Основные понятия статики вошли в науку как результат многовековой практической деятельности человека. Они подтверждены многочисленными опытами и наблюдениями над природой.
Одно из таких основных понятий - понятие материальной точки .
Тело можно рассматривать как материальную точку , т. е. его можно представить геометрической точкой, в которой сосредоточена вся масса тела, в том случае, когда размеры тела не имеют значения в рассматриваемой задаче .
Например, при изучении движения планет и спутников их считают материальными точками , так как размеры планет и спутников пренебрежимо малы по сравнению с размерами орбит . С другой стороны, изучая движение планеты (например, Земли) вокруг оси, ее уже нельзя считать материальной точкой.
Тело можно считать материальной точкой во всех случаях, когда все его точки совершают одинаковое движение. Например, поршень в двигателе внутреннего сгорания можно рассматривать как материальную точку, в которой сосредоточена вся масса этого поршня.
Системой называется совокупность материальных точек , движения и положения которых взаимозависимы . Из приведенного определения следует, что любое физическое тело можно рассматривать как систему материальных точек .
При изучении равновесия тел считают их абсолютно твердыми (или абсолютно жесткими), т. е. предполагают, что никакие внешние воздействия не вызывают изменения их размеров и формы и что расстояние между любыми двумя точками тела всегда остается неизменным .
В действительности все тела под влиянием силовых воздействий со стороны других тел меняют свои размеры и форму. Так, если стержень, например, из стали или дерева, сжать , его длина уменьшится , а при растяжении она соответственно увеличится (рис.а ).
Изменяется также форма стержня, лежащего на двух опорах, при действии нагрузки, перпендикулярной его оси (рис. б ). Стержень при этом изгибается .
В подавляющем большинстве случаев деформации тел (деталей), из которых состоят машины, аппараты и сооружения, очень малы , и при изучении движения и равновесия этих объектов деформациями можно пренебречь .
Таким образом, понятие абсолютно твердого тела является условным (абстракцией). Это понятие вводят с целью упрощения исследования законов равновесия и движения тел .
Лишь изучив механику абсолютно твердого тела , можно приступить к изучению равновесия и движения деформируемых тел, жидкостей и др. При расчетах на прочность необходимо учитывать деформации тел . В этих расчетах деформации играют существенную роль и пренебрегать ими нельзя .
- Проще всего описать движение тела, взаимное расположение частей которого не изменяется. Такое тело называется абсолютно твердым.
При изучении кинематики мы говорили, что описать движение тела - это значит описать движение всех его точек. Иными словами, надо уметь находить координаты, скорость, ускорение, траектории всех точек тела. В общем случае это сложная задача, и мы не будем пытаться ее решать. Особенно она сложна, когда тела заметно деформируются в процессе движения.
На самом деле таких тел нет. Это физическая модель. В тех случаях, когда деформации малы, можно реальные тела рассматривать как абсолютно твердые. Однако и движение твердого тела в общем случае сложно. Мы остановимся на двух, наиболее простых видах движения твердого тела: поступательном и вращательном.
Поступательное движение
Твердое тело движется поступательно, если любой отрезок прямой линии, жестко связанный с телом, все время перемещается параллельно самому себе.
При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения, описывают одинаковые траектории, проходят одинаковые пути, имеют равные скорости и ускорения. Покажем это.
Пусть тело движется поступательно. Соединим две произвольные точки А и В тела отрезком прямой линии (рис. 7.1). Отрезок АВ должен оставаться параллельным самому себе. Расстояние АВ не изменяется, так как тело абсолютно твердое.
Рис. 7.1
В процессе поступательного движения вектор не изменяется, т. е. остаются постоянными его модуль и направление. Вследствие этого траектории точек А и В идентичны, так как они могут быть полностью совмещены параллельным переносом на .
Нетрудно заметить, что перемещения точек А и Б одинаковы и совершаются за одно и то же время. Следовательно, точки А и В имеют одинаковые скорости. Одинаковы у них и ускорения.
