Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение.
Запишем 1-ое уравнение системы в виде: x 2 + 5x + y 2 -y -52 = |x-5y +5|. (*)
1) Так как правая часть равенства неотрицательна, то и левая часть равенства должна быть таковой, а именно: x 2 + 5x + y 2 -y-52 ≥ 0. Выделим из алгебраических сумм (x 2 + 5x) и (y 2 - y) полные квадраты двучленов.
x 2 + 2 ∙ х ∙ 2,5 + 2,5 2 -2,5 2 + y 2 -2∙y∙0,5 + 0,5 2 -0,5 2 -52 ≥ 0;
(x 2 + 2 ∙ х ∙ 2,5 + 2,5 2) + (y 2 -2 ∙ y ∙ 0,5 + 0,5 2) ≥ 52 + 2,5 2 + 0,5 2 ;
(х + 2,5) 2 + (у-0,5) 2 ≥ 52 + 6,25 + 0,25;
(х + 2,5) 2 + (у-0,5) 2 ≥ 58,5. ОДЗ : решения системы находятся среди множества точек, лежащих вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5) и радиусом
2) Раскроем модульные скобки в уравнении (*), считая, что выражение под знаком модуля неотрицательно, т.е. х-5у +5 ≥ 0 или 5у ≤ х + 5, отсюда у ≤ 0,2х+1. Тогда равенство (*) запишется в виде:
x 2 + 5x + y 2 -y-52 = x-5y +5. Перенесём все в левую часть и упростим её.
x 2 + 5x + y 2 -y-52-x + 5y-5 = 0;
x 2 + 4x + y 2 + 4у-57 = 0. Выделим из алгебраических сумм (x 2 + 4x) и (y 2 + 4y) полные квадраты двучленов.
x 2 + 4x + 4-4 + y 2 + 4у +4-4-57 = 0;
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 + 4у +4) = 57 + 4 + 4;
(х + 2) 2 + (у + 2) 2 = 65. Это уравнение окружности с центром в точке О 1 (-2; -2) и радиусом
Рассматривать будем только те точки этой окружности, которые лежат ниже прямой х-5у +5 = 0, так как мы получили уравнение этой окружности при условии, что х-5у +5 ≥ 0, т.е. при у ≤ 0,2х+1. Заметим, что все точки этой окружности, лежащие ниже прямой х-5у +5 = 0, находятся вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5), поэтому удовлетворяют ОДЗ.
3) Теперь раскроем модульные скобки в уравнении (*), считая, что выражение под знаком модуля отрицательно, т.е. х-5у +5 < 0 или 5у > х + 5, отсюда у>0,2х+1. Тогда равенство (*) запишется в виде:
x 2 + 5x + y 2 -y-52 = -x + 5y +5. Перенесём все в левую часть и упростим её.
x 2 + 5x + y 2 -y-52 + x-5y + 5 = 0;
x 2 + 6x + y 2 -6у-47 = 0. Выделим из алгебраических сумм (x 2 + 6x) и (y 2 -6y) полные квадраты двучленов.
x 2 + 6x + 9-9 + y 2 -6у + 9-9-47 = 0;
(x 2 + 6x + 9) + (y 2 -6у +9) = 47 + 9 + 9;
(х + 3) 2 + (у-3) 2 = 65. Это уравнение окружности с центром в точке О 2 (-3; 3) и радиусом
Рассматривать будем только те точки этой окружности, которые лежат выше прямой х-5у +5 = 0, так как мы получили уравнение этой окружности при условии х-5у +5 < 0, т.е. при условии у > 0,2х+1. Заметим, что все точки этой окружности, лежащие выше прямой х-5у +5 = 0, находятся вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5), поэтому удовлетворяют ОДЗ.
4) Найдем точки пересечения окружностей с центрами в точках О 1 и О 2 . Это также точки пересечения любой из этих окружностей с прямой х-5у +5 = 0. Для определенности возьмем уравнение первой из окружностей и решим систему:
Из 2-го уравнения выразим х через у и подставим в 1-ое уравнение.
Упростим и решим 2-ое уравнение полученной системы.
(5у-3) 2 + (у + 2) 2 = 65;
25у 2 -30у + 9 + у 2 +4у + 4-65 = 0;
26у 2 -26у-52 = 0;
у 2 -у-2 = 0. По теореме Виета у 1 + у 2 =1, у 1 ∙ у 2 = -2. Отсюда у 1 = -1, у 2 = 2.
Тогда х 1 = 5 ∙ у 1 -5 = 5 ∙ (-1)-5 = -10; х 2 = 5 ∙ у 2 -5 = 5 ∙ 2-5 = 2.
Точки пересечения окружностей с центрами О 1 и О 2 лежат на прямой х-5у +5 = 0, и это точки Т(-10; -1) и А(5; 2).
5) Разберемся, что представляет собой прямая у-2 = а(х-5). Запишем это уравнение в виде у = а(х-5) + 2 и вспомним, как получается график функции y = f (x- m ) + n из графика функции y = f (x ). Он получается переносом графика функции y = f (x ) на m единичных отрезков вдоль оси Ох и на n единичных отрезков вдоль оси Оу. Следовательно, график функции у = а(х-5) + 2 можно получить из графика функции у = ах переносом на 5 единиц вправо и на 2 единицы вверх. Другими словами, прямая пройдет через точку А(5; 2) и должна иметь такой угловой коэффициент а , чтобы пересечь наши окружности с центрами в точках О 1 и О 2 ровно в двух точках. Это произойдет только в тех случаях, когда прямая, проходя через точку А, общую для обеих окружностей, далее будет пересекать только одну из них. Предельными положениями нашей прямой (с параметром а ) будут касательные к окружностям в точке А. Нам понадобятся не сами уравнения касательных, но их угловые коэффициенты. Как мы их получим?
6) Радиус О 1 А, проведенный в точку касания будет перпендикулярен касательной. Угловые коэффициенты k 1 и k 2 двух взаимно перпендикулярных прямых y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 подчиняются закону: k 1 ∙ k 2 = -1. Составим уравнения прямой О 1 А и прямой О 2 А, определим угловой коэффициент каждой прямой, а затем найдем угловые коэффициенты касательных, являющихся предельными положениями прямой у = а(х-5) + 2. Промежуток между найденными значениями параметра а и будет ответом задачи.
Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две данные точки (х 1 ; у 1) и (х 2 ; у 2). Эта формула имеет вид:
Составим уравнение прямой, проходящей через точки О 1 (-2; -2) и А(5; 2). У нас х 1 = -2, у 1 = -2, х 2 = 5, у 2 = 2. Подставляем эти значения в формулу:
Итак, уравнение касательной в точке А к окружности с центром в точке О 1 имеет вид.
МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа № 68»
_________________________________________________________________________________________________________________________________
Выступление на заседании МО
Методы решения задач
с параметрами
Прокушева Наталья Геннадьевна
г. Лодейное Поле
2013-2014
Задачи с параметрами
Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы.
Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.
Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.
Как правило, неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита: x , y , z , …, а параметры – первыми: a , b , c , …
Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот.
Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, – степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.
Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение (неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание.
При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.
Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.
Основные типы задач с параметрами
Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.
Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).
Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.
Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).
Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.
Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых:
1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.
Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.
Наиболее массовый класс задач с параметром - задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.
Основные методы решения задач с параметром
Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.
Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y ), или в координатной плоскости (x ; a ).
Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.
Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.
Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.
1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами
Линейная функция: – уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .
Линейные уравнения с параметрами вида
Если , уравнение имеет единственное решение.
Если , тоуравнение не имеет решений , когда , и уравнение имеет бесконечно много решений , когда .
Пример 1. Решить уравнение | x | = a .
Решение:
a > 0, => x 1,2 = ± a
a = 0, => x = 0
a < 0, => решений нет.
Ответ: x 1,2 = ±a при a > 0; x = 0 при a = 0; решений нет при a < 0.
Пример 2. Решить уравнение |3 – x | = a .
