Исследование функции.
1) D(y) – Область опрделения: множество всех тех значений переменной х. при которых алгебраические выражения f(x) и g(x) имеют смысл.
Если функция задана формулой, то область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых формула имеет смысл.
2) Свойства функции: четность/нечетность, периодичность:
Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента.
Нечётная функция - функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно центра координат).
Чётная функция - функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно оси ординат).
Ни чётная ни нечётная функция (функция общего вида) - функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.
Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными ни нечётными (или функциями общего вида).
Нечётные функции
Нечётная степень где - произвольное целое число.
Чётные функции
Чётная степень где - произвольное целое число.
Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.
3) Нули (корни) функции - точки, где она обращается в ноль.
Нахождение точки пересечения графика с осью Oy . Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox , для чего найти корни уравнения f (x ) = 0 (или убедиться в отсутствии корней).
Точки, в которых график пересекает ось , называют нулями функции . Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс» , при которых функция обращается в ноль.
4) Промежутки постоянства знаков, знаки в них.
Промежутки, где функция f(x) сохраняет знак.
Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.
ВЫШЕ оси абсцисс.
НИЖЕ оси .
5) Непрерывность (точки разрыва, характер разрыва, ассимптоты).
Непрерывная функция - функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Устранимые точки разрыва
Если предел функции существует , но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:
,
то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе -устранимая особая точка).
Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности , что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.
Точки разрыва первого и второго рода
Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов :
если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода . Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода .
Аси́мпто́та - прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви вбесконечность.
Вертикальная
Вертикальная асимптота - прямая предела .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
Горизонтальная
Горизонтальная асимптота - прямая вида при условии существования предела
.
Наклонная
Наклонная асимптота - прямая вида при условии существования пределов
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.
если в п. 2.), то , и предел находится по формуле горизонтальной асимптоты, .
6) Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f (x )(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x ). Для этого находят производную f (x ) и решают неравенство f (x )0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f (x )возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x )0, функция f (x )убывает.
Нахождение локального экстремума. Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием - локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке (продолжение)
1. Найти производную функции: f (x ). 2. Найти точки, в которых производная равна нулю: f (x )=0x 1, x 2 ,... 3. Определить принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку [a ; b ]: пусть x 1a ;b , а x 2a ;b . |
Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.
Определение 1.
Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).
Определение 2.
Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).
Доказать, что у = х 4 - четная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.
Аналогично можно доказать, что функции у - х 2 ,у = х 6 ,у - х 8 являются четными.
Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.
Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.
Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у - х 3 , у = х 5 , у = х 7 - нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 - четные функции. И вообще для любой функции вида у = х" (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n - натуральное число , можно сделать вывод: если n - нечетное число, то функция у = х" - нечетная; если же n - четное число, то функция у = хn - четная.
Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).
Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.
Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.
В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симметричные множества, в то время как так как y=\sqrt{1+x^{2}} \neq 1 для любого x \in [-1;1] .
Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0 , для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X .
Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1 .
Возрастающая и убывающая функция
О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) > y(x_{2}) .
Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) < y(x_{2}) .
Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0 ).
а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x < 0
б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x < 0
в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x < 0
г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0 , то она будет убывать и при x < 0
Экстремумы функции
Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}) . y_{min} - обозначение функции в точке min.
Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x) < f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Необходимое условие
Согласно теореме Ферма: f"(x)=0 тогда, когда у функции f(x) , что дифференцируема в точке x_{0} , появится экстремум в этой точке.
Достаточное условие
- Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
- x_{0} - будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0} .
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Шаги вычислений:
- Ищется производная f"(x) ;
- Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку ;
- Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .