В прошлый раз мы составили план, следуя которому, можно научиться быстро сокращать дроби. Теперь рассмотрим конкретные примеры сокращения дробей.
Примеры .
Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее (числитель на знаменатель или знаменатель на числитель)? Да, во всех трех этих примерах бо́льшее число делится на меньшее. Таким образом, каждую дробь сокращаем на меньшее из чисел (на числитель либо на знаменатель). Имеем:
Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее? Нет, не делится.
Тогда переходим к проверке следующего пункта: а не оканчивается ли запись и числителя, и знаменателя одним, двумя или несколькими нулями? В первом примере запись числителя и знаменателя оканчивается нулем, во втором — двумя нулями, в третьем — тремя нулями. Значит, первую дробь сокращаем на 10, вторую — на 100, третью — на 1000:
Получили несократимые дроби.
Бо́льшее число на меньшее не делится, запись чисел нулями не оканчивается.
Теперь проверяем, а не стоят ли числитель и знаменатель в одном столбце в таблице умножения? 36 и 81 оба делятся на 9, 28 и 63 — на 7, а 32 и 40 — на 8 (они делятся еще и на 4, но если есть возможность выбора, всегда сокращать будем на бо́льшее). Таким образом, приходим к ответам:
Все полученные числа являются несократимыми дробями.
Бо́льшее число на меньшее не делится. А вот запись и числителя, и знаменателя оканчивается нулем. Значит, сокращаем дробь на 10:
Эту дробь еще можно сократить. Проверяем по таблице умножения: и 48, и 72 делятся на 8. Сокращаем дробь на 8:
Полученную дробь еще можем сократить на 3:
Эта дробь — несократимая.
Бо́льшее из чисел на меньшее не делится. Запись числителя и знаменателя оканчивается на нуль.Значит, сокращаем дробь на 10.
Полученные в числителе и знаменателе числа проверяем на и . Так как сумма цифр и 27, и 531 делятся на 3 и на 9, то эту дробь можно сократить как на 3, так и на 9. Выбираем большее и сокращаем на 9. Полученный результат — несократимая дробь.
Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру. Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.
Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.
Базовые знания
Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.
Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.
Правила сокращения обыкновенных дробей
Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот. Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.
Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.
Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.
Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?
Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.
Для этого потребуется выполнить несколько действий. Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.
Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.
Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.
Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.
Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.
Последовательность действий с дробями со степенями
Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними. Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.
Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.
Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.
Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3 2) 2 , то сокращение пройдет успешно.
Данная тема достаточно важна на основных свойствах дробей основана вся дальнейшая математика и алгебра. Рассмотренные свойства дробей, не смотря на свою важность очень просты.
Чтобы понять основные свойства дробей рассмотрим окружность.
На окружности видно, что 4 части или закрашены из восьми возможных. Запишем полученную дробь \(\frac{4}{8}\)
На следующей окружности видно, что закрашена одна часть из двух возможных. Запишем получившеюся дробь \(\frac{1}{2}\)
Если внимательно приглядимся, то увидим, что в первом случае, что во втором случае у нас закрашено половина круга, поэтому полученные дроби равны \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\), то есть это одно и тоже число.
Как же это доказать математически? Очень просто, вспомним таблицу умножения и распишем первую дробь на множители.
\(\frac{4}{8} = \frac{1 \cdot \color{red} {4}}{2 \cdot \color{red} {4}} = \frac{1}{2} \cdot \color{red} {\frac{4}{4}} =\frac{1}{2} \cdot \color{red}{1} = \frac{1}{2}\)
Что мы сделали? Расписали числитель и знаменатель на множители \(\frac{1 \cdot \color{red} {4}}{2 \cdot \color{red} {4}}\), а потом разделили дроби \(\frac{1}{2} \cdot \color{red} {\frac{4}{4}}\). Четыре поделить на четыре это 1, а единица умноженное на любое число это и есть само число. То что мы проделали в приведенном примере называется сокращением дробей .
Посмотрим еще один пример и сократим дробь.
