к пределу:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\cos{5x}-\cos^3{5x}}{x^2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\cos{5x}\cdot\sin^2{5x}}{x^2} =\lim_{x\to{0}}\left(\cos{5x}\cdot\frac{\sin^2{5x}}{x^2}\right) $$

Дробь $\frac{\sin^2{5x}}{x^2}$ уже близка к той форме, что требуется для первого замечательного предела. Немного поработаем с дробью $\frac{\sin^2{5x}}{x^2}$, подгоняя её под первый замечательный предел (учтите, что выражения в числителе и под синусом должны совпасть):

$$\frac{\sin^2{5x}}{x^2}=\frac{\sin^2{5x}}{25x^2\cdot\frac{1}{25}}=25\cdot\frac{\sin^2{5x}}{25x^2}=25\cdot\left(\frac{\sin{5x}}{5x}\right)^2$$

Вернемся к рассматриваемому пределу:

$$ \lim_{x\to{0}}\left(\cos{5x}\cdot\frac{\sin^2{5x}}{x^2}\right) =\lim_{x\to{0}}\left(25\cos{5x}\cdot\left(\frac{\sin{5x}}{5x}\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_{x\to{0}}\cos{5x}\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{5x}}{5x}\right)^2 =25\cdot{1}\cdot{1^2} =25. $$

Ответ : $\lim_{x\to{0}}\frac{\cos{5x}-\cos^3{5x}}{x^2}=25$.

Пример №6

Найти предел $\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{6x}}{1-\cos{2x}}$.

Так как $\lim_{x\to{0}}(1-\cos{6x})=0$ и $\lim_{x\to{0}}(1-\cos{2x})=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. Раскроем ее с помощью первого замечательного предела. Для этого перейдем от косинусов к синусам. Так как $1-\cos{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}$, то:

$$1-\cos{6x}=2\sin^2{3x};\;1-\cos{2x}=2\sin^2{x}.$$

Переходя в заданном пределе к синусам, будем иметь:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{6x}}{1-\cos{2x}}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2{3x}}{2\sin^2{x}} =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin^2{3x}}{\sin^2{x}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin^2{3x}}{(3x)^2}\cdot(3x)^2}{\frac{\sin^2{x}}{x^2}\cdot{x^2}} =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\frac{\sin{3x}}{3x}\right)^2\cdot{9x^2}}{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\cdot{x^2}} =9\cdot\frac{\displaystyle\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{3x}}{3x}\right)^2}{\displaystyle\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2} =9\cdot\frac{1^2}{1^2} =9. $$

Ответ : $\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{6x}}{1-\cos{2x}}=9$.

Пример №7

Вычислить предел $\lim_{x\to{0}}\frac{\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})}{x^2}$ при условии $\alpha\neq\beta$.

Подробные пояснения были даны ранее, здесь же просто отметим, что вновь наличествует неопределенность $\frac{0}{0}$. Перейдем от косинусов к синусам, используя формулу

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.$$

Используя указанную формулу, получим:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})}{x^2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{-2\sin\frac{\alpha{x}+\beta{x}}{2}\cdot\sin\frac{\alpha{x}-\beta{x}}{2}}{x^2}=\\ =-2\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x^2} =-2\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x}\cdot\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x}\right)=\\ =-2\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}}\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\\ =-\frac{(\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta)}{2}\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}} =-\frac{\alpha^2-\beta^2}{2}\cdot{1}\cdot{1} =\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}. $$

Ответ : $\lim_{x\to{0}}\frac{\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})}{x^2}=\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}$.

Пример №8

Найти предел $\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{x^3}$.

Так как $\lim_{x\to{0}}(\tg{x}-\sin{x})=0$ (напомню, что $\sin{0}=\tg{0}=0$) и $\lim_{x\to{0}}x^3=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Раскроем её следующим образом:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{x^3}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\sin{x}}{x^3} =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}\cdot\left(\frac{1}{\cos{x}}-1\right)}{x^3} =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}\cdot\left(1-\cos{x}\right)}{x^3\cdot\cos{x}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}\cdot{2}\sin^2\frac{x}{2}}{x^3\cdot\cos{x}} =\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{x}}{x}\cdot\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\cdot\frac{1}{\cos{x}}\right) =\frac{1}{2}\cdot{1}\cdot{1^2}\cdot{1} =\frac{1}{2}. $$

Ответ : $\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{x^3}=\frac{1}{2}$.

Пример №9

Найти предел $\lim_{x\to{3}}\frac{1-\cos(x-3)}{(x-3)\tg\frac{x-3}{2}}$.

Так как $\lim_{x\to{3}}(1-\cos(x-3))=0$ и $\lim_{x\to{3}}(x-3)\tg\frac{x-3}{2}=0$, то наличествует неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Перед тем, как переходить к её раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах переменная $\alpha \to 0$). Проще всего ввести переменную $t=x-3$. Однако ради удобства дальнейших преобразований (эту выгоду можно заметить по ходу приведённого ниже решения) стоит сделать такую замену: $t=\frac{x-3}{2}$. Отмечу, что обе замены применимы в данном случае, просто вторая замена позволит поменьше работать с дробями. Так как $x\to{3}$, то $t\to{0}$.

$$ \lim_{x\to{3}}\frac{1-\cos(x-3)}{(x-3)\tg\frac{x-3}{2}}=\left|\frac{0}{0}\right| =\left|\begin{aligned}&t=\frac{x-3}{2};\\&t\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\frac{1-\cos{2t}}{2t\cdot\tg{t}} =\lim_{t\to{0}}\frac{2\sin^2t}{2t\cdot\tg{t}} =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2t}{t\cdot\tg{t}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2t}{t\cdot\frac{\sin{t}}{\cos{t}}} =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{t}\cos{t}}{t} =\lim_{t\to{0}}\left(\frac{\sin{t}}{t}\cdot\cos{t}\right) =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{t}}{t}\cdot\lim_{t\to{0}}\cos{t} =1\cdot{1} =1. $$

Ответ : $\lim_{x\to{3}}\frac{1-\cos(x-3)}{(x-3)\tg\frac{x-3}{2}}=1$.

Пример №10

Найти предел $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}$.

Вновь мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. Перед тем, как переходить к ее раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах переменная $\alpha\to{0}$). Проще всего ввести переменную $t=\frac{\pi}{2}-x$. Так как $x\to\frac{\pi}{2}$, то $t\to{0}$:

$$ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2} =\left|\frac{0}{0}\right| =\left|\begin{aligned}&t=\frac{\pi}{2}-x;\\&t\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\frac{1-\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{t^2} =\lim_{t\to{0}}\frac{1-\cos{t}}{t^2}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{t^2} =2\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2\frac{t}{2}}{t^2} =2\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2\frac{t}{2}}{\frac{t^2}{4}\cdot{4}} =\frac{1}{2}\cdot\lim_{t\to{0}}\left(\frac{\sin\frac{t}{2}}{\frac{t}{2}}\right)^2 =\frac{1}{2}\cdot{1^2} =\frac{1}{2}. $$

Ответ : $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}=\frac{1}{2}$.

Пример №11

Найти пределы $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\cos^2x}$, $\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}+\sqrt{3}}{2\cos{x}+1}$.

В данном случае нам не придётся использовать первый замечательный предел. Обратите внимание: как в первом, так и во втором пределах присутствуют только тригонометрические функции и числа. Зачастую в примерах такого рода удаётся упростить выражение, расположенное под знаком предела. При этом после упомянутого упрощения и сокращения некоторых сомножителей неопределённость исчезает. Я привёл данный пример лишь с одной целью: показать, что наличие тригонометрических функций под знаком предела вовсе не обязательно означает применение первого замечательного предела.

Так как $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(1-\sin{x})=0$ (напомню, что $\sin\frac{\pi}{2}=1$) и $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\cos^2x=0$ (напомню, что $\cos\frac{\pi}{2}=0$), то мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Однако это вовсе не означает, что нам потребуется использовать первый замечательный предел. Для раскрытия неопределенности достаточно учесть, что $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\cos^2x} =\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{1-\sin^2x} =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{(1-\sin{x})(1+\sin{x})} =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin{x}} =\frac{1}{1+1} =\frac{1}{2}. $$

Аналогичный способ решения есть и в решебнике Демидовича (№475) . Что же касается второго предела, то как и в предыдущих примерах этого раздела, мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Отчего она возникает? Она возникает потому, что $\tg\frac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}$ и $2\cos\frac{2\pi}{3}=-1$. Используем эти значения с целью преобразования выражений в числителе и в знаменателе. Цель наших действий: записать сумму в числителе и знаменателе в виде произведения. Кстати сказать, зачастую в пределах аналогичного вида удобна замена переменной, сделанная с таким расчётом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (см., например, примеры №9 или №10 на этой странице). Однако в данном примере в замене смысла нет, хотя при желании замену переменной $t=x-\frac{2\pi}{3}$ несложно осуществить.

$$ \lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}+\sqrt{3}}{2\cos{x}+1} =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}+\sqrt{3}}{2\cdot\left(\cos{x}+\frac{1}{2}\right)} =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}-\tg\frac{2\pi}{3}}{2\cdot\left(\cos{x}-\cos\frac{2\pi}{3}\right)}=\\ =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\frac{\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)}{\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}}{-4\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}} =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)}{-4\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}=\\ =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{2\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}\cos\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}}{-4\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}} =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\cos\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}}{-2\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}=\\ =\frac{1}{-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} =-\frac{4}{\sqrt{3}}. $$

Как видите, нам не пришлось применять первый замечательный предел. Конечно, при желании это можно сделать (см. примечание ниже), но необходимости в этом нет.

Каким будет решение с использованием первого замечательного предела? показать\скрыть

При использовании первого замечательного предела получим:

$$ \lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)}{-4\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}=\\ =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\left(\frac{\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)}{x-\frac{2\pi}{3}}\cdot\frac{1}{\frac{\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}}{\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}}}\cdot\frac{1}{-2\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}\right) =1\cdot{1}\cdot\frac{1}{-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} =-\frac{4}{\sqrt{3}}. $$

Ответ : $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\cos^2x}=\frac{1}{2}$, $\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}+\sqrt{3}}{2\cos{x}+1}=-\frac{4}{\sqrt{3}}$.