Совершенно очевидно, что для описания поступательного движения тела достаточно описать движение какой-либо одной его точки, так как все точки движутся одинаково. Лишь в этом движении можно говорить о скорости тела и ускорении тела. При любом другом движении тела его точки имеют различные скорости и ускорения, и термины «скорость тела» или «ускорение тела» теряют смысл.
Приблизительно поступательно движется ящик письменного стола, поршни двигателя автомобиля относительно цилиндров, вагоны на прямолинейном участке железной дороги, резец токарного станка относительно станины (рис. 7.2) и т. д.
Рис. 7.2
Рис. 7.3
Вращательное движение
Вращательное движение вокруг неподвижной оси - еще один вид движения твердого тела.
Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, перпендикулярной плоскостям этих окружностей. Сама эта прямая есть ось вращения (MN на рисунке 7.4).
Рис. 7.4
В технике такой вид движения встречается чрезвычайно часто: вращение валов двигателей и генераторов, колес современных скоростных электропоездов и деревенской телеги, турбин и пропеллеров самолетов и т. д. Вращается Земля вокруг своей оси.
Долгое время считалось, что в живых организмах устройств, подобных вращающемуся колесу, нет: «природа не создала колеса». Но исследования последних лет показали, что это не_так. У многих бактерий, например у кишечной палочки, имеется «мотор», вращающий жгутики. С помощью этих жгутиков бактерия перемещается в среде (рис. 7.5, а). Основание жгутика прикреплено к колесику (ротору) в форме кольца (рис. 7.5, б). Плоскость ротора параллельна другому кольцу, закрепленному в мембране клетки. Ротор вращается, делая до восьми оборотов в секунду. Механизм, приводящий ротор во вращение, остается пока во многом не ясным.
Рис. 7.5
Кинематическое описание вращательного движения твердого тела
При вращении тела радиус r А окружности, описываемой точкой А этого тела (см. рис. 7.4), повернется за интервал времени Δt на некоторый угол φ. Легко видеть, что вследствие неизменности взаимного расположения точек тела на такой же угол φ повернутся за то же время и радиусы окружностей, описываемых любыми другими точками тела (см. рис. 7.4). Следовательно, этот угол φ можно считать величиной, характеризующей движение не только отдельной точки тела, но и вращательное движение всего тела в целом. Стало быть, для описания вращения твердого тела вокруг неподвижной оси достаточно лишь одной величины - переменной φ(t).
Этой единственной величиной (координатой) и может служить угол φ, на который поворачивается тело вокруг оси относительно некоторого своего положения, принятого за нулевое. Это положение задается осью О 1 Х на рисунке 7.4 (отрезки O 2 В, О 3 С параллельны О 1 Х).
В § 1.28 было рассмотрено движение точки по окружности. Были введены понятия угловой скорости ω и углового ускорения β. Так как при вращении твердого тела все его точки за одинаковые интервалы времени поворачиваются на одинаковые углы, то все формулы, описывающие движение точки по окружности, оказываются применимыми и для описания вращения твердого тела. Определения угловой скорости (1.28.2) и углового ускорения (1.28.6) могут быть отнесены к вращению твердого тела. Точно так же справедливы формулы (1.28.7) и (1.28.8) для описания движения твердого тела с постоянным угловым ускорением.
Связь между линейной и угловой скоростями (см. § 1.28) для каждой точки твердого тела дается формулой
где R - расстояние точки от оси вращения, т. е. радиус окружности, описываемой точкой вращающегося тела. Направлена линейная скорость по касательной к этой окружности. Различные точки твердого тела имеют разные линейные скорости при одной и той же угловой скорости.