\(\frac{6}{10} = \frac{3 \cdot \color{red} {2}}{5 \cdot \color{red} {2}} = \frac{3}{5} \cdot \color{red} {\frac{2}{2}} =\frac{3}{5} \cdot \color{red}{1} = \frac{3}{5}\)
Мы опять расписали числитель и знаменатель на множители и одинаковый числа в числители и знаменатели сократили. То есть два деленное на два дало единицу, а единица умноженная на любое число дает тоже самое число.
Основное свойство дроби.
Отсюда следует основное свойство дроби:
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
\(\bf \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}\)
Также можно дроби числитель и знаменатель делить на одно и тоже число одновременно.
Рассмотрим пример:
\(\frac{6}{8} = \frac{6 \div \color{red} {2}}{8 \div \color{red} {2}} = \frac{3}{4}\)
Если и числитель, и знаменатель дроби делить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
\(\bf \frac{a}{b} = \frac{a \div n}{b \div n}\)
Дроби у которых есть и в числители, и в знаменатели общие простые делители называются сократимыми дробями .
Пример сократимой дроби: \(\frac{2}{4}, \frac{6}{10}, \frac{9}{15}, \frac{10}{5}, …\)
Так же есть и несократимые дроби .
Несократимая дробь – это дробь у которые нет в числители и знаменатели общих простых делителей.
Пример несократимой дроби: \(\frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{5}{7}, \frac{13}{5}, …\)
Любое число можно представить в виде дроби, потому что любое число делиться на единицу, например:
\(7 = \frac{7}{1}\)
Вопросы к теме:
Как вы думаете любую можно дробь сократить или нет?
Ответ: нет, бывают сократимые дроби и несократимые дроби.
Проверьте справедливо ли равенство: \(\frac{7}{11} = \frac{14}{22}\)?
Ответ: распишем дробь \(\frac{14}{22} = \frac{7 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \frac{7}{11}\)
, да справедливо.
Пример №1:
а) Найдите дробь со знаменателем 15, равную дроби \(\frac{2}{3}\)
.
б) Найдите дробь с числителем 8, равную дроби \(\frac{1}{5}\)
.
Решение:
а) Нам нужно чтобы в знаменателе стояло число 15. Сейчас в знаменателе число 3. На какое число нужно умножить цифру 3, чтобы получить 15? Вспомним таблицу умножения 3⋅5. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби \(\frac{2}{3}\)
на 5.
\(\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}\)
б) Нам нужно чтобы в числителе стояло число 8. Сейчас в числители стоит число 1. На какое число нужно умножить цифру 1, чтобы получить 8? Конечно, 1⋅8. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби \(\frac{1}{5}\) на 8. Получим:
\(\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{8}{40}\)
Пример №2:
Найдите несократимую дробь, равную дроби: а)\(\frac{16}{36}\),
б) \(\frac{10}{25}\)
.
Решение:
а) \(\frac{16}{36} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{4}{9}\)
б) \(\frac{10}{25} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{2}{5}\)
Пример №3:
Запишите число в виде дроби: а) 13 б)123
Решение:
а) \(13 = \frac{13} {1}\)
б) \(123 = \frac{123} {1}\)
Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.
Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.
К этому же ответу можем прийти другим путем.
И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.
И еще один вариант решения.
В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.
Вот и добрались до сокращения. Применяется здесь основное свойство дроби. НО! Не всё так просто. Со многими дробями (в том числе из школьного курса) вполне можно им обойтись. А если взять дроби «покруче»? Разберём подробнее! Рекомендую посмотреть материалов с дробями.Итак, мы уже знаем, что числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и тоже число, дробь от этого не изменится. Рассмотрим три подхода:
Подход первый.
Для сокращения делят числитель и знаменатель на общий делитель. Рассмотрим примеры:
Сократим:
В приведенных примерах мы сразу видим какие взять делители для сокращения. Процесс несложен – мы перебираем 2,3.4,5 и так далее. В большинстве примеров школьного курса этого вполне достаточно. А вот если будет дробь:
Тут процесс с подбором делителей может затянуться надолго;). Конечно, такие примеры лежат вне школьного курса, но справляться с ними нужно уметь. Чуть ниже рассмотрим как это делается. А пока вернёмся к процессу сокращения.