Решение:
a > 0, => 3 – x = ± a , => x = 3 ± a
a = 0, => 3 – x = 0. => x = 3
a < 0, => решений нет.
Ответ: x 1,2 = 3 ±a при a > 0; x = 3 при a = 0; решений нет при a < 0.
Пример 3. Решить уравнение m ² x – m = x + 1.
Решение:
m ² x – m = x + 1
m ² x – x = m + 1
(m² – 1)x = m + 1
Ответ:
при m
≠ ±
1; x
Є
R
при m
= –1; решений нет при m
= 1.
Пример 4. а решить уравнение: ( a 2 – 4) x = a + 2 .
Решение: Разложим коэффициент при на множители. .
Если , уравнение имеет единственное решение: .
Если , уравнение не имеет решений.
Если , тоуравнение имеет бесконечно много решений .
Пример 6.
При всех значениях параметра a
решить уравнение:
.
Решение: ОДЗ: . При этом условии уравнение равносильно следующему: . Проверим принадлежность к ОДЗ: , если . Если же , то уравнение не имеет решений.
Пример 7. При всех значениях параметра а решить уравнение: | х + 3| – a | x – 1| = 4.
Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:
1) , если . Найденный будет решением, если .
2) , если . Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же , то решением является любой .
3) , если . Найденный не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при . Если же , то решением является любой x > 1.
Ответ: при ; при ;
п ри ; является также решением при всех .
Пример 8. Найти все а , при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения 15x – 7a = 2 – 3ax + 6a меньше 2 .
Решение: Найдем решения уравнения при каждом . , если . Решим неравенство: .
При уравнение не имеет решений.
Ответ : а Î (–5 , 4) .
Линейные неравенства с параметрами
Например: Решить неравенство: kx < b .
Если k
> 0, то
. Если k
< 0, то
. Если k
= 0, то при b
> 0 решением является любой x
Є R
, а при
решений нет.
Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.
Пример 1.
Для всех значений параметра а решить неравенство
.
Решение:
. Если скобка перед x
положительна, т.е. при
, то
. Если скобка перед x
отрицательна, т.е. при
, то
. Если же a
= 0 или a
= , то решений нет.
Ответ:
при
;
при
;
решений нет при a = 0 или a = .
Пример 2 . Для всех значений параметра а решить неравенство |х – а| – |x + a | < 2a .
Решение:
При a =0 имеем неверное неравенство 0 < 0, т.е. решений нет. Пусть a > 0, тогда при x < –a оба модуля раскрываются с минусом и получаем неверное неравенство 2a < 2a , т.е. решений нет. Если x Є [–a ; a ] , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом и получаем неравенство –2x < 2a , т.е. x > –a , т.е., решением является любой x Є (–a ; a ]. Если x > a оба модуля раскрываются с плюсом и получаем верное неравенство –2a < 2a , т.е. , решением является любой x Є (a ; +∞). Объединяя оба ответа, получим, что при a > 0 x Є (–a ; +∞).
Пусть a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a . Т.о., при a < 0 решений нет.
Ответ:
x
Є (–a
; +∞) при a
> 0, решений нет при
.
Замечание. Решение данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками. Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до точек а и –а .
Пример 3.
Найти все а
, при каждом из которых все решения неравенства
удовлетворяют неравенству 2x
– a
² + 5 < 0.
Решение:
Решением неравенства |x
| ≤ 2 является множество A
=[–2; 2], а решением неравенства 2x
– a
² + 5 < 0 является множество B
= (–∞;
) . Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В (). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда .
Ответ: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).
Пример 4.
Найти все значения a , при которых неравенство
выполняется для всех x
из отрезка .
Решение:
Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо выяснить, какой корень больше.
–3a
+ 2 < 2a
+ 4
и –3a
+ 2 > 2a
+ 4
. Т.о., при
x
Є (–3a
+ 2; 2a
+ 4) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка , нужно, чтобы
При
x
Є (2a
+ 4; –3a
+ 2) и чтобы неравенство выполнялось для всех x
из отрезка , нужно, чтобы
При a = – (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает вид: .