Различные точки твердого тела имеют нормальные и тангенциальные ускорения, определяемые формулами (1.28.10) и (1.28.11):
Плоскопараллельное движение
Плоскопараллельным (или просто плоским) движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется все время в одной плоскости. Причем все плоскости, в которых движутся точки, параллельны между собой. Типичный пример плоскопараллельного движения - качение цилиндра по плоскости. Плоскопараллельным является также движение колеса по прямому рельсу.
Напомним (в который раз!), что говорить о характере движения того или иного тела можно лишь по отношению к определенной системе отсчета. Так, в приведенных примерах в системе отсчета, связанной с рельсом (землей), движение цилиндpa или колеса является плоскопараллельным, а в системе отсчета, связанной с осью колеса (или цилиндра), - вращательным. Следовательно, скорость каждой точки колеса в системе отсчета, связаннои с землей (абсолютная скорость), согласно закону сложения скоростей равна векторной сумме линейной скорости вращательного движения (относительной скорости) и скорости поступательного движения оси (переносной скорости) (рис. 7.6):
Рис. 7.6
Мгновенный центр вращения
Пусть тонкий диск катится по плоскости (рис. 7.7). Окружность можно рассматривать как правильный многоугольник со сколь угодно большим числом сторон.
Поэтому круг, изображенный на рисунке 7.7, можно мысленно заменить многоугольником (рис. 7.8). Но движение последнего состоит из ряда небольших поворотов: сначала вокруг точки С, затем вокруг точек С 1 , С 2 и т. д. Поэтому движение диска тоже можно рассматривать как последовательность очень малых (бесконечно малых) поворотов вокруг точек С, C 1 C 2 и т. д.(2). Таким образом, в каждый момент времени диск вращается вокруг своей нижней точки С. Эта точка называется мгновенным центром вращения диска. В случае качения диска по плоскости можно говорить о мгновенной оси вращения. Этой осью является линия соприкосновения диска с плоскостью в данный момент времени.
Рис. 7.7 и 7.8
Введение понятия мгновенного центра (мгновенной оси) вращения упрощает решение ряда задач. Например, зная, что центр диска имеет скорость и, можно найти скорость точки А (см. рис. 7.7). Действительно, так как диск вращается вокруг мгновенного центра С, то радиус вращения точки А равен АС, а радиус вращения точки О равен ОС. Но так как АС = 20С, то
Аналогично можно найти скорость любой точки этого диска.
Мы познакомились с наиболее простыми видами движения твердого тела: поступательным, вращательным, плоскопараллельным. В дальнейшем нам предстоит заняться динамикой твердого тела.
(1) В дальнейшем для краткости мы будем говорить просто о твердом теле.
(2) Разумеется, изобразить на рисунке многоугольник с бесконечным числом сторон невозможно.
В разделе на вопрос что такое обсолютно твердое тело заданный автором Европейский
лучший ответ это Абсолю́тно твёрдое те́ло - второй опорный объект механики наряду с материальной точкой. Механика абсолютно твердого тела полностью сводима к механике материальных точек (с наложенными связями) , но имеет собственное содержание (полезные понятия и соотношения, которые могут быть сформулированы в рамках модели абсолютно твердого тела) , представляющее большой теоретический и практический интерес.
Существует несколько определений:
Абсолютно твёрдое тело - модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом. Иначе говоря, абсолютно твердое тело не только не изменяет свою форму, но и сохраняет неизменным распределение массы внутри.
Абсолютно твёрдое тело - механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. «Твёрдость» означает, что тело не может быть деформировано, то есть телу нельзя передать никакой другой энергии, кроме кинетической энергии поступательного или вращательного движения.
Абсолютно твёрдое тело - тело (система) , взаимное положение любых точек которого не изменяется, в каких бы процессах оно ни участвовало.
Таким образом, положение абсолютно твердого тела полностью определяется, например, положением жестко привязанной к нему декартовой системы координат (обычно ее начало координат делают совпадающим с центром масс твердого тела) .
В трёхмерном пространстве и в случае отсутствия (других) связей абсолютно твёрдое тело обладает 6 степенями свободы: три поступательных и три вращательных. Исключение составляет двухатомная молекула или, на языке классической механики, твёрдый стержень нулевой толщины. Такая система имеет только две вращательных степени свободы.
Абсолютно твёрдых тел в природе не существует, однако в очень многих случаях, когда деформация тела мала и ей можно пренебречь, реальное тело может (приближенно) рассматриваться как абсолютно твёрдое тело без ущерба для задачи.
В рамках релятивистской механики понятие абсолютно твёрдого тела внутренне противоречиво, что показывает, в частности, парадокс Эренфеста. Другими словами, модель абсолютно твердого тела вообще говоря совершенно неприменима к случаю быстрых движений (сопоставимых по скорости со скоростью света) , а также к случаю очень сильных гравитационных полей
Проще всего описать движение тела, взаимное распо-ложение частей которого не изменяется. Такое тело называется абсолютно твердым.
При изучении кинематики мы говорили, что описать движение тела - это значит описать движение всех его точек. Иными словами, надо уметь находить координаты, скорость, уско-рение, траектории всех точек тела. В общем случае это сложная задача, и мы не будем пытаться ее решать. Особенно она сложна, когда тела заметно деформируются в процессе движения.
Тело можно считать абсолютно твердым, если расстояния между двумя любыми точками тела неизменны. Иначе говоря,
форма и размеры абсолютно твердого тела не изменяются при действии на него любых сил.
На самом деле таких тел нет. Это физическая модель. В тех случаях, когда деформации малы, можно реальные тела рассматривать как абсолютно твердые. Однако и движение твердого тела в общем случае сложно. Мы остановимся на двух, наиболее простых видах движения твердого тела: поступательном и вращательном.
Поступательное движение
Твердое тело движется поступательно, если любой отрезок прямой линии, жестко связанный с телом, все время перемещается параллельно самому себе.
При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения, описывают одинаковые траектории, проходят одинаковые пути, имеют равные скорости и ускорения. Покажем это.
Пусть тело движется поступательно. Соединим две произвольные точки А и В тела отрезком прямой линии (рис. 7.1). Отрезок АВ должен оставаться параллельным самому себе. Расстояние АВ не изменяется, так как тело абсолютно твердое.
В процессе поступательного движения вектор АВ не из-меняется, т. е. остаются постоянными его модуль и направление. Вследствие этого траектории точек А и В идентичны ^ так как они могут быть полностью совмещены параллельным переносом на АВ.
Нетрудно заметить, что перемещения точек А и В одинаковы и совершаются за одно и то же время. Следовательно, точки А и В имеют одинаковые скорости. Одинаковы у них и ускорения.
Совершенно очевидно, что для описания поступательного движения тела достаточно описать движение какой-либо одной его точки, так как все точки движутся одинаково. Лишь в этом движении можно говорить о скорости тела и ускорении тела. При любом другом движении тела его точки имеют различные скорости и ускорения, и термины «скорость тела» или «ускорение тела» теряют смысл.
Приблизительно поступательно движется ящик письменного стола, поршни двигателя автомобиля относительно цилинд- ров, вагоны на прямолинейном участке железной дороги, резец токарного станка относительно станины (рис. 7.2) и т. д. Поступательными можно считать и движения, имеющие довольно сложный вид, например движение педали велосипеда или кабины «колеса обозрения» (рис. 7.3) в парках.
Вращательное движение
Вращательное движение вокруг неподвижной оси - еще один вид движения твердого тела.
шшш» Рис. 7.3
Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, перпендикулярной плоскостям этих окружностей. Сама эта прямая есть ось вращения (MN на рисунке 7.4).
В технике такой вид движения встречается чрезвычайно часто: вращение валов двигателей и генераторов, колес современных скоростных электропоездов и деревенской телеги, турбин и пропеллеров самолетов и т. д. Вращается Земля вокруг своей оси.
Долгое время считалось, что в живых организмах устройств, подобных вращающемуся колесу, нет: «природа не создала колеса». Но исследования последних лет показали, что это не_так. У многих бактерий, например у кишечной палочки, имеется «мотор», вращающий жгутики. С помощью этих жгутиков бактерия перемещается в среде (рис. 7.5, а). Основание жгутика прикреплено к колесику (ротору) в форме кольца (рис. 7.5, б). Плоскость ротора параллельна другому кольцу, закрепленному в мембране клетки. Ротор вращается, делая до восьми оборотов в секунду. Механизм, приводящий ротор во вращение, остается пока во многом не ясным.
Кинематическое описание
вращательного движения твердого тела
При вращении тела радиус гА окружности, описываемой точкой А этого тела (см. рис. 7.4), повернется за интервал времени At на некоторый угол ср. Легко видеть, что вследствие не-изменности взаимного расположения точек тела на такой же угол ф повернутся за то же время и радиусы окружностей, описываемых любыми другими точками тела (см. рис. 7.4). Следовательно, этот угол ф можно считать величиной, характеризую- щей движение не только отдельной точки тела, но и вращательное движение всего тела в целом. Стало быть, для описания вращения твердого тела вокруг неподвижной оси достаточно лишь одной величины - переменной ф(0.
Этой единственной величиной (координатой) и может служить угол ф, на который поворачивается тело вокруг оси относительно некоторого своего положения, принятого за нулевое. Это положение задается осью 0,Х на рисунке 7.4 (отрезки 02В, ОаС параллельны ОгХ).
В § 1.28 было рассмотрено движение точки по окружности. Были введены понятия угловой скорости СО и углового ускорения р. Так как при вращении твердого тела все его точки за одинаковые интервалы времени поворачиваются на одинаковые углы, то все формулы, описывающие движение точки по окружности, оказываются применимыми и для описания вращения твердого тела. Определения угловой скорости (1.28.2) и углового ускорения (1.28.6) могут быть отнесены к вращению твердого тела. Точно так же справедливы формулы (1.28.7) и (1.28.8) для описания движения твердого тела с постоянным угловым ускорением.
Связь между линейной и угловой скоростями (см. § 1.28) для каждой точки твердого тела дается формулой
и = (7.1.1)
где R - расстояние точки от оси вращения, т. е. радиус окружности, описываемой точкой вращающегося тела. Направлена линейная скорость по касательной к этой окружности. Различные точки твердого тела имеют разные линейные скорости при одной и той же угловой скорости.
Различные точки твердого тела имеют нормальные и тангенциальные ускорения, определяемые формулами (1.28.10) и (1.28.11):
ап = со2Д, ат = РД. (7.1.2)
Плоскопараллельное движение
Плоскопараллельным (или просто плоским) движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется все время в одной плоскости. Причем все плоскости, в которых движутся точки, параллельны между собой. Типичный пример плоскопараллельного движения - качение цилиндра по плоскости. Плоскопараллельным является также движение колеса по прямому рельсу.