Как рассмотрено выше, для того чтобы сократить дробь, мы осуществляли деление на определённый нами общий делитель(ли). Всё правильно! Стоит лишь добавить признаки делимости чисел:
— если число чётное то оно делится на 2.
— если число из последних двух цифр делится на 4, то и само число делится на 4.
— если сумма цифр из которых состоит число делится на 3, то и само число делится на 3. Например 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Двенадцать делится на 3, значит и 123031 делится на 3.
— если в конце числа стоит 5 или 0, то число делится на 5.
— если сумма цифр из которых состоит число делится на 9, то и само число делится на 9. Например 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Восемнадцать делится на 9, значит и 623032 делится на 9.
Второй подход.
Если кратко суть, то на самом деле всё действо сводится к разложению числителя и знаменателя на множители и далее к сокращению равных множителей в числителе и знаменателе (данный подход – это следствие из первого подхода):
Визуально, чтобы не запутаться и не ошибиться равные множители просто перечёркивают. Вопрос – а как разложить число на множители? Нужно определить перебором все делители. Это тема отдельная, она несложная, посмотрите информацию в учебнике или интернете. Никаких великих проблем с разложением на множители чисел, которые присутствуют в дробях школьного курса, вы не встретите.
Формально принцип сокращения можно записать так:
Подход третий.
Тут самое интересное для продвинутых и тех, кто хочет им стать. Сократим дробь 143/273. Попробуйте сами! Ну и как, быстро получилось? А теперь смотрите!
Переворачиваем её (числитель и знаменатель меняем местами). Делим уголком полученную дробь переводим в смешанное число, то есть выделяем целую часть:
Уже проще. Мы видим, что числитель и знаменатель можно сократить на 13:
А теперь не забываем снова перевернуть дробь обратно, давайте запишем всю цепочку:
Проверено – времени уходит меньше, чем на перебор и проверку делителей. Вернёмся к нашим двум примерам:
Первый. Делим уголком (не на калькуляторе), получим:
Эта дробь попроще конечно, но с сокращением опять проблема. Теперь отдельно разбираем дробь 1273/1463, переворачиваем её:
Тут уже проще. Можем рассмотреть такой делитель как 19. Остальные не подходят, это видно: 190:19= 10, 1273:19 = 67. Ура! Запишем:
Следующий пример. Сократим 88179/2717.
Делим, получим:
Отдельно разбираем дробь 1235/2717, переворачиваем её:
Можем рассмотреть такой делитель как 13 (до 13 не подходят):
Числитель 247:13=19 Знаменатель 1235:13=95
*В процессе увидели ещё один делитель равный 19. Получается, что:
Теперь записываем исходное число:
И не важно, что будет больше в дроби – числитель или знаменатель, если знаменатель, то переворачиваем и действуем как описано. Таким образом мы можем сократить любую дробь, третий подход можно назвать универсальным.
Конечно, два примера рассмотренные выше это непростые примеры. Давайте попробуем эту технологию на уже рассмотренных нами «несложных» дробях:
Две четвёртых.
Семьдесят две шестидесятых. Числитель больше знаменателя, переворачивать не нужно:
Разумеется, третий подход применили к таким простым примерам просто как альтернативу. Способ, как уже сказано, универсальный, но не для всех дробей удобный и корректный, особенно это относится к простым.
Многообразие дробей велико. Важно, чтобы вы усвоили именно принципы. Строгого правила по работе с дробями просто нет. Посмотрели, прикинули каким образом удобнее действовать и вперёд. С практикой придёт навык и будете щёлкать их как семечки.
Вывод:
Если видите общий(ие) делитель(и) для числителя и знаменателя, то используйте их для сокращения.
Если умеете быстро раскладывать на множители число, то разложите числитель и знаменатель, далее сокращайте.
Если никак не можете определить общий делитель, то воспользуйтесь третьим подходом.
*Для сокращения дробей важно усвоить принципы сокращения, понимать основное свойство дроби, знать подходы к решению, быть крайне внимательным при вычислениях.
И запомните! Дробь принято сокращать до упора, то есть сокращать её пока есть общий делитель.
C уважением, Александр Крутицких.