Ответ:
.
Пример 5. а неравенство справедливо при всех отрицательных значениях х ?
Решение:
Функция монотонно возрастает, если коэффициент при x неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при x отрицательный.
Выясним знак коэффициента при
a ≤ –3,
a ≥ 1; (a ² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.
a ≤ –3,
Пусть a
≥ 1. Тогда функция f
(x
)
монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено, если f
(x
)
≤ 0 <=> 3a
² – a
– 14 ≤ 0 <=>
.
a ≤ –3,
Вместе с условиями a
≥ 1; получим:
Пусть –3 < a < 1. Тогда функция f (x ) монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено.
Ответ
:
.
2. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами
Квадратичная функция:
.
В множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей схеме.
Пример 1 . При каких значениях a уравнение x ² – ax + 1 = 0 не имеет действительных корней?
Решение:
x ² – ax + 1 = 0
D = a ² – 4 · 1 = a ² – 4
a ² – 4 < 0 + – +
( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2
Ответ : при a Є (–2; 2)
Пример 2. При каких значениях а уравнение а (х ² – х + 1) = 3 х + 5 имеет два различных действительных корня?
Решение:
а (х ² – х + 1) = 3 х + 5, а ≠ 0
ах ² – ах+ а – 3 х – 5 = 0
ах ² – ( а + 3) х + а – 5 = 0
D = ( a +3)² – 4 a ( a – 5) = a ² +6 a + 9 – 4 a ² + 20 a = –3 a ² + 26 a + 9
–3 a ² + 26 a + 9 > 0
3 a ² – 26 a – 9 < 0
D = 26² – 4 · 3 · (–9) = 784
a
1
=
;
a
2
=
+ –
+
0 9
Ответ: при a Є (–1/3; 0) U (0; 9)
Пример 3. Решить уравнение
.
Решение:
ОДЗ : x ≠1, x ≠ a
x
– 1 +
x
–
a
= 2, 2
x
= 3 +
a
,
1)
; 3 +
a
≠ 2;
a
≠ –1
2)
; 3 +
a
≠ 2
a
;
a
≠ 3
Ответ:
при
a
Є (–∞; –1)
U
(–1; 3)
U
(3; +∞);
решений нет при a = –1; 3 .
Пример 4 . Решить уравнение | x ²–2 x –3 | = a .
Решение:
Рассмотрим функции y = | x ²–2 x –3 | и y = a .
При a
<
0
нет решений;
при a
=
0 и a
> 4 два решения;
при 0 < a
< 4 – четыре решения;
при a
= 4 – три решения.
Ответ:
при a
< 0 нет решений;
при a
= 0 и a
> 4 два решения;
при 0 < a
< 4 – четыре решения;
при a
= 4 – три решения.
Пример 5.
Найти все значения
a
, при каждом из которых уравнение
|
x
²–(
a
+2)
x
+2
a
| = |
3
x
–6
|
имеет ровно два корня. Если таких значений
a
больше одного, в ответе укажите их произведение.
Решение:
Разложим квадратный трехчлен x
²–(
a
+2)
x
+2
a
на множители.
;
;
;
Получим |
(
x
–2)(
x
–
a
)
| =
3
|
x
–2
|.
Это уравнение равносильно совокупности
Поэтому данное уравнение имеет ровно два корня, если a
+ 3 = 2 и a
– 3 = 2.
Отсюда находим, что искомыми значениями a
являются a
1
= –1; a
2
= 5; a
1
·
a
2
= –5.
Ответ: –5.
Пример 6. Найти все значения a , при которых корни уравнения ax ² – 2( a + 1) x – a + 5 = 0 положительны .
Решение:
Контрольная точка a = 0, т.к. меняет суть уравнения.
1. a = 0 –2x + = 0;
Ответ: a Є U .
Пример 7. При каких значениях параметра a уравнение | x ² – 4 x + 3 | = ax имеет 3 корня.