Напомним (в который раз!), что гово-рить о характере движения того или иного тела можно лишь по отношению к определенной системе отсчета. Так, в приведенных примерах в системе отсчета, связанной с рельсом (землей), движение цилиндра или колеса является плоскопараллельным, а в системе отсчета, связанной с осью колеса (или цилиндра), - вращательным. Следовательно, скорость каждой точки колеса в системе отсчета, свя-занной с землей (абсолютная скорость), согласно закону сложения скоростей равна векторной сумме линейной скорости вращательного движения (относительной скорости) и скорости поступательного дви-жения оси (переносной скорости) (рис. 7.6):
Мгновенный центр вращения
Пусть тонкий диск катится по плоскости (рис. 7.7). Окружность можно рассматривать как правильный многоугольник со сколь угодно большим числом сторон. Поэтому круг, изображенный на рисунке 7.7, можно мысленно заменить многоугольником (рис. 7.8). Но движение последнего состоит из ряда небольших поворотов: сначала вокруг точки С, затем вокруг точек Cj, С2 и т. д. Поэтому движение диска тоже можно рассматривать как последовательность очень малых (бесконечно малых) поворотов вокруг точек С, Сх, С2 и т. д. . Таким образом, в каждый момент времени диск вращается вокруг своей нижней точки С. Эта точка называется мгновенным центром вращения диска. В случае качения диска по плоскости можно говорить о мгновенной оси вращения. Этой осью является линия соприкосновения диска с плоскостью в данный момент времени. Рис. 7.7
Рис. 7.8
Введение понятия мгновенного центра (мгновенной оси) вращения упрощает решение ряда задач. Например, зная, что центр диска имеет скорость и, можно найти скорость точки А (см. рис. 7.7). Действительно, так как диск вращается вокруг мгновенного центра С, то радиус вращения точки А равен АС, а радиус вращения точки О равен ОС. Но так как АС = 2ОС, то? "о
vA = 2v0 = 2v. Аналогично можно найти скорость любой точки этого диска.
Мы познакомились с наиболее простыми видами движения твердого тела: поступательным, вращательным, плоскопараллельным. В дальнейшем нам предстоит заняться динамикой твердого тела.
Еще по теме § 7.1. АБСОЛЮТНО ТВЕРДОЕ ТЕЛО И ВИДЫ ЕГО ДВИЖЕНИЯ:
- 56. Частицы жидких тел обладают движениями, направленными во все стороны; достаточно малейшей силы, чтобы привести в движение окруженные ими твердые тела
Абсолютно твёрдое тело (твёрдое тело) – тело, расстояние между частями которого не изменяется при действии на него сил, т.е. форма и размеры твёрдого тела не меняются при действии на его любых сил. Конечно таких тел в природе не существует. Это физическая модель. В тех случаях, когда деформации алы, можно реальные тела рассматривать как абсолютно твёрдые. Движение твердого тела в общем случае очень сложно. Мы рассмотрим только два вида движения тела:
1. Поступательное движение:
Движение тела считается поступательным , если любой отрезок прямой линии, жестко связанный с телом, всё время перемещается параллельно самому себе. При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения, проходят одинаковые пути, имеют равные скорости и ускорения, описывают одинаковые траектории.
2. Вращательное движение:
Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси – движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, перпендикулярной плоскостям этих окружностей. Сама эта прямая является осью вращения.
При вращении тела радикс окружности, описываемой точкой этого тела, повернётся за интервал времени на некоторый угол. Вследствие неизменности взаимного расположения точек тела на такой же угол повернутся за тоже время радиусы окружностей, описываемых любыми другими точками тела. à Этот угол является величиной, характеризующей вращательное движение всего тела в целом. Отсюда можно сделать вывод, что для описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси надо знать только одну переменную – угол, на который повернется тело за определенное время.
Связь между линейной и угловой скоростями для каждой точки твердого тела даётся формулой V = ώ R
Также точки твердо тела имеют нормальные и тангенциальные ускорения, которые можно задать формулами:
а n = ώ 2 R a τ = βR
3. Плоскопараллельное движение:
Плоскопараллельное движение – движение, при котором каждая точка тела движется постоянно в одной плоскости, при этом все плоскости параллельны между собой.
Теперь давайте разберёмся, что такое мгновенный центр вращения. Предположим, что колесо катится по какой-нибудь плоскости. движение этого колеса можно рассматривать как последовательность бесконечно малых поворотов вокруг точек. Отсюда можно сделать вывод, что в каждый момент колесо вращается вокруг своей нижней точки. Эта точка и называется мгновенным центром вращения .
Мгновенная ось вращения – линия соприкосновения диска с плоскостью в данный момент времени.