Решение:
Построим графики функций y = | x ² – 4 x + 3 | и y = ax .
На отрезке построен график функции
.
Данное уравнение будет иметь три корня, если график функции y
=
ax
будет являться касательной к графику y
= x
²+ 4
x
– 3
на
отрезке .
Уравнение касательной имеет вид y
=
f
(x
0
) +
f
’(x
0
)(x
–
x
0
),
Т.к. уравнение касательной y
=
a
, получим систему уравнений
Т.к. x 0 Є ,
Ответ:
при a
= 4 – 2
.
Квадратные неравенства с параметрами
Пример.
Найдите все значения параметра
a
, при каждом из которых среди решений неравенства
нет ни одной точки отрезка .
Решение:
Сначала решим неравенство при всех значениях параметра, а потом найдем те из них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка .
Пусть
, ax
= t
²
t ≥ 0
При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется автоматически. x
можно выразить через t
, если a
≠ 0. Поэтому случай, когда a
= 0, рассмотрим отдельно.
1.Пусть a
= 0, тогда х
> 0, и заданный отрезок является решением.
2.Пусть a
≠ 0, тогда
и неравенство
примет вид
,
Решение неравенства зависит от значений a
, поэтому придется рассмотреть два случая.
1) Если a
>0, то
при
, или в старых переменных,
Решение не содержит ни одной точки заданного отрезка , тогда и только тогда, когда выполнены условия a ≤ 7,
16a
≥ 96. Отсюда, a
Є .
2). Если а
< 0, то
;
; t
Є (4a
; a
). Так как t
≥ 0, то решений нет.
Ответ: .
Иррациональные уравнения с параметрами
При решении иррациональных уравнений и неравенств с параметром, во-первых, следует учитывать область допустимых значений. Во-вторых, если обе части неравенства – неотрицательные выражения, то такое неравенство можно возводить в квадрат с сохранением знака неравенства.
Во многих случаях иррациональные уравнения и неравенства после замены переменных сводятся к квадратным.
Пример 1.
Решить уравнение
.
Решение:
ОДЗ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.
x + 1 = a ².
Если x = a ² – 1, то условие выполняется.
Ответ: x = a ² – 1 при а ≥ 0; решений нет при a < 0.
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение:
ОДЗ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,
a – x ≥ 0; x ≤ a ;
x + 3 = a – x ,
2x = a – 3,
<=>
<=>
<=>
a
≥ –3.
Ответ:
при a
≥ –3; решений нет при a
< –3.
Пример 3.
Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от значений параметра а
?
Решение:
Область допустимых значений уравнения: x Є [–2; 2]
Построим графики функций. График первой функции – это верхняя половина окружности x
² + y
² = 4. График второй функции – биссектрисы первого и второго координатных углов. Из графика первой функции вычтем график второй и получим график функции
. Если заменить у
на а
, то последний график функции есть множество точек (х; а), удовлетворяющих исходному уравнению.
По графику видим ответ.
Ответ: при а Є (–∞; –2) U (1; +∞), корней нет;
при а Є [–2; 2), два корня;
при а = 1, один корень.
Пример 4.
При каких значениях параметра а
уравнение
имеет единственное решение?
Решение:
1 способ (аналитический):
Ответ:
2 способ (графический):
Ответ: при а ≥ –2 уравнение имеет единственное решение
Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение = 2 + х имеет единственное решение.
Решение:
Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции:
у
1 = 2 + х
и у
2 =
Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (–2; 0).
График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а
= 0 (рис.1). При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ
на соответсвующее значение влево (при положительных а
) или вправо (при отрицательных а
) (рис.2)
Из рисунка видно, что при а < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.
Ответ: при a ≥ –2 уравнение имеет единственное решение.
Тригонометрические уравнения с параметрами.
Пример 1. Решите уравнение sin (– x + 2 x – 1) = b + 1.
Решение:
Учитывая нечетность функции
, данное уравнение сведем к равносильному
.
1. b = –1
3. b =–2
4. | b + 1| > 1
Решений нет.
5. b Є(–1; 0)
6. b Є(–2; –1)
Пример 2.
Найдите все значения параметра p, при которых уравнение
не имеет решений.
Решение:
Выразим cos 2x
через sinx
.
Пусть
тогда задача свелась к нахождению всех значений p
, при которых уравнение не имеет решений на [–1; 1]. Уравнение алгоритмически не решается, поэтому решим задачу, используя график. Запишем уравнение в виде , и теперь эскиз графика левой части
строится несложно.
Уравнение не имеет решений, если прямая y
=
p
+ 9 не пересекает график на отрезке [–1; 1], т. е.
Ответ: p Є (–∞; –9) U (17; +∞).
Системы уравнений с параметрами
Системы двух линейных уравнений с параметрами
Система уравнений
Решениями системы двух линейных уравненийявляются точки пересечения двух прямых: и .
Возможны 3 случая:
1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е. . В этом случае система имеет единственное решение.
2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны, т.е. .
В этом случае система решений не имеет .
3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают, т.е. . В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.
1. Задача.
При каких значениях параметра a
уравнение
(a
- 1)x
2 + 2x
+ a
- 1 = 0
имеет ровно один корень?
1. Решение.
При a
= 1 уравнение имеет вид
2x
= 0 и, очевидно, имеет единственный корень
x
= 0. Если a
№
1, то данное уравнение является квадратным и
имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых
дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к
нулю, получаем уравнение относительно параметра a
4a
2 - 8a
= 0,
откуда a
= 0 или a
= 2.
1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.
2. Задача.
Найти все значения параметра a
, при
которых имеет два различных корня уравнение
x
2 +4ax
+8a
+3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x
2 +4ax
+8a
+3 = 0 имеет два
различных корня тогда и только тогда, когда D
=
16a
2 -4(8a
+3) > 0. Получаем (после сокращения
на общий множитель 4) 4a
2 -8a
-3 > 0,
откуда
2. Ответ:
a О (-Ґ ; 1 – | Ц
7 2 |
) И (1 + | Ц
7 2 |
; Ґ ). |
3. Задача.
Известно, что
f
2 (x
) = 6x
-x
2 -6.
а) Постройте график функции
f
1 (x
) при a
= 1.
б) При каком значении a
графики функций f
1 (x
) и
f
2 (x
) имеют единственную общую точку?
3. Решение.
3.а.
Преобразуем f
1 (x
) следующим образом
График этой функции при a
= 1 изображен на рисунке справа.
3.б.
Сразу отметим, что графики функций y
=
kx
+b
и y
= ax
2 +bx
+c
(a
№
0) пересекаются в единственной точке
тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx
+b
=
ax
2 +bx
+c
имеет единственный корень.
Используя представление f
1 из 3.а
, приравняем
дискриминант уравнения a
= 6x
-x
2 -6 к нулю.
Из уравнения 36-24-4a
= 0 получаем a
= 3. Проделав то же
самое с уравнением 2x
-a
= 6x
-x
2 -6
найдем a
= 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра
удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a
= 2 или a
= 3.
4. Задача.
Найти все значения a
, при которых множество решений неравенства
x
2 -2ax
-3a
і
0
содержит отрезок .
4. Решение.
Первая координата вершины параболы f
(x
) =
x
2 -2ax
-3a
равна x
0 =
a
. Из свойств квадратичной функции условие f
(x
) і
0 на отрезке равносильно совокупности трех систем
имеет ровно два решения?
5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде
x
2 + (2a
-2)x
- 3a
+7 = 0.
Это квадратное уравнение, оно
имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля.
Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней
является выполнение неравенства a
2 +a
-6 > 0.
Решая неравенство, находим a
< -3 или a
> 2. Первое из
неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим
натуральным решением второго является число 3.
5. Ответ: 3.
6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a
, при которых
график функции
или, после очевидных преобразований, a
-2 = |
2-a
|
. Последнее
уравнение равносильно неравенству a
і
2.
6. Ответ: